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절5.2특성다항식

목표
  1. 삼각행렬의 고윳값이 대각성분임을 배웁니다.
  2. 특성다항식을 사용하여 행렬의 모든 고윳값을 구합니다.
  3. 다항식의 영점을 찾는 몇 가지 전략을 배웁니다.
  4. 계산 절차: 2\times 2 행렬의 특성다항식.
  5. 용어: 특성다항식, 대각합.

절 5.1에서는 주어진 수 \lambda가 행렬의 고윳값인지 판정하는 방법과, 고윳값이라면 그에 대응하는 고유벡터를 모두 구하는 방법을 논의했습니다. 이 절에서는 행렬의 고윳값을 모두 계산하는 방법을 제시합니다. 이는 연립일차방정식을 푸는 문제로 귀결되지 않습니다. 실제로 이는 한 변수에 대한 비선형 방정식을 푸는 것, 즉 특성다항식의 근을 구하는 것을 필요로 합니다.

정의

A를 n\times n 행렬이라고 합시다. A의 특성다항식은 다음과 같이 주어지는 함수 f(\lambda)입니다.

\begin{equation*} f(\lambda) = \det(A-\lambda I_n). \end{equation*}

특성다항식이 실제로 다항식이라는 것은 아래에서 살펴보겠습니다. 특성다항식을 구한다는 것은 성분에 미지수 \lambda가 포함된 행렬 A-\lambda I_n의 행렬식을 계산한다는 뜻입니다.

예제
예제

특성다항식의 핵심은 이를 이용하여 고윳값을 계산할 수 있다는 점입니다.

증명

가역행렬 정리 in 절 5.1에 의해, 행렬 방정식 (A-\lambda_0 I_n)x=0가 자명하지 않은 해를 가질 필요충분조건은 \det(A-\lambda_0 I_n) = 0입니다. 따라서 고윳값과 가역성 사이에 다음 관계가 성립합니다.

\begin{equation*} \begin{split} \lambda_0 \text{ is an eigenvalue of } A \amp\iff Ax = \lambda_0 x \text{ has a nontrivial solution} \\ \amp\iff (A-\lambda_0 I_n)x = 0 \text{ has a nontrivial solution} \\ \amp\iff A - \lambda_0 I_n \text{ is not invertible} \\ \amp\iff \det(A - \lambda_0 I_n) = 0 \\ \amp\iff f(\lambda_0) = 0. \end{split} \end{equation*}
예제(고윳값 구하기)
예제(고윳값 구하기)
특성다항식의 꼴

이제 “다항식”이라는 용어를 쓰는 근거를 밝힐 때가 되었습니다. 먼저 용어 하나가 필요합니다.

정의

정사각행렬 A의 대각합은 A의 대각성분을 모두 더하여 얻는 수 \Tr(A)입니다.

\begin{equation*} \def\r{\color{red}} \Tr\mat{\r a_{11} a_{12} \cdots, a_{1,n-1} a_{1n} ; a_{21} \r a_{22} \cdots, a_{2,n-1} a_{2n} ; \vdots, \vdots, \ddots, \vdots, \vdots ; a_{n-1,1} a_{n-1,2} \cdots, \r a_{n-1,n-1} a_{n-1,n} ; a_{n1} a_{n2} \cdots, a_{n,n-1} \r a_{nn}} = \r a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\color{black}. \end{equation*}
증명

먼저

\begin{equation*} f(0) = \det(A - 0I_n) = \det(A), \end{equation*}

임에 주목하십시오. 따라서 상수항은 항상 \det(A)입니다.

정리의 나머지 부분은 2\times 2 행렬에 대해서만 증명하겠습니다. 독자는 여인수 전개를 이용하여 일반적인 경우의 증명을 완성해 보기 바랍니다. 2\times 2 행렬을 A = \smallmat abcd로 쓸 수 있습니다. 그러면

\begin{equation*} \begin{split} f(\lambda) \amp= \det(A-\lambda I_2) = \det\mat{a-\lambda, b; c d-\lambda} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc \\ \amp=\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = \lambda^2 - \Tr(A)\lambda + \det(A). \end{split} \end{equation*}
계산 절차: 2\times 2 행렬의 특성다항식

n=2일 때, 앞의 정리는 특성다항식의 모든 계수를 알려 줍니다.

\begin{equation*} f(\lambda) = \lambda^2 - \Tr(A)\lambda + \det(A). \end{equation*}

이는 일반적으로 2\times 2 행렬의 특성다항식을 계산하는 가장 빠른 방법입니다.

