절3.4행렬 곱셈¶ 고유 링크

목표

변환의 합성을 이해합니다.
행렬 곱과 행렬 변환의 합성 사이의 관계를 이해합니다.
행렬을 포함한 기본적인 대수 계산에 익숙해집니다.
계산 절차: 행렬 곱셈(두 가지 방법).
그림: 변환의 합성.
용어: 합성.

이 절에서는 변환의 합성을 공부합니다. 앞으로 보겠지만, 합성은 변환들을 사슬처럼 이어 붙이는 방법입니다. 행렬 변환의 합성은 두 행렬을 곱한다는 개념에 대응합니다. 또한 변환과 행렬의 덧셈 및 스칼라 곱셈도 다룹니다.

소절3.4.1선형 변환의 합성

선형대수학에서 합성은 미적분학에서와 같은 의미입니다. 정의는 다음과 같습니다.

정의

$T\colon\R^n\to\R^m$ 과 $U\colon\R^p\to\R^n$ 을 변환이라고 합시다. 이들의 합성은 다음과 같이 정의되는 변환 $T\circ U\colon\R^p\to\R^m$ 입니다.

$\begin{equation*} (T\circ U)(x) = T(U(x)). \end{equation*}$

두 변환을 합성한다는 것은 두 변환을 사슬처럼 이어 붙인다는 뜻입니다. $T\circ U$ 는 먼저 $U$ 를 적용한 다음 $T$ 를 적용하는 변환입니다(연산 순서에 유의하십시오). 더 정확히 말하면, 입력 벡터 $x$ 에서 $T\circ U$ 의 값을 구하려면 먼저 $U(x)$ 를 계산한 다음, 이 $U$ 의 출력 벡터를 $T$ 의 입력 벡터로 사용합니다. 즉, $(T\circ U)(x) = T(U(x))$ 입니다. 물론 이는 $U$ 의 출력이 $T$ 의 올바른 입력일 때, 즉 $U$ 의 치역이 $T$ 의 정의역에 포함될 때에만 의미가 있습니다.

$\begin{tikzpicture}[every label/.append style={text=black, thin border}, scale=.65] \draw[grid lines] (-3,-3) grid (3,3) (0,-3.5) node[black] {$\R^p$} (2,1) node[point, "$x$" left] (x) {}; \draw[grid lines,xshift=8cm] (-3,-3) grid (3,3) (0,-3.5) node[black] {$\R^n$} (-1,-2) node[point, "$U(x)$" above] (Ux) {}; \draw[grid lines,xshift=16cm] (-3,-3) grid (3,3) (0,-3.5) node[black] {$\R^m$} (-2,2) node[point, "$T\circ U(x)$" below right] (TUx) {}; \draw[|->, shorten=1.5pt, out=0, in=180] (x) to node[below,midway] {$U$} (Ux); \draw[|->, shorten=1.5pt, out=0, in=180] (Ux) to node[below,midway] {$T$} (TUx); \draw[shorten=1.5pt, out=0, in=180] (x) to node[above=2pt,midway,thin border] {$T\circ U$} (TUx); \end{tikzpicture}$

다음은 합성 $T\circ U$ 를 먼저 $U$ 를 실행한 다음 그 출력을 받아 $T$ 에 넣는 “기계”로 나타낸 그림입니다. 이 소절 in 절 3.1에도 비슷한 그림이 있습니다.

