절1.1연립일차방정식¶ 고유 링크

목표

$\R^n$ 의 정의를 이해하고, $\R^n$ 을 사용하여 기하학적 대상 위의 점에 이름을 붙인다는 것이 무엇을 의미하는지 이해하십시오.
그림: 연립일차방정식의 해, 매개변수로 표현된 해집합.
용어: 일관적, 비일관적, 해집합.

이 교재의 전반부에서는 주로 연립일차방정식의 해를 이해하는 데 관심을 둡니다.

정의

미지수 $x,y,z,\ldots$ 에 대한 방정식의 양변이 모두 $x,y,z,\ldots$ 의 (상수)배들의 합에 선택적으로 상수를 더한 꼴이면, 그 방정식을 일차방정식이라고 합니다.

예를 들어,

$\begin{equation*} \begin{split} 3x + 4y &= 2z \\ -x - z &= 100 \end{split} \end{equation*}$

는 일차방정식이지만

$\begin{equation*} \begin{split} 3x + yz &= 3 \\ \sin(x) - \cos(y) &= 2 \end{split} \end{equation*}$

는 일차방정식이 아닙니다.

보통 미지수는 방정식의 좌변으로, 상수는 우변으로 옮깁니다.

연립일차방정식은 다음과 같이 여러 개의 일차방정식을 모아 놓은 것입니다.

$\begin{equation*} \syseq{x + 2y + 3z = 6; 2x - 3y + 2z = 14; 3x + y - z = -2\rlap. } \end{equation*}$ (1.1.1)

정의(해집합)

연립방정식의 해란 모든 방정식을 동시에 참으로 만드는 수 $x, y, z, \ldots$ 의 목록입니다.
연립방정식의 해집합은 모든 해를 모아 놓은 것입니다.
연립방정식을 푼다는 것은 몇 개의 매개변수를 포함하는 공식으로 모든 해를 구하는 것을 의미합니다.

연립일차방정식이 반드시 해를 가질 필요는 없습니다. 예를 들어, 다음 두 방정식을 동시에 참으로 만드는 수 $x$ 와 $y$ 는 존재하지 않습니다:

$\begin{equation*} \syseq{x + 2y = 3 ; x + 2y = -3\rlap.} \end{equation*}$

이 경우 해집합은 공집합입니다. 이는 연립방정식의 상당히 중요한 성질이므로 따로 이름이 붙어 있습니다.

정의

연립방정식이 해를 갖지 않으면 그 연립방정식을 비일관적이라고 합니다. 그렇지 않으면 일관적이라고 합니다.

$n$ 개의 변수에 대한 연립방정식의 해는 $n$ 개의 수로 이루어진 목록입니다. 예를 들어, $(x,y,z) = (1,-2,3)$ 는 (1.1.1)의 해입니다. 이 교재 전체에 걸쳐 연립방정식의 해를 공부할 것이므로, 지금 수의 목록에 관한 개념을 확실히 정해 두는 것이 좋습니다.

소절1.1.1직선, 평면, 공간 등¶ 고유 링크

$\R$ 를 사용하여 모든 실수의 집합, 즉 수직선을 나타냅니다. 여기에는 $0, \frac 32, -\pi, 104, \ldots$ 와 같은 수가 포함됩니다.

정의

$n$ 을 양의 정수라고 합시다. 실수 공간을 다음과 같이 정의합니다.

$\begin{equation*} \R^n = \text{all ordered $n$-tuples of real numbers }(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n). \end{equation*}$

실수의 $n$ -순서쌍을 $\R^n$ 의 점이라고 합니다.

다시 말해, $\R^n$ 은 $n$ 개의 실수로 이루어진 (순서가 있는) 모든 목록의 집합일 뿐입니다. 잠시 후 $\R^n$ 의 그림을 그리겠지만, 이것이 정의라는 점을 명심하십시오. 예를 들어, $(0, \frac 32, -\pi)$ 와 $(1,-2,3)$ 은 $\R^3$ 의 점입니다.

예제(수직선)

$n=1$ 일 때는 그냥 $\R$ 을 다시 얻습니다: $\R^1=\R\text{.}$ 기하학적으로 이것은 수직선입니다.

$\begin{tikzpicture} \draw [<->, thick] (-3.5,0) -- (3.5,0); \foreach \x in {-3,...,3} \draw[thin] (\x,-.1) -- (\x,0.1) node[anchor=south] {$\x$}; \end{tikzpicture}$

예제(유클리드 평면)

$n=2$ 일 때는 $\R^2$ 를 $xy$ -평면으로 생각할 수 있습니다. 그렇게 할 수 있는 이유는 평면 위의 모든 점을 실수의 순서쌍, 즉 그 점의 $x$ - 좌표와 $y$ -좌표로 나타낼 수 있기 때문입니다.

