절6.2직교여공간¶ 고유 링크

목표

직교여공간의 기본 성질을 이해합니다.
부분공간의 직교여공간을 계산하는 방법을 배웁니다.
계산법: 자주 쓰이는 부분공간의 직교여공간을 계산하는 지름길입니다.
그림: $\R^2$ 와 $\R^3$ 에서의 직교여공간입니다.
정리: 행 랭크는 열 랭크와 같습니다.
용어: 직교여공간, 행공간.

주어진 벡터들의 집합에 직교하는 모든 벡터의 집합을 계산하는 일이 중요해질 것입니다. 어떤 벡터가 벡터들의 집합에 직교하는 것은 그 벡터들의 생성(span)에 직교하는 것과 동치이며 이 생성은 부분공간이므로, 부분공간인 경우만 다루겠습니다.

소절6.2.1직교여공간의 정의

직교여공간을 취하는 것은 부분공간에 대해 수행하는 연산입니다.

정의

$W$ 를 $\R^n$ 의 부분공간이라고 합시다. W의 직교여공간은 다음 부분공간입니다.

$\begin{equation*} W^\perp = \bigl\{ \text{$v$ in $\R^n$}\mid v\cdot w=0 \text{ for all $w$ in $W$} \bigr\}. \end{equation*}$

기호 $W^\perp$ 는 “ $W$ perp”라고 읽기도 합니다.

이것은 $\R^n$ 의 벡터 $v$ 중에서 $W$ 의 모든 벡터에 직교하는 것 전체의 집합입니다. $W^\perp$ 가 실제로 부분공간이라는 것은 아래에서 보이겠습니다.

노트

이제 비슷해 보이는 두 가지 표기가 생겼습니다:

$\begin{equation*} \begin{split} A^{\color{red}T} \amp\text{ is the transpose of a matrix $A$}. \\ W^{\color{red}\perp} \amp\text{ is the orthogonal complement of a subspace $W$}. \end{split} \end{equation*}$

부분공간의 직교여공간과 행렬의 전치, 이 둘을 혼동하지 않도록 주의하십시오.

직교여공간의 그림

$\R^2$ 에서 원점을 지나는 직선 $\color{seq-blue}W$ 의 직교여공간은 수직인 직선 $\color{seq-green}W^\perp$ 입니다.

$\begin{tikzpicture}[thin border nodes] \draw (-2,-2) rectangle (2,2); \clip (-2,-2) rectangle (2,2); \draw[seq-blue] (-2,-3) -- node[right=2pt,pos=.7] {$W$} (2,3); \draw[seq-green] (3,-2) -- node[above right,pos=.7] {$W^\perp$} (-3,2); \draw[very thin] let \p1=($(0,0)!4mm!(-2,-3)$), \p2=($(0,0)!4mm!(3,-2)$) in (\p1) -- ($(\p1) + (\p2)$) -- (\p2); \point at (0,0); \end{tikzpicture}$

인터랙티브: $\R^2$ 에서의 직교여공간

$\R^3$ 에서 직선 $\color{seq-blue}W$ 의 직교여공간은 수직인 평면 $\color{seq-green}W^\perp$ 입니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, thin border nodes] \clip[resetxy] (-4,-2) rectangle (4,2); \coordinate (x) at ($1/sqrt(1.09)*(0,.3,1)$); \coordinate (y) at ( 0.,0.957826, -0.287348); \coordinate (z) at (1,0,0); \draw[seq-blue] (0,0) -- ($-3*(x)$); \begin{scope}[x=(y), y=(z), transformxy] \filldraw[seq-green,fill opacity=.5] (-1.5,-1.5) rectangle (1.5,1.5); \node[seq-green] at (-1.8,-.8) {$W^\perp$}; \end{scope} \draw[seq-blue] (0,0) -- node[right,pos=.5] {$W$} ($3*(x)$); \point (o) at (0,0,0); \pic[draw] {right angle=(z)--(o)--(x)}; \pic[draw] {right angle=(y)--(o)--(x)}; \end{tikzpicture}$