$\tikzset{ pics/gear/.style args={#1/#2}{ code = { % #1 = number of gears, #2 = tooth length \filldraw[fill=black!30] (1cm-#2/2,0) let \n{angle} = {360/#1} in \foreach \gear [evaluate=\gear as \startangle using \gear*\n{angle}] in {1,...,#1} { arc[radius=1cm-#2/2, start angle=\startangle-\n{angle}, delta angle=\n{angle}/4] -- (\startangle-3*\n{angle}/4+\n{angle}/10:1cm+#2/2) arc[radius=1cm+#2/2, start angle=\startangle-3*\n{angle}/4+\n{angle}/10, end angle =\startangle- \n{angle}/4-\n{angle}/10] -- (\startangle- \n{angle}/4:1cm-#2/2) arc[radius=1cm-#2/2, start angle=\startangle-\n{angle}/4, delta angle=\n{angle}/4] }; \draw (0,0) circle[radius=.4cm]; } }, % machine is an input/output machine for illustrating functions machine/.pic = { \filldraw[rounded corners=.3mm, fill=steel!30] (1.5, -1) -- (1.5, -.5) -- (1.5-.2, -.5) -- (1.5-.2, .4) -- (1.5, .4) -- (1.5, 1) -- (-1.5, 1) -- (-1.5, -1) -- cycle; \filldraw[fill=steel!30] (-1.5, -.2) -- (-1.5-.5, -.5) -- (-1.5-.5, .5) -- (-1.5, .2); \coordinate (-input) at (-1.5-.5, 0); %\fill (-1.5-.4, -.05) rectangle (-1.5+.5, .05); %\fill (-1.5+.3, -.15) -- (-1.5+.7, 0) -- (-1.5+.3, .15); \filldraw[yshift=-.1cm, fill=black!30] (1.5-.2, -.3) -- (1.5+.4, -.3) arc[radius=.15, start angle=-90, end angle=90] -- (1.5-.2,0); \draw[yshift=-.1cm] (1.5+.4, -.15) circle[radius=.1]; %\fill (1.5-.7, -.05) rectangle (1.5+.2, .05); %\fill (1.5+.0, -.15) -- (1.5+.4, 0) -- (1.5+.0, .15); \coordinate (-output) at (1.5+.5, 0); \pic[transform shape, scale=.4] at (-.4, -.4) {gear={15/.2cm}}; \pic[transform shape, scale=.4] at ( .4, -.4) {gear={15/.2cm}}; % Need to expand \tikzpictextoptions *first* so as not to confuse \pgfkeys \expandafter\node\expandafter[\tikzpictextoptions] at (0, .5) {\tikzpictext}; }, machine2/.pic = { \filldraw[rounded corners=.3mm, fill=steel!30] (3.5, -1) -- (3.5, -.5) -- (3.5-.2, -.5) -- (3.5-.2, .4) -- (3.5, .4) -- (3.5, 1) -- (-1.5, 1) -- (-1.5, -1) -- cycle; \filldraw[fill=steel!30] (-1.5, -.2) -- (-1.5-.3, -.4) -- (-1.5-.3, .4) -- (-1.5, .2); \coordinate (-input) at (-1.5-.3, 0); %\fill (-1.5-.4, -.05) rectangle (-1.5+.5, .05); %\fill (-1.5+.3, -.15) -- (-1.5+.7, 0) -- (-1.5+.3, .15); \filldraw[yshift=-.1cm, fill=black!30] (3.5-.2, -.3) -- (3.5+.1, -.3) arc[radius=.15, start angle=-90, end angle=90] -- (3.5-.2,0); \draw[yshift=-.1cm] (3.5+.1, -.15) circle[radius=.1]; %\fill (1.5-.7, -.05) rectangle (1.5+.2, .05); %\fill (1.5+.0, -.15) -- (1.5+.4, 0) -- (1.5+.0, .15); \coordinate (-output) at (3.5-.2, 0); % Need to expand \tikzpictextoptions *first* so as not to confuse \pgfkeys \expandafter\node\expandafter[\tikzpictextoptions] at (1, .75) {\tikzpictext}; }, } \begin{tikzpicture}[thin border nodes] \pic[scale=2, "$T\circ U$"] (machine) at (0, 0) {machine2}; \filldraw[dashed, rounded corners=3mm, thick, fill=white!96!black] (-2.5, -1.2) rectangle (6, 1.2); \pic[scale=.75, "$U$"] (machine1) at (-.5, 0) {machine}; \pic[scale=.75, "$T$"] (machine2) at (4, 0) {machine}; \draw[thick, shorten=1mm, arrows={<[scale=1.5]-}] (machine-input) -- node[above=.7mm] {$\R^p$} ++(-1cm,0) node[left] {$x$}; \draw[thick, shorten=1mm, arrows={-[scale=1.5]>}] (machine-output) -- node[above=.7mm] {$\R^m$} ++(1.1cm,0) node[right] {$T\circ U(x)$}; \draw[shorten=1mm, ->] (machine-input) -- (machine1-input); \draw[shorten=1mm, ->] (machine1-output) -- node[above=1mm, font=\small] {$U(x)$} node[below=1mm, font=\small] {$\R^n$} (machine2-input); \draw[shorten=1mm, ->] (machine2-output) -- (machine-output); \end{tikzpicture}$