$\begin{tikzpicture}[every node/.append style={whitebg, thin border}, every label/.append style={text=seq-blue}, scale=1] \draw[help lines] (-4, -4) grid (4, 4); \draw[->, thick] (-4,0) -- (4,0); \draw[->, thick] (0,-4) -- (0,4); \point[seq-blue, "{$(1,2)$}" above right] at (1,2); \point[seq-blue, "{$(0,-3)$}" above right] at (0,-3); \end{tikzpicture}$

예제(3차원 공간)

$n=3$ 일 때는 $\R^3$ 을 우리가 살고 있는 (것처럼 보이는) 공간으로 생각할 수 있습니다. 그렇게 할 수 있는 이유는 공간 안의 모든 점을 실수의 순서 있는 세 쌍, 즉 그 점의 $x$ -, $y$ -, $z$ -좌표로 나타낼 수 있기 때문입니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, scale=.75, every label/.append style={text=seq-blue}] \begin{scope}[transformxy] \draw[help lines] (-4, -4) grid (4, 4); \end{scope} \draw[->, thick] (-4,0,0) -- (4,0,0); \draw[->, thick] (0,-4,0) -- (0,4,0); \draw[->, thick] (0,0,0) -- (0,0,4); \draw[thick] (0,0,-4) -- (0,0,-2); \draw[thick,gray] (0,0,-2) -- (0,0,0); \draw[thin, densely dotted] (1,-1,3) -- (1,-1,0); \point[seq-blue, "${(1,-1,3)}$" above] at (1,-1,3); \draw[thin, densely dotted] (-2,2,2) -- (-2,2,0); \point[seq-blue, "${(-2,2,2)}$" above] at (-2,2,2); \end{tikzpicture}$

인터랙티브: 3차원 공간의 점

그렇다면 $\R^4$ 는 무엇입니까? $\R^5$ 는요? $\R^n$ 은 무엇입니까? 이들은 시각화하기가 더 어려우므로 정의로 돌아가야 합니다: $\R^n$ 은 실수의 순서 있는 모든 $n$ -순서쌍 $(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ 의 집합입니다.

$\R^2$ 와 $\R^3$ 에 대한 우리의 직관이 $\R^n$ 으로 확장되는 경우가 많다는 의미에서, 이들은 여전히 “기하학적” 공간입니다.

우리는 모든 $\R^n$ 에 적용되는 정의를 내리고 정리를 서술하겠지만, 그림은 $\R^2$ 와 $\R^3$ 에 대해서만 그리겠습니다.

이러한 공간을 사용하는 것의 강점은 기하학적 대상이나 연립방정식의 해와 같은 다양한 관심 대상을 $\R^n$ 의 점으로 표시할 수 있다는 데 있습니다.

예제(색 공간)

예제(교통 흐름)

예제(QR 코드)

위의 예제에서는 (교통 흐름을 나타내는) 네 개의 수로 이루어진 목록이나 (QR 코드를 나타내는) 841개의 수로 이루어진 목록을 하나의 데이터, 즉 어떤 $\R^n$ 의 한 점으로 바꾸어 생각하는 것이 심리적인 관점에서 유용했습니다. 이는 강력한 개념입니다. 절 2.2부터는 연립일차방정식의 해를 거의 전적으로 이러한 방식으로 기록할 것입니다.

소절1.1.2해집합의 그림¶ 고유 링크

아래에서 연립일차방정식을 푸는 방법을 논의하기 전에, 이러한 해집합이 기하학적으로 어떤 모습인지 몇 가지 그림으로 살펴보면 도움이 됩니다.

두 변수에 대한 방정식 하나

일차방정식 $x+y=1$ 을 생각해 봅시다. 이 식은 $y = 1-x$ 로 다시 쓸 수 있으며, 이는 평면 위의 직선을 정의합니다. 기울기는 $-1$ 이고 $x$ 절편은 $1$ 입니다.

$\begin{tikzpicture} \draw[grid lines] (-2,-2) grid (2,2); \draw[->] (-2,0) -- (2,0); \draw[->] (0,-2) -- (0,2); \draw[{Stealth}-{Stealth}, seq-violet, thick] (-1,2) -- (2,-1); \end{tikzpicture}$

정의(직선)

이 책에서 직선은 곧고 양방향으로 무한히 뻗어 있는 반직선을 말합니다.