인터랙티브: $\R^3$ 에서의 직교여공간

$\R^3$ 에서 평면 $\color{seq-blue}W$ 의 직교여공간은 수직인 직선 $\color{seq-green}W^\perp$ 입니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, thin border nodes] \clip[resetxy] (-4,-2) rectangle (4,2); \coordinate (x) at ($1/sqrt(1.09)*(0,.3,1)$); \coordinate (y) at ( 0.,0.957826, -0.287348); \coordinate (z) at (1,0,0); \draw[seq-green] (0,0) -- ($-3*(x)$); \begin{scope}[x=(y), y=(z), transformxy] \filldraw[seq-blue,fill opacity=.5] (-1.5,-1.5) rectangle (1.5,1.5); \node[seq-blue] at (-1.8,-.8) {$W$}; \end{scope} \draw[seq-green] (0,0) -- node[right,pos=.5] {$W^\perp$} ($3*(x)$); \point (o) at (0,0,0); \pic[draw] {right angle=(z)--(o)--(x)}; \pic[draw] {right angle=(y)--(o)--(x)}; \end{tikzpicture}$

인터랙티브: $\R^3$ 에서의 직교여공간

위 그림들에서 $(W^\perp)^\perp = W$ 임을 알 수 있습니다.

예제

영벡터는 $\R^n$ 의 모든 벡터에 직교하는 유일한 벡터이므로, $\R^n$ 의 직교여공간은 $\{0\}$ 입니다.

같은 이유로 $\{0\}^\perp = \R^n$ 입니다.

소절6.2.2직교여공간 계산하기

모든 부분공간은 생성(span)이므로, 다음 명제는 임의의 부분공간의 직교여공간을 구하는 계산 절차를 제공합니다. 그러나 아래에서는 다른 흔한 종류의 부분공간–특히 영공간의 직교여공간을 구하는 몇 가지 지름길을 제시하겠습니다. 일반적인 부분공간의 직교여공간을 구하려면, 이 중요 in 절 2.6에서처럼 그 부분공간을 행렬의 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 대개 가장 좋습니다.

명제(열공간의 직교여공간)

$A$ 를 행렬이라 하고 $W=\Col(A)$ 라 합시다. 그러면

$\begin{equation*} W^\perp = \Nul(A^T). \end{equation*}$

증명

열공간은 생성과 같으므로, 열공간의 직교여공간에 관한 명제를 다음과 같이 바꾸어 말할 수 있습니다. $v_1,v_2,\ldots,v_m$ 을 $\R^n$ 의 벡터라 하고, $W = \Span\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 라 합시다. 그러면

$\begin{equation*} W^\perp = \bigl\{\text{all vectors orthogonal to each $v_1,v_2,\ldots,v_m$}\bigr\} = \Nul\mat{ \matrow{v_1^T}; \matrow{v_2^T}; \vdots; \matrow{v_m^T}}. \end{equation*}$

다시 말하지만, 생성과 열공간 사이를 쉽게 오갈 수 있는 것이 중요합니다. 생성이 주어지면, 그 생성을 열공간으로 다시 쓴 뒤에 명제를 적용할 수 있습니다.

명제에 의해, 생성의 직교여공간을 구하는 것은 연립일차방정식을 푸는 것을 의미합니다. 예를 들어

$\begin{equation*} v_1 = \vec{1 7 2} \qquad v_2 = \vec{-2 3 1} \end{equation*}$

이면, $\Span\{v_1,v_2\}^\perp$ 는 다음 행렬에 대응하는 동차 연립일차방정식의 해집합입니다.

$\begin{equation*} \mat{\matrow{v_1^T}; \matrow{v_2^T}} = \mat{1 7 2; -2 3 1}. \end{equation*}$

이는 다음 연립방정식의 해집합입니다.

$\begin{equation*} \syseq{x_1 + 7x_2 + 2x_3 = 0; -2x_1 + 3x_2 + x_3 = 0\rlap.} \end{equation*}$

예제

직교여공간을 계산하는 지름길을 찾으려면 다음과 같은 기본적인 사실들이 필요합니다. 위의 예제들을 돌이켜 보면, 이 사실들은 모두 수긍이 갈 것입니다.