합성의 정의역과 공역

$T\circ U$ 가 정의되려면 $U$ 의 공역이 $T$ 의 정의역과 같아야 합니다.
$T\circ U$ 의 정의역은 $U$ 의 정의역입니다.
$T\circ U$ 의 공역은 $T$ 의 공역입니다.

예제(일변수 함수)

인터랙티브: 행렬 변환의 합성

인터랙티브: 단계적으로 정의된 변환

정의 in 절 3.1에서 항등변환은 모든 벡터 $x$ 에 대해 $\operatorname{Id}_{\R^n}(x) = x$ 로 정의되는 변환 $\operatorname{Id}_{\R^n}\colon\R^n\to\R^n$ 임을 상기하십시오.

합성의 성질

$S,T,U$ 를 변환이라 하고 $c$ 를 스칼라라고 합시다. $T\colon\R^n\to\R^m$ 이고, 다음 각 항등식에서 합성이 정의되는 데 필요한 경우 정의역과 공역이 서로 맞는다고 가정합니다. 다음 성질들은 쉽게 확인할 수 있습니다:

$\begin{align*} S\circ(T+U) \amp= S\circ T+S\circ U \amp (S + T)\circ U \amp= S\circ U + T\circ U \amp\\ c(T\circ U) \amp= (cT)\circ U \amp c(T\circ U) \amp= T\circ(cU) \rlap{\;\;\text{ if $T$ is linear}}\\ T\circ\operatorname{Id}_{\R^n} \amp= T \amp \operatorname{Id}_{\R^m}\circ T \amp= T\\ \amp \amp S\circ(T\circ U) \amp= (S\circ T)\circ U \amp \end{align*}$

마지막 성질을 결합법칙이라고 합니다. 양변을 풀어 쓰면 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} S\circ(T\circ U)(x) = S(T\circ U(x)) = S(T(U(x))) = S\circ T(U(x)) = (S\circ T)\circ U(x). \end{equation*}$

다시 말해, $S\circ (T\circ U)$ 와 $(S\circ T)\circ U$ 는 모두 먼저 $U$ 를, 다음에 $T$ 를, 그다음에 $S$ 를 적용하여 정의되는 변환입니다.

변환의 합성은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 즉, 두 합성이 모두 정의되는 경우에도 일반적으로 $T\circ U\neq U\circ T$ 입니다.

예제(일변수 함수)

예제(교환법칙이 성립하지 않는 변환의 합성)

소절3.4.2행렬 곱셈

이 소절에서는 겉보기에는 관련이 없어 보이는 행렬 연산, 즉 행렬 곱셈을 소개합니다. 다음 소절에서 보겠지만, 행렬 곱셈은 대응하는 선형 변환들의 합성과 정확히 대응합니다. 먼저 몇 가지 용어가 필요합니다.

표기법

$A$ 를 $m\times n$ 행렬이라고 합시다. 일반적으로 $i$ 번째 행과 $j$ 번째 열에 있는 성분을 $a_{ij}$ 로 씁니다. 이를 행렬의 $i,j$ 성분이라고 합니다.