세 변수에 대한 방정식 하나

일차방정식 $x+y+z=1$ 을 생각해 봅시다. 이는 공간 속 평면의 음함수 방정식입니다.

$\begin{tikzpicture}[myxyz, scale=0.75] \draw[densely dotted] (0,0,0) -- (1,0,0); \draw[densely dotted] (0,0,0) -- (0,1,0); \draw[densely dotted] (0,0,0) -- (0,0,1); \begin{scope}[x={(-1,0,1)}, y={(0,-1,1)}, transformxy=1] \fill[help lines, seq-violet!50, fill opacity=.7] (-2.5, -2.5) rectangle (2, 2); \draw[help lines, seq-violet!50] (-2.5, -2.5) grid (2, 2); \end{scope} \draw[->] (1,0,0) -- (3,0,0) node[below left] {$x$}; \draw[->] (0,1,0) -- (0,3,0) node[right] {$y$}; \draw[->] (0,0,1) -- (0,0,3) node[above] {$z$}; \end{tikzpicture}$

정의(평면)

평면은 모든 방향으로 무한히 뻗어 있는 평평한 면입니다.

참고

두 변수에 대한 방정식 두 개

이제 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식

$\begin{equation*} \def\r{\color{seq-violet}}\def\b{\color{seq-green}} \syseq{\r x \r- \r3y \r= \r-3; \b2x \b+ \b y \b= \b8\rlap.} \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 아래 그림과 같이 각 방정식은 각각 평면 위의 직선 하나를 정의합니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=.2] \draw[grid lines] (-20,-20) rectangle (20,20); \clip (-20,-20) rectangle (20,20); \draw[->] (-20,0) -- (20,0); \draw[->] (0,-20) -- (0,20); \draw[seq-violet, thick] (-20,-20/3+1) -- (20,20/3+1); \draw[seq-green, thick] (-20,40+8) -- (20,-40+8); \point at (3,2); \end{tikzpicture}$

두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 참으로 만드는 수의 쌍 $(x,y)$ 입니다. 다시 말해, 해는 두 직선 위에 동시에 놓인 점입니다. 위 그림에서 두 직선이 만나는 점은 하나뿐임을 알 수 있습니다. 따라서 이 연립방정식의 해는 정확히 하나입니다. (독자가 직접 확인할 수 있듯이 이 해는 $(3,2)$ 입니다.)

대개 평면 위의 두 직선은 한 점에서 만나지만, 물론 항상 그런 것은 아닙니다. 이번에는 연립방정식

$\begin{equation*} \def\r{\color{seq-violet}}\def\b{\color{seq-green}} \syseq{\r x \r- \r3y \r= \r-3; \b x \b- \b3y \b= \b3\rlap.} \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 이 방정식들은 평면 위의 평행한 직선을 정의합니다.

두 직선이 만나지 않는다는 사실은 이 연립방정식의 해가 없다는 것을 뜻합니다. 물론 이는 대수적으로도 쉽게 알 수 있습니다. $x-3y=-3$ 이면 동시에 $x-3y=3$ 일 수는 없습니다.

가능한 경우가 하나 더 있습니다. 연립방정식

$\begin{equation*} \def\r{\color{seq-violet}}\def\b{\color{seq-green}} \syseq{\r x \r- \r3y \r= \r-3; \b2x \b- \b6y \b= \b-6\rlap.} \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 배수이므로, 이 방정식들은 평면 위의 같은 직선을 정의합니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=.2] \draw[grid lines] (-20,-20) rectangle (20,20); \clip (-20,-20) rectangle (20,20); \draw[->] (-20,0) -- (20,0); \draw[->] (0,-20) -- (0,20); \draw[seq-green, double=seq-violet!50, double distance=1pt, thick] (-20,-20/3+1) -- (20,20/3+1); \end{tikzpicture}$

이 경우 연립방정식은 무수히 많은 해를 가집니다.

세 변수에 대한 방정식 두 개

두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식

$\begin{equation*} \def\r{\color{seq-violet}}\def\b{\color{seq-green}} \syseq{\r x \r+ \r y \r+ \r z \r= \r1; \b x \+ \. \b- \b z \b= \b0\rlap.} \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 각 방정식은 저마다 공간에서 평면 하나를 정의합니다. 두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 해는 두 평면 위에 모두 놓인 점들입니다. 아래 그림에서 두 평면이 한 직선에서 만나는 것을 볼 수 있습니다. 특히, 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가집니다.

