정의

벡터 방정식

이 자명해 만을 가지면 벡터 집합 는 일차독립입니다. 그렇지 않으면 집합 는 일차종속입니다.

다시 말해, 모두 0은 아닌 수 가 존재하여

이 성립하면 는 일차독립이 아닌, 즉 일차종속인 집합입니다. 이를 일차종속 관계 또는 일차종속 방정식이라고 합니다.

위의 예제들로부터 다음 계산 절차를 얻습니다.

계산 절차: 일차독립 판정하기

벡터 집합 가 일차독립일 필요충분조건은 벡터 방정식

가 자명해만을 갖는 것이고, 이는 행렬 방정식 이 자명해만을 갖는 것과 동치입니다. 여기서 는 를 열로 하는 행렬입니다:

이는 가 모든 열에 피벗 위치를 가질 때, 그리고 그때에만 성립합니다.

행렬 방정식 을 풀면 열 가 일차독립임을 확인하거나, 자유변수에 0이 아닌 임의의 값을 대입하여 일차종속 관계식을 얻게 됩니다.

(이 자명하지 않은 해를 가질 필요충분조건은 에 피벗이 없는 열이 있는 것임을 상기하십시오: 이 관찰 in 절 2.4을 참고하십시오.)

의 열의 개수가 행의 개수보다 많다고 가정합니다. 그러면 는 모든 열에 피벗을 가질 수 없으므로(각 행에 피벗이 많아야 하나이므로), 그 열들은 자동으로 일차종속입니다.

예를 들어 의 벡터 네 개는 자동으로 일차종속입니다. 높은 행렬의 열들은 일차독립일 수도 있고 아닐 수도 있다는 점에 유의하십시오.

첫 번째 사실과 관련하여, 영벡터는 모든 벡터의 스칼라배이므로 다른 어떤 벡터와도 공선이라는 점에 유의하십시오. 따라서 사실 1과 사실 2는 서로 모순되지 않습니다.

이 소절에서는 벡터들의 집합이 일차독립이 되기 위한 두 가지 판정 기준을 제시합니다. 그러나 실제 정의는 위에 있다는 점을 명심하십시오.

증명

예를 들어 가 에 속한다고 가정하면, 다음과 같은 방정식을 얻습니다.

방정식의 양변에서 를 빼면 다음을 얻습니다.

이것은 일차종속 관계식입니다.

이 경우 의 모든 일차결합은 이미 의 일차결합입니다.

그러므로 는 에 포함됩니다. 의 모든 일차결합은 (의 계수를 0으로 두면) 의 일차결합이기도 하므로, 역시 에 포함되며, 따라서 두 집합은 같습니다.

반대 방향으로, 다음과 같은 일차종속 관계식

이 있다면, 0이 아닌 항 아무것이나 방정식의 좌변으로 옮긴 다음 그 계수로 나눌 수 있습니다.

이는 이 에 속함을 보여 줍니다.

이 증명을 임의의 벡터 집합으로 일반화하는 것은 독자에게 맡깁니다.

예를 들어 집합 는 일차종속이지만, 는 나머지 두 벡터의 생성에 속하지 않습니다. 아래의 그림도 참고하십시오.

앞의 정리는 일차종속인 벡터들의 집합이 어떤 의미에서 중복되는지를 정확하게 밝혀 줍니다.

증명

이는 어떤 에 대해 가 에 속할 때, 그리고 그때에만 가 일차종속임을 보이는 것과 동치입니다. “충분조건” 방향의 함의는 앞의 정리에서 바로 따라 나옵니다. 그러면 가 일차종속이라고 가정합시다. 이는 어떤 가 나머지 벡터들의 생성 공간에 속한다는 뜻입니다. 그러한 중 가장 큰 것을 택하십시오. 이 가 에 속한다고 주장합니다. 그렇지 않다면, 가 모두 0인 것은 아닌

가 성립합니다. 간단히 하기 위해 이라고 가정합시다. 그러면 다음과 같이 정리할 수 있습니다:

이는 가 의 생성 공간에 속한다는 뜻이며, 이는 가 나머지 벡터들의 생성 공간에 속하는 마지막 벡터라는 가정에 모순됩니다.

이를 다음과 같이 바꾸어 말할 수 있습니다:

벡터 하나로 이루어진 집합 는 일 때 일차독립입니다. 이면 이기 때문입니다.