$\def\spvdots{\vphantom{\vbox{\hbox{(}\kern0pt}}\smash{\vdots}} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] \matrix[math matrix] (aij) { a_{11} \& \cdots \& a_{1j} \& \cdots \& a_{1n} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ a_{i1} \& \cdots \& a_{ij} \& \cdots \& a_{in} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ a_{m1} \& \cdots \& a_{mj} \& \cdots \& a_{mn} \& \\ }; \node[fit=(aij-1-3) (aij-5-3), inner sep=2pt, draw=blue!50, thick, rounded corners, label={[text=blue!50]below:\small$j$th column}] {}; \node[fit=(aij-3-1) (aij-3-5), inner sep=2pt, draw=green!70!black, thick, rounded corners] (row) {}; \node[text=green!70!black, rotate=90, anchor=north, yshift=.5mm, font=\small] at (row.east) {$i$th row}; \end{tikzpicture}$

정의(행렬 곱셈)

$A$ 를 $m\times n$ 행렬, $B$ 를 $n\times p$ 행렬이라고 합시다. $B$ 의 열들을 $v_1,v_2,\ldots,v_p$ 로 나타냅니다.

$\begin{equation*} B = \mat{| | ,, |; v_1 v_2 \cdots, v_p; | | ,, |}. \end{equation*}$

곱 $AB$ 는 열이 $Av_1,Av_2,\ldots,Av_p$ 인 $m\times p$ 행렬입니다.

$\begin{equation*} AB = \mat{| | ,, |; Av_1 Av_2 \cdots, Av_p; | | ,, |}. \end{equation*}$

다시 말해, 행렬 곱셈은 열 단위로 정의됩니다. 즉, “ $B$ 의 열들에 대해 분배됩니다.”

예제

벡터 $Av_1,Av_2,\ldots,Av_p$ 가 정의되려면 $B$ 의 행의 개수가 $A$ 의 열의 개수와 같아야 합니다.

행렬 곱에서 행렬의 크기

$AB$ 가 정의되려면 $B$ 의 행의 개수가 $A$ 의 열의 개수와 같아야 합니다.
$\b m\times\r n$ 행렬과 $\r n\times\b p$ 행렬의 곱은 $\b m\times\b p$ 행렬입니다.

행렬 $B$ 의 열이 하나뿐이면(즉, $B$ 가 벡터이면) $AB$ 역시 열이 하나뿐입니다. 열이 하나인 행렬은 벡터와 같으므로, 행렬 곱의 정의는 이 정의 in 절 2.3에서 다룬 행렬-벡터 곱의 정의를 일반화합니다.

$A$ 가 정사각행렬이면 $A$ 를 자기 자신과 곱할 수 있습니다. 그 거듭제곱을 다음과 같이 정의합니다.

$\begin{equation*} A^2 = AA \qquad A^3 = AAA \qquad \text{etc.} \end{equation*}$

행렬 곱셈의 행-열 규칙

이 정의 in 절 2.3에서 행벡터와 열벡터의 곱은 다음 스칼라임을 상기하십시오.

$\begin{equation*} \mat{a_1 a_2 \cdots, a_n} \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n. \end{equation*}$

행렬 곱을 구하는 다음 절차는 손으로 계산하기에 훨씬 더 적합합니다. 앞의 정의는 아래의 이 정리와 같은 정리를 증명하는 데 더 적합합니다.

계산 절차: 행렬 곱셈의 행-열 규칙

$A$ 를 $m\times n$ 행렬, $B$ 를 $n\times p$ 행렬이라 하고 $C = AB$ 라 합시다. 그러면 $C$ 의 $ij$ 성분은 $A$ 의 $i$ 번째 행과 $B$ 의 $j$ 번째 열의 곱입니다:

$\begin{equation*} c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}. \end{equation*}$

다음은 행렬 곱을 나타낸 도식입니다:

$\begin{equation*} \def\spvdots{\vphantom{\vbox{\hbox{(}\kern0pt}}\smash{\vdots}} \begin{tikzpicture}[baseline, scale=.95] \matrix[math matrix] (aij) { a_{11} \& \cdots \& a_{1k} \& \cdots \& a_{1n} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ a_{i1} \& \cdots \& a_{ik} \& \cdots \& a_{in} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ a_{m1} \& \cdots \& a_{mk} \& \cdots \& a_{mn} \\ }; \node[fit=(aij-3-1) (aij-3-5), inner sep=2pt, draw=green!70!black, thick, rounded corners] (row) {}; \node[text=green!70!black, rotate=90, anchor=north, yshift=2mm, font=\small] at (row.east) {$i$th row}; \end{tikzpicture}\hskip-1mm \begin{tikzpicture}[baseline, scale=.95] \matrix[math matrix] (bij) { b_{11} \& \cdots \& b_{1j} \& \cdots \& b_{1p} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ b_{k1} \& \cdots \& b_{kj} \& \cdots \& b_{kp} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ b_{n1} \& \cdots \& b_{nj} \& \cdots \& b_{np} \\ }; \node[fit=(bij-1-3) (bij-5-3), inner sep=2pt, draw=blue!50, thick, rounded corners, label={[text=blue!50]below:\small$j$th column}] {}; \end{tikzpicture} \hskip-4pt=\hskip-4pt \begin{tikzpicture}[baseline, scale=.95] \matrix[math matrix, label=below:$\textcolor{green!70!black}i\textcolor{blue!50}j$ entry] (cij) { c_{11} \& \cdots \& c_{1j} \& \cdots \& c_{1p} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ c_{i1} \& \cdots \& c_{ij} \& \cdots \& c_{ip} \\ \spvdots \& \& \spvdots \& \& \spvdots \\ c_{m1} \& \cdots \& c_{mj} \& \cdots \& c_{mp} \\ }; \draw[thick, green!70!black] (cij-3-3.center) circle[radius=1.35ex]; \draw[thick, blue!50] (cij-3-3.center) circle[radius=1.35ex+\pgflinewidth]; \end{tikzpicture} \end{equation*}$

증명

예제

행렬 곱셈은 기대할 만한 성질을 많이 만족하지만(이 절의 끝을 참고하십시오), 일반적으로 성립하지 않는 성질도 여럿 있으므로 행렬 연산을 할 때는 주의해야 합니다.

행렬 곱셈의 주의 사항

행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다: 두 곱이 모두 정의되고 크기가 같더라도 $AB$ 는 보통 $BA$ 와 같지 않습니다. 이 예제를 참고하십시오.
행렬 곱셈은 소거법칙을 만족하지 않습니다: $A\neq 0$ 이더라도 $AB=AC$ 라고 해서 $B=C$ 인 것은 아닙니다. 예를 들어 다음과 같습니다:
$\begin{equation*} \mat{1 0; 0 0}\mat{1 2; 3 4} = \mat{1 2; 0 0} = \mat{1 0; 0 0}\mat{1 2; 5 6}. \end{equation*}$
$A\neq 0$ 이고 $B\neq 0$ 이더라도 $AB=0$ 일 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다:
$\begin{equation*} \mat{1 0; 1 0}\mat{0 0; 1 1} = \mat{0 0; 0 0}. \end{equation*}$

행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않지만, $AB=BA$ 를 만족하는 행렬 $A$ 와 $B$ 의 예도 있습니다. 예를 들어 $A$ 가 영행렬이거나 $A=B$ 이면 항상 성립합니다. 독자 여러분도 다른 예를 찾아보시기 바랍니다.

예제(교환법칙이 성립하지 않는 행렬의 곱셈)

연산 순서

소절3.4.3합성과 행렬 곱셈

이 소단원의 목적은 행렬 곱셈이 변환의 합성에 대응한다는 것, 즉 $T \circ U$ 의 표준행렬이 $T$ 의 표준행렬과 $U$ 의 표준행렬의 곱임을 보이는 것입니다. 행렬 곱셈에 대한 우리의 복잡한 공식이 실제로 “두 변환을 연달아 잇는 것”과 같은 직관적인 의미를 지닌다는 것은 믿기 어려울 것입니다!

