다음은 가 일대일이라는 것을 나타내는 몇 가지 동치 표현입니다:

• 의 모든 벡터 에 대해 방정식 는 에서 해 를 갖지 않거나 하나만 가집니다.
• 의 서로 다른 입력은 서로 다른 출력을 가집니다.
• 이면 입니다.

다음은 가 일대일이 아니라는 것을 나타내는 몇 가지 동치 표현입니다:

• 방정식 가 에서 해 를 둘 이상 가지도록 하는 벡터 가 에 존재합니다.
• 같은 출력을 가지는 의 서로 다른 두 입력이 존재합니다.
• 이지만 인 벡터 가 존재합니다.

동치란 주어진 행렬에 대해 모든 명제가 동시에 참이거나 모두 거짓이라는 뜻임을 상기하십시오.

앞의 세 예제에서 일대일이 아닌 변환과 영공간의 벡터에 관한 내용은 다음과 같이 요약할 수 있습니다. 가 일대일이 아닌 행렬 변환이라고 가정합시다. 정리에 의해 의 자명하지 않은 해가 존재합니다. 이는 의 영공간이 영공간 {0}이 아니라는 뜻입니다. 영공간의 모든 벡터는 의 해입니다. 영공간에 속하는 영이 아닌 벡터 를 (예를 들어 행 축약을 하여 의 해집합의 매개변수 꼴을 구함으로써) 계산하면, 와 는 모두 같은 출력을 가집니다:

가로로 넓은 행렬은 일대일 변환을 가지지 않습니다

가 일대일 행렬 변환이라면, 과 의 상대적인 크기에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

에 대응하는 행렬은 개의 열과 개의 행을 가집니다. 각 행과 각 열에는 피벗이 하나씩만 있을 수 있으므로, 의 모든 열에 피벗이 있으려면 행의 개수가 적어도 열의 개수만큼 있어야 합니다:

이는 예를 들어 이 “너무 커서” 로의 일대일 선형변환을 가질 수 없다는 뜻입니다.

일대일이 아닌 세로로 긴 행렬도 존재한다는 점에 유의하십시오: 예를 들어

는 모든 열에 피벗이 있지는 않습니다.

다음은 가 전사라는 것을 나타내는 동치인 표현들입니다:

• 의 치역은 의 공역과 같습니다.
• 공역의 모든 벡터는 어떤 입력 벡터의 출력입니다.

다음은 가 전사가 아니라는 것을 나타내는 동치인 표현들입니다:

• 의 치역은 의 공역보다 작습니다.
• 방정식 가 해를 갖지 않는 벡터 가 에 존재합니다.
• 공역에 어떤 입력 벡터의 출력도 아닌 벡터가 있습니다.

앞의 두 예제는 치역에 속하지 않는 벡터에 관한 다음 관찰을 보여 줍니다. 가 전사가 아닌 행렬 변환이라고 가정합시다. 이는 가 차원이 보다 작은 의 부분공간이라는 뜻입니다. 예를 들어 평면 위의 직선일 수도 있고, -공간 속의 직선이나 -공간 속의 평면 등일 수도 있습니다. 어느 경우든 의 치역은 공역에 비해 매우 작습니다. 의 치역에 속하지 않는 벡터를 찾으려면 에서 영이 아닌 벡터 를 무작위로 고르십시오. 의 치역에 속하는 벡터를 고르려면 운이 극도로 나빠야 합니다. 물론 주어진 벡터 가 의 치역에 속하는지 확인하려면 행렬 방정식 를 풀어서 해가 존재하는지 살펴보아야 합니다.

세로로 긴 행렬은 전사 변환을 갖지 않습니다

이 전사인 행렬 변환이라면, 과 의 상대적인 크기에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

에 대응하는 행렬은 개의 열과 개의 행을 가집니다. 각 행과 각 열에는 피벗이 하나씩만 있을 수 있으므로, 의 모든 행에 피벗이 있으려면 열이 최소한 행의 개수만큼 있어야 합니다:

이는 예를 들어 가 로의 전사 선형변환을 허용하기에는 “너무 작다”는 것을 의미합니다.

전사가 아닌 넓은 행렬도 존재한다는 점에 유의하십시오. 예를 들어

는 모든 행에 피벗을 가지지 않습니다.

위의 일대일 변환과 전사 변환에 대한 설명은 서로 대칭을 이루도록 작성되었습니다. 그러나 “일대일”과 “전사”는 상보적인 개념이며, 어느 한쪽도 다른 쪽을 함의하지 않습니다. 아래에 두 개념을 비교하는 표를 제시하였습니다. 표에서 는 행렬이고, 은 행렬 변환 이며, 표는 각 성질을 의 피벗을 가진 행과 열, 그리고 T의 치역으로 비교합니다.

일반적으로 변환 가 일대일이면서 전사일 필요충분조건은 의 모든 에 대해 가 정확히 하나의 해를 가지는 것임에 유의하십시오.