예제
참고
삼각행렬의 고윳값

상삼각행렬이나 하삼각행렬의 행렬식은 쉽게 계산할 수 있으므로, 그 고윳값도 쉽게 구할 수 있습니다.

증명

간단히 하기 위해 A가 3\times 3 상삼각행렬이라고 가정합시다.

\begin{equation*} A = \mat{a_{11} a_{12} a_{13}; 0 a_{22} a_{23}; 0 0 a_{33}}. \end{equation*}

이 행렬의 특성다항식은 다음과 같습니다.

\begin{equation*} f(\lambda) = \det(A-\lambda I_3) = \det\mat{a_{11}-\lambda, a_{12} a_{13}; 0 a_{22}-\lambda, a_{23}; 0 0 a_{33}-\lambda}. \end{equation*}

이 행렬도 상삼각행렬이므로, 행렬식은 대각성분의 곱입니다.

\begin{equation*} f(\lambda) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)(a_{33}-\lambda). \end{equation*}

이 다항식의 근은 정확히 a_{11},\,a_{22},\,a_{33}.입니다.

예제
특성다항식의 인수분해

A가 n\times n 행렬이면, 위의 정리에 따라 특성다항식 f(\lambda)의 차수는 n입니다. n=2일 때는 근의 공식을 사용하여 f(\lambda)의 근을 구할 수 있습니다. 삼차 다항식과 사차 다항식의 근에 대해서도 대수적 공식이 존재하지만, 일반적으로 손으로 적용하기에는 너무 번거롭습니다. 더욱이, 차수가 5 이상인 일반적인 다항식의 근에 대해서는 대수적 공식이 존재하지 않는다는 사실이 알려져 있습니다.

실제로는 특성다항식의 근을 컴퓨터를 이용하여 수치적으로 구합니다. 그렇기는 하지만, 손으로 근을 구하는 방법도 분명히 존재합니다. 예를 들어, 유리근 정리로부터 다음과 같은 따름정리를 얻습니다(이것도 유리근 정리라고 부릅니다).

예를 들어, A의 성분이 정수이면 그 특성다항식의 계수도 정수입니다. 따라서 A가 유리수 고윳값을 가진다면, 이를 이용하여 손으로 근을 하나 구할 수 있습니다. 근을 하나 구하고 나면, 다항식 나눗셈으로 차수를 낮출 수 있습니다.

예제

위의 예에서 두 번째 열을 따라 여인수 전개를 하였다면 다음을 얻을 수 있었습니다.

\begin{equation*} f(\lambda) = (2-\lambda)\det\mat{7-\lambda, 3; -3 -1-\lambda}. \end{equation*}

2-\lambda가 그 열에서 유일하게 0이 아닌 성분이었으므로, 이 식에는 이미 2-\lambda 항이 인수로 묶여 있습니다. 즉, 유리근 정리가 필요하지 않았습니다. 위 식의 행렬식은 행렬 \smallmat 73{-3}{-1}의 특성다항식이므로, 대각합과 행렬식을 이용하여 계산할 수 있습니다:

\begin{equation*} f(\lambda) = (2-\lambda)\bigl(\lambda^2-(7-1)\lambda+(-7+9)\bigr) = (2-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+2). \end{equation*}
예제
2\times 2보다 큰 행렬의 고윳값 구하기

A를 n\times n 행렬이라고 합시다. 다음은 그 특성다항식 f(\lambda)를 인수분해하기 위한 몇 가지 전략입니다. 먼저 고윳값 하나를 찾아야 합니다:

  1. 특성다항식이 이미 부분적으로 인수분해되어 있다면 전개하지 마십시오! 이 예제에서 두 번째 열을 따라 여인수 전개를 하면 이러한 경우가 생깁니다.
  2. 상수항이 없다면, 이 예제에서처럼 \lambda를 인수로 묶을 수 있습니다.
  3. 행렬이 삼각행렬이면, 근은 대각성분입니다.
  4. 유리근 정리를 이용하여 고윳값 하나를 추측하십시오: \det(A)가 정수라면, \det(A)의 모든 (양수 및 음수) 약수를 f(\lambda)에 대입하십시오.
  5. 행렬의 기하학적 성질을 이용하여 고윳값을 찾으십시오. 예를 들어, 반사는 고윳값 \pm 1을 가집니다.

고윳값 \lambda_1을 구한 후, 다항식 나눗셈을 사용하여 f(\lambda)/(\lambda-\lambda_1)을 계산하십시오. 이 다항식은 차수가 더 낮습니다. n=3이라면 이것은 이차다항식이며, 여기에 근의 공식을 적용하여 나머지 근을 구할 수 있습니다.