정리

$T\colon\R^n\to\R^m$ 와 $U\colon\R^p\to\R^n$ 를 선형변환이라 하고, $A$ 와 $B$ 를 각각 이들의 표준행렬이라 하겠습니다. 그러면 $A$ 는 $m\times n$ 행렬이고 $B$ 는 $n\times p$ 행렬입니다. 그러면 $T\circ U\colon\R^p\to\R^m$ 는 선형변환이며, 그 표준행렬은 곱 $AB$ 입니다.

증명

이 정리는 우리가 행렬 곱을 그렇게 정의한 것이 타당함을 보여 줍니다. 이것이 행렬 곱을 이런 방식으로 정의하는 유일한 이유입니다. 다시 말하면 다음과 같습니다.

곱과 합성

두 선형변환의 합성의 행렬은 각 변환의 행렬의 곱입니다.

예제(회전의 합성)

도전 과제

대화형: 행렬변환의 합성

인터랙티브: 단계적으로 정의된 변환

이 정의 in 절 3.3에서 단위행렬이란 $\R^n$ 의 표준 좌표 벡터들을 열로 갖는 $n\times n$ 행렬 $I_n$ 이었음을 떠올리십시오. 단위행렬은 항등변환의 표준행렬입니다. 즉, $\R^n$ 의 모든 벡터 $x$ 에 대해 $x = \operatorname{Id}_{\R^n}(x) = I_nx$ 입니다. 임의의 선형변환 $T : \R^n \to \R^m$ 에 대해

$\begin{equation*} I_{\R^m} \circ T = T \end{equation*}$

이고, 같은 이유로 임의의 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해

$\begin{equation*} I_mA=A \end{equation*}$

입니다. 마찬가지로 $T \circ I_{\R^n} = T$ 이고 $AI_n=A$ 입니다.

소절3.4.4변환과 행렬의 대수

이 소단원에서는 변환에 대해 수행할 수 있는 두 가지 연산, 즉 덧셈과 스칼라 곱을 더 설명합니다. 그런 다음 이 연산들을 행렬의 언어로 옮깁니다. 이는 선형변환의 합성에 대해 했던 것과 비슷하지만, 훨씬 덜 미묘합니다.

정의

$T,U\colon\R^n\to\R^m$ 를 두 변환이라 합시다. 이들의 합은 다음과 같이 정의되는 변환 $T+U\colon\R^n\to\R^m$ 입니다.
$\begin{equation*} (T+U)(x) = T(x) + U(x). \end{equation*}$
변환의 덧셈은 두 변환의 정의역과 공역이 같을 때에만 정의된다는 점에 유의하십시오.
$T\colon\R^n\to\R^m$ 를 변환이라 하고, $c$ 를 스칼라라 합시다. $c$ 와 $T$ 의 스칼라 곱은 다음과 같이 정의되는 변환 $cT\colon\R^n\to\R^m$ 입니다.
$\begin{equation*} (cT)(x) = c\cdot T(x). \end{equation*}$

다시 강조하면, 두 변환 $T,U\colon\R^n\to\R^m$ 의 합은 $T+U$ 라 불리는 또 다른 변환이며, 입력 벡터 $x$ 에서의 그 값은 $T$ 와 $U$ 의 출력의 합입니다. 마찬가지로, $T$ 와 스칼라 $c$ 의 곱은 $cT$ 라 불리는 또 다른 변환이며, 입력 벡터 $x$ 에서의 그 값은 벡터 $c\cdot T(x)$ 입니다.

예제(일변수 함수)

변환의 덧셈과 스칼라 곱셈의 성질

$S,T,U\colon\R^n\to\R^m$ 를 변환이라 하고 $c,d$ 를 스칼라라 합시다. 다음 성질들은 쉽게 확인할 수 있습니다.

$\begin{align*} T + U \amp= U + T \amp S + (T + U) \amp= (S + T) + U\\ c(T + U) \amp= cT + cU \amp (c + d)T \amp= cT + dT\\ c(dT) \amp= (cd)T \amp T + 0 \amp= T \end{align*}$

위의 성질 중 하나에서 우리는 $0$ 을 모든 입력 벡터에서 0이 되는 변환 $\R^n\to\R^m$ 를 나타내는 데 사용했습니다. 즉, 모든 $x$ 에 대해 $0(x) = 0$ 입니다. 이것을 영변환이라고 합니다.