직교여공간에 관한 사실

$W$ 를 $\R^n$ 의 부분공간이라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

$W^\perp$ 도 $\R^n.$ 의 부분공간입니다.
$(W^\perp)^\perp = W.$
$\dim(W) + \dim(W^\perp) = n.$

증명

두 번째 성질을 나타낸 그림은 이 문단 을 참고하십시오. 세 번째 성질에 대해서는, 예를 들어 $W$ 가 $\R^4$ 안의 ( $2$ 차원) 평면이면 $W^\perp$ 는 또 다른 ( $2$ 차원) 평면입니다. 구체적으로

$\begin{equation*} \begin{split} \Span\bigl\{e_1,e_2\bigr\}^\perp \amp= \left\{\vec{x y z w}\text{ in }\R^4\biggm|\vec{x y z w}\cdot\vec{1 0 0 0} = 0 \text{ and } \vec{x y z w}\vec{0 1 0 0} = 0\right\} \\ \amp= \left\{\vec{0 0 z w}\text{ in }\R^4\right\} = \Span\bigl\{e_3,e_4\}: \end{split} \end{equation*}$

$xy$ -평면의 직교여공간은 $zw$ -평면입니다.

정의

행렬 $A$ 의 행공간은 $A$ 의 행들의 생성이며, $\Row(A)$ 로 나타냅니다.

$A$ 가 $m\times n$ 행렬이면 $A$ 의 행은 성분이 $n$ 개인 벡터이므로, $\Row(A)$ 는 $\R^n$ 의 부분공간입니다. 동치적으로, $A$ 의 행은 $A^T$ 의 열이므로 $A$ 의 행공간은 $A^T$ 의 열공간입니다:

$\begin{equation*} \Row(A) = \Col(A^T). \end{equation*}$

위의 명제에서 $A$ 의 행이 $v_1^T,v_2^T,\ldots,v_m^T$ 이면

$\begin{equation*} \Row(A)^\perp = \Span\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}^\perp = \Nul(A). \end{equation*}$

임을 보였습니다. 양변의 직교여공간을 취하고 두 번째 사실을 이용하면

$\begin{equation*} \Row(A) = \Nul(A)^\perp. \end{equation*}$

를 얻습니다. $A$ 를 $A^T$ 로 바꾸고 $\Row(A)=\Col(A^T)$ 임을 떠올리면

$\begin{equation*} \Col(A)^\perp = \Nul(A^T) \sptxt{and} \Col(A) = \Nul(A^T)^\perp. \end{equation*}$

를 얻습니다. 요약하면 다음과 같습니다.

방법: 직교여공간을 계산하는 지름길

임의의 벡터 $v_1,v_2,\ldots,v_m$ 에 대하여

$\begin{equation*} \Span\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}^\perp = \Nul\mat{ \matrow{v_1^T}; \matrow{v_2^T}; \vdots; \matrow{v_m^T}}. \end{equation*}$

가 성립합니다. 임의의 행렬 $A$ 에 대하여

$\begin{equation*} \begin{aligned} \Row(A)^\perp &= \Nul(A) & \Nul(A)^\perp &= \Row(A) \\ \Col(A)^\perp &= \Nul(A^T)\quad & \Nul(A^T)^\perp &= \Col(A). \end{aligned} \end{equation*}$

가 성립합니다.

이 소절의 처음에 언급했듯이, 일반적인 부분공간의 직교여공간을 계산하려면 대개 그 부분공간을 어떤 행렬의 열공간이나 영공간으로 다시 쓰는 것이 가장 좋습니다.

예제(부분공간의 직교여공간)

예제(고유공간의 직교여공간)

소절6.2.3행 랭크와 열 랭크

$A$ 가 $m \times n$ 행렬이라고 합시다. $\Col(A)$ 와 $\Row(A)$ 의 차원을 각각 $A$ 의 행 랭크와 열 랭크라고 부릅시다( $A$ 의 열 랭크는 $A$ 의 랭크와 같다는 점에 유의하십시오). 다음 정리는 행 랭크와 열 랭크가 같다는 것을 말해 줍니다. 이는 몇 가지 이유에서 놀라운 사실입니다. 첫째, $\Row(A)$ 는 $\R^n$ 에 속하고 $\Col(A)$ 는 $\R^m$ 에 속합니다. 또한 이 정리에 따르면 $A$ 와 $A^T$ 의 기약 행 사다리꼴은 그 외에는 서로 아무 관련이 없는데도 $A$ 와 $A^T$ 는 같은 개수의 피벗을 가집니다.