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절1.3매개변수 꼴

목표
  1. 연립일차방정식의 해집합을 매개변수 꼴로 나타내는 방법을 익힙니다.
  2. 연립일차방정식의 해의 개수에 대한 세 가지 가능성을 이해합니다.
  3. 계산 절차: 매개변수 꼴.
  4. 용어: 자유변수.

소절1.3.1자유변수

행렬의 행 축약된 꼴에는 절 1.2에서 보지 못한 경우가 하나 더 있습니다.

예제(자유변수가 있는 연립방정식)

연립일차방정식

\begin{equation*} \syseq{2x + y + 12z = 1; x + 2y + 9z = -1\rlap.} \end{equation*}

를 생각해 봅시다. 행 축약을 사용하여 이를 풉니다:

\begin{align*} \amat{2 1 12 1; 1 2 9 -1} \quad\xrightarrow{R_1 \longleftrightarrow R_2}\quad &\amat{\color{red}1 2 9 -1; 2 1 12 1} &&\color{blue}\text{(Optional)}\\ {}\quad\xrightarrow{R_2=R_2-2R_1}\quad &\amat{1 2 9 -1; \color{red}0 -3 -6 3} &&\color{blue}\text{(Step 1c)}\\ {}\quad\xrightarrow{R_2=R_2\div -3}\quad &\amat{1 2 9 -1; 0 \color{red}1 2 -1} &&\color{blue}\text{(Step 2b)}\\ {}\quad\xrightarrow{R_1=R_1-2R_2}\quad &\amat{1 \color{red}0 5 1; 0 1 2 -1} &&\color{blue}\text{(Step 2c)} \end{align*}

이 행 축약된 행렬은 연립일차방정식

\begin{equation*} \syseq{x + 5z = 1; y + 2z = -1\rlap.} \end{equation*}

에 대응합니다. 이 연립방정식은 어떤 의미에서 풀린 것입니까? 이를

\begin{equation*} \syseq{x = 1 - 5z; y = -1 - 2z\rlap.} \end{equation*}

로 다시 씁니다. z의 어떤 값에 대해서도 방정식들을 참으로 만드는 x와 y의 값이 정확히 하나씩 존재합니다. 그러나 z의 값은 어떤 값이든 자유롭게 고를 수 있습니다.

이로써 모든 해를 구했습니다: 해는

\begin{equation*} \syseq{x = 1 - 5z; y = -1 - 2z; z = \. \+ z} \qquad \text{$z$ any real number.} \end{equation*}

를 만족하는 모든 값 x,y,z의 집합입니다. 이것을 연립일차방정식의 해에 대한 매개변수 꼴이라고 합니다. 변수 z를 자유변수라고 합니다.

그림2이 예제에 나온 연립일차방정식의 해집합(노란 직선)을 나타낸 그림입니다. z의 모든 값에 대해 유일한 해가 존재합니다. 슬라이더를 움직여 z를 바꾸어 보십시오.

연립일차방정식의 해가 매개변수 꼴로 주어지면, 자유변수에 임의의 특정한 실수를 대입하여 구체적인 해를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 앞의 예에서 z=0으로 두면 해 (x,y,z)=(1,-1,0)을 얻고, z=1로 두면 해 (x,y,z)=(-4,-3,1)을 얻습니다.

정의

변수 x_1,x_2,\ldots,x_n에 대한 해가 있는 연립방정식을 생각해 봅시다. A를 이 연립방정식의 첨가행렬의 행 사다리꼴이라고 합시다.

A에서 x_i에 대응하는 열이 피벗 열이 아니면 x_i를 자유변수라고 합니다.

위의 예제에서 변수 \color{red}z가 자유변수였던 것은 기약 행 사다리꼴 행렬이

\begin{equation*} \def\r{\color{red}} \amat{1 0 \r5 1; 0 1 \r2 -1}. \end{equation*}

이었기 때문입니다. 행렬

\begin{equation*} \amat{ 1 \color{seq-red}\star, 0 \color{seq-blue}\star, \star ; 0 \color{seq-red}0 1 \color{seq-blue}\star, \star }, \end{equation*}

에서 자유변수는 \color{seq-red}x_2와 \color{seq-blue}x_4입니다. (첨가된 열은 변수에 대응하지 않으므로 자유변수가 아닙니다.)