이제 행렬에 대한 유사한 연산을 제시합니다.

정의

두 $m\times n$ 행렬의 합은 $A$ 와 $B$ 의 성분을 각각 더하여 얻는 행렬입니다.
$\begin{equation*} \mat{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}} + \mat{b_{11} b_{12} b_{13}; b_{21} b_{22} b_{23}} = \mat{a_{11}+b_{11} a_{12}+b_{12} a_{13}+b_{13}; a_{21}+b_{21} a_{22}+b_{22} a_{23}+b_{23}} \end{equation*}$
다시 말해, $A+B$ 의 $i,j$ 성분은 $A$ 와 $B$ 의 $i,j$ 성분의 합입니다. 행렬의 덧셈은 두 행렬의 크기가 같을 때에만 정의된다는 점에 유의하십시오.
스칼라 $c$ 와 행렬 $A$ 의 스칼라 곱은 $A$ 의 모든 성분에 $c$ 를 곱하여 얻습니다.
$\begin{equation*} \def\r{\textcolor{red}} \r c\mat{a_{11} a_{12} a_{13}; a_{21} a_{22} a_{23}} = \mat{\r ca_{11} \r ca_{12} \r ca_{13}; \r ca_{21} \r ca_{22} \r ca_{23}} \end{equation*}$
다시 말해, $cA$ 의 $i,j$ 성분은 $A$ 의 $i,j$ 성분의 $c$ 배입니다.

사실

$T,U\colon\R^n\to\R^m$ 를 각각 표준행렬이 $A,B$ 인 선형변환이라 하고, $c$ 를 스칼라라 합시다.

$T+U$ 의 표준행렬은 $A+B$ 입니다.
$cT$ 의 표준행렬은 $cA$ 입니다.

위의 사실에 비추어 볼 때, 다음 성질들은 변환의 대응하는 성질로부터 따라 나옵니다. 이 성질들은 정의로부터 직접 쉽게 확인할 수도 있습니다.

행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈의 성질

$A,B,C$ 를 $m\times n$ 행렬이라 하고 $c,d$ 를 스칼라라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

$\begin{align*} A + B \amp= B + A \amp C + (A + B) \amp= (C + A) + B\\ c(A + B) \amp= cA + cB \amp (c + d)A \amp= cA + dA\\ c(dA) \amp= (cd)A \amp A + 0 \amp= A \end{align*}$

위의 성질 중 하나에서 우리는 $0$ 을 모든 성분이 0인 $m\times n$ 행렬을 나타내는 데 사용했습니다. 이것은 영변환의 표준행렬이며, 영행렬이라고 합니다.

행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈을 행렬의 곱셈과 결합할 수도 있습니다. 행렬 곱셈은 변환의 합성에 대응하므로(정리), 다음 성질들은 변환의 대응하는 성질로부터 따라 나옵니다.

행렬 곱셈의 성질

$A,B,C$ 를 행렬이라 하고 $c$ 를 스칼라라고 합시다. $A$ 가 $m\times n$ 행렬이고, 다음 각 항등식에서 곱이 정의되어야 하는 경우 $B$ 와 $C$ 의 크기가 서로 맞는다고 가정합니다. 그러면 다음이 성립합니다.

$\begin{align*} C(A+B) \amp= C A+C B \amp (A + B) C \amp= A C + B C \amp\\ c(A B) \amp= (cA) B \amp c(A B) \amp= A(cB)\\ A I_n \amp= A \amp I_m A \amp= A\\ (A B)C \amp= A (BC) \amp \end{align*}$

위 성질의 대부분은 정의로부터 직접 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 결합법칙 $(AB)C=A(BC)$ 는 그렇지 않습니다(직접 해 보십시오!). 이 성질은 행렬 곱셈을 변환의 합성과 연관 짓고, 변환의 합성이 결합법칙을 만족한다는 자명한 사실을 이용하면 훨씬 쉽게 증명할 수 있습니다.

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