그림21방정식 $\color{seq-violet}x+y+z=1$ 과 $\color{seq-green}x-z=0$ 이 정의하는 평면들은 빨간 직선에서 만나며, 이 직선이 두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 해집합입니다.

그림21방정식 $\color{seq-violet}x+y+z=1$ 과 $\color{seq-green}x-z=0$ 이 정의하는 평면들은 빨간 직선에서 만나며, 이 직선이 두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 해집합입니다.

참고

소절1.1.3해집합의 매개변수 표현

이 정의에 따르면, 연립방정식을 푼다는 것은 모든 해를 몇 개의 매개변수를 사용하여 적는 것을 뜻합니다. 절 1.3에서 이를 체계적으로 수행하는 방법을 제시할 것이며, 지금은 앞의 소절에 있는 예들에 대해 매개변수 표현을 제시합니다.

직선

이 예제의 일차방정식 $x+y=1$ 을 생각해 봅시다. 이러한 맥락에서, $x+y=1$ 을 직선의 음함수 방정식이라고 부릅니다. 같은 직선을 다음과 같이 매개변수 꼴로 쓸 수 있습니다:

$\begin{equation*} (x, y) = (t,\, 1-t) \sptxt{for any} t \in \R. \end{equation*}$

이는 직선 위의 모든 점이 어떤 실수 $t$ 에 대해 $(t,\, 1-t)$ 꼴을 가진다는 뜻입니다. 이 경우 $t$ 가 직선 위의 점들을 매개화하므로, $t$ 를 매개변수라고 부릅니다.

$\begin{tikzpicture}[every label/.style={font=\small, thin border}] \draw[grid lines] (-3,-3) grid (3,3); \draw[->] (-3,0) -- (3,0); \draw[->] (0,-3) -- (0,3); \draw[{Stealth}-{Stealth}, seq-violet, thick] (-2,3) -- (3,-2); \point["$t=0$" above right] at (0,1); \point["$t=1$" above right] at (1,0); \point["$t=-1$" below left] at (-1,2); \end{tikzpicture}$

이제 이 예제의 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식

$\begin{equation*} \def\r{\color{seq-violet}}\def\b{\color{seq-green}} \syseq{\r x \r+ \r y \r+ \r z \r= \r1; \b x \+ \. \b- \b z \b= \b0} \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 이 방정식들은 함께 $\R^3$ 속 직선의 음함수 방정식을 이룹니다. (공간 속의 직선을 정의하려면 적어도 두 개의 방정식이 필요합니다.) 이 직선 역시 하나의 매개변수 $t$ 를 가진 매개변수 꼴을 가집니다:

$\begin{equation*} (x,\, y,\, z) = (t,\, 1-2t,\, t). \end{equation*}$

각 경우에 매개변수 $t$ 를 통해 $\R$ 을 사용하여 직선 위의 점들에 이름을 붙일 수 있다는 점에 주목하십시오. 그러나 두 직선 모두 수직선 $\R$ 과 같지 않습니다. 실제로 첫 번째 직선 위의 모든 점은 점 $(0,1)$ 처럼 두 개의 좌표를 가지며, 두 번째 직선 위의 모든 점은 $(0,1,0)$ 처럼 세 개의 좌표를 가집니다.

평면

이 예제의 일차방정식 $x+y+z=1$ 을 생각해 봅시다. 이는 공간 속 평면의 음함수 방정식입니다. 이 평면은 매개변수 꼴의 방정식을 가집니다. 평면 위의 모든 점을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\begin{equation*} (x,\, y,\, z) = (1-t-w,\, t,\, w) \sptxt{for any} t,w\in\R. \end{equation*}$

이 경우 평면 위의 모든 점을 기술하려면 두 개의 매개변수 $t$ 와 $w$ 가 필요합니다.

그림26방정식 $x+y+z=1$ 이 정의하는 $\R^3$ 속의 평면입니다. 이 평면은 두 수 $t,w$ 로 매개화됩니다. 슬라이더를 움직여 매개화된 점을 바꾸어 보십시오.

매개변수 $t,w$ 를 통해 $\R^2$ 를 사용하여 평면 위의 점들에 이름을 붙일 수 있다는 점에 주목하십시오. 그러나 이 평면은 평면 $\R^2$ 와 같지 않습니다. 실제로 이 평면 위의 모든 점은 점 $(0,0,1)$ 처럼 세 개의 좌표를 가집니다.

이 예제에서와 같이 유일한 해가 존재할 때에는 해집합을 나타내기 위해 매개변수를 사용할 필요가 없습니다.

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