계산 절차: 매개변수 꼴

해가 있는 연립일차방정식의 해집합의 매개변수 꼴은 다음과 같이 구합니다.

  1. 연립방정식을 첨가행렬로 나타냅니다.
  2. 기약 행 사다리꼴이 되도록 행 축약합니다.
  3. 이에 대응하는 (풀린) 연립일차방정식을 씁니다.
  4. 모든 자유변수를 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자유변수를 방정식의 우변으로 옮기는 것은 자유변수가 아닌 변수(피벗 열에 해당하는 변수)를 자유변수로 나타내어 푸는 것과 같습니다. 자유변수는 독립변수로, 자유변수가 아닌 변수는 종속변수로 생각할 수 있습니다.

음함수 방정식과 매개변수 방정식

연립일차방정식

\begin{equation*} \syseq{2x + y + 12z = 1; x + 2y + 9z = -1} \end{equation*}

의 해집합은, 이 예제에서 보았듯이 \R^3 안의 직선입니다. 이 방정식들을 그 직선의 음함수 방정식이라고 합니다. 즉, 직선은 두 방정식의 공통해로서 음함수적으로 정의됩니다.

매개변수 꼴

\begin{equation*} \syseq{x = 1 - 5z; y = -1 - 2z\rlap.} \end{equation*}

은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{equation*} (x,\,y,\,z) = (1-5z,\,-1-2z,\,z) \qquad \text{$z$ any real number.} \end{equation*}

이것을 같은 직선의 매개변수 방정식이라고 합니다. 이것은 하나의 매개변수 z를 사용하여 직선 위의 모든 점을 만들어 내는 식입니다.

연립방정식은 그 해집합에 대한 음함수 방정식으로, 매개변수 꼴은 같은 집합에 대한 매개변수 방정식으로 생각해야 합니다. 매개변수 꼴이 훨씬 더 명시적입니다. 매개변수 꼴은 모든 해를 만들어 내는 구체적인 계산 절차를 제공합니다.

(해가 있는) 연립일차방정식에서 자유변수에는 어떤 값이든 선택할 수 있습니다.

자유변수는 행 사다리꼴 행렬의 피벗이 없는 열에서 나옵니다.

예제
예제(매개변수로 나타낸 평면)

소절1.3.2해의 개수

연립일차방정식의 첨가행렬의 기약 행 사다리꼴에는 세 가지 경우가 있습니다.

  1. 마지막 열이 피벗 열인 경우입니다. 이 경우 연립방정식은 해가 없습니다. 해가 0개입니다. 즉, 해집합은 공집합입니다. 예를 들어, 행렬
    \begin{equation*} \def\r{\color{red}} \amat{1 0 \r0; 0 1 \r0; 0 0 \r1} \end{equation*}
    은 해가 없는 연립일차방정식에서 나옵니다.
  2. 마지막 열을 제외한 모든 열이 피벗 열인 경우입니다. 이 경우 연립방정식은 유일한 해를 가집니다. 예를 들어, 행렬
    \begin{equation*} \amat{1 0 0 a; 0 1 0 b; 0 0 1 c} \end{equation*}
    은 유일한 해가 (x,y,z)=(a,b,c)임을 알려 줍니다.
  3. 마지막 열은 피벗 열이 아니며, 다른 어떤 열도 피벗 열이 아닙니다. 이 경우 연립방정식은 무한히 많은 해를 가지며, 이는 자유변수가 가질 수 있는 무한히 많은 값에 대응합니다. 예를 들어, 행렬
    \begin{equation*} \amat{1 \color{seq-red}-2 0 \color{seq-blue}3 1; 0 \color{seq-red}0, 1 \color{seq-blue}4 -1}, \end{equation*}
    에 대응하는 연립방정식에서는 \color{seq-red}x_2와 \color{seq-blue}x_4에 어떤 값을 넣어도 연립방정식의 해가 됩니다.