한 직선 위에 있지 않은 두 벡터의 집합 는 일차독립입니다:

• 어느 쪽도 다른 쪽의 생성 공간에 속하지 않으므로, 첫 번째 판정법을 적용할 수 있습니다.
• 를 추가했을 때 생성공간이 커졌으므로 증가하는 생성 판정법을 적용할 수 있습니다.

아래의 세 벡터의 집합 는 일차종속입니다:

• 가 에 속하므로, 첫 번째 판정법을 적용할 수 있습니다.
• 를 추가했을 때 생성공간이 커지지 않았으므로 증가하는 생성 판정법을 적용할 수 있습니다.

아래 그림에서 는 에 속하고 는 에 속하므로, 세 벡터 중 어느 것을 제거해도 생성 공간이 줄어들지 않는다는 점에 주목하십시오.

한 직선 위에 있는 두 벡터는 항상 일차종속입니다:

• 가 에 속하므로, 첫 번째 판정법을 적용할 수 있습니다.
• 를 추가했을 때 생성공간이 커지지 않았으므로 증가하는 생성 판정법을 적용할 수 있습니다.

이 세 벡터 는 일차종속입니다. 실제로 가 이미 일차종속이므로, 세 번째 사실를 사용할 수 있습니다.

아래의 두 벡터 는 한 직선 위에 있지 않으므로 일차독립입니다.

아래의 세 벡터 는 일차독립입니다. 를 추가했을 때 생성공간이 커졌고, 를 추가했을 때 다시 커졌으므로 증가하는 생성 판정법을 적용할 수 있습니다.

아래의 한 평면 위에 있는 세 벡터 는 일차종속입니다:

• 는 에 속하므로 첫 번째 판정법을 적용할 수 있습니다.
• 를 추가했을 때 생성공간이 커지지 않았으므로 증가하는 생성 판정법을 적용할 수 있습니다.

세 벡터가 일차종속일 필요충분조건은 세 벡터가 한 평면 위에 있는 것임에 유의하십시오. 실제로 가 일차종속일 필요충분조건은 한 벡터가 나머지 두 벡터의 생성공간에 속하는 것이며, 그 생성공간은 평면(또는 직선)(또는 )입니다.

아래의 네 벡터 는 일차종속입니다. 이 벡터들은 가로로 긴 행렬의 열이기 때문입니다. 그러나 는 에 포함되지 않음에 유의하십시오. 이 주의를 참고하십시오.

이 중요과 이 판정법에 비추어 보면, 행렬의 어떤 열이 불필요한지, 즉 열들의 생성공간에 영향을 주지 않고 어떤 열을 제거할 수 있는지 묻는 것은 자연스럽습니다.

정리

를 의 벡터라 하고, 다음 행렬을 생각하십시오.

그러면 를 바꾸지 않고도 에서 피벗이 없는 열(자유변수에 대응하는 열)을 삭제할 수 있습니다.

피벗 열들은 일차독립이므로, 생성공간을 바꾸지 않고는 더 이상 열을 삭제할 수 없습니다.

증명

행렬이 기약 행 사다리꼴이면,

피벗이 없는 열은 피벗 열들의 생성공간에 속한다는 것이 눈에 보이며,

피벗 열들은 일차독립입니다.

행렬이 기약 행 사다리꼴이 아니면 행 축약을 합니다.

다음 두 벡터 방정식은 행동치인 행렬에서 나온 것이므로 같은 해집합을 가집니다.

따라서

이고,

는 자명해만을 가진다는 결론을 얻습니다.

의 피벗 열이 어느 것인지 찾으려면 를 행 축약해야 한다는 점에 유의하십시오. 그러나 행 축약된 행렬의 열들의 생성공간은 일반적으로 의 열들의 생성공간과 같지 않습니다. 반드시 원래 행렬의 피벗 열을 사용해야 합니다. 위 정리를 다르게 서술한 것은 정리 in 절 2.7를 참고하십시오.

피벗 열과 차원

다음 행렬의 피벗 열의 개수를 라 합시다.

• 이면 는 직선입니다.
• 이면 는 평면입니다.
• 이면 는 3차원 공간입니다.
• 이하 마찬가지입니다.

수 를 차원이라고 부릅니다. 이 개념은 이 중요 in 절 2.4와 이 중요 in 절 2.4에서 다루었습니다. 이 개념은 절 2.7에서 엄밀하게 정의하겠습니다.