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절3.6가역행렬 정리¶ 고유 링크

목표

정리: 가역행렬 정리.

이 절은 행렬이 가역이기 위한 여러 동치 조건을 담은 하나의 중요한 정리로 이루어져 있습니다. 이 정리는 이 교재에서 가장 중요한 정리 중 하나입니다. 절 5.1에서 두 가지 판정 기준을 더 추가할 것입니다.

가역행렬 정리

$A$ 를 $n\times n$ 행렬이라 하고, $T\colon\R^n\to\R^n$ 를 행렬 변환 $T(x) = Ax$ 라 합시다. 다음 명제들은 동치입니다:

$A$ 는 가역입니다.
$A$ 는 $n$ 개의 피벗을 가집니다.
$\Nul(A) = \{0\}\text{.}$
$A$ 의 열들은 일차독립입니다.
$A$ 의 열들은 $\R^n$ 을 생성합니다.
$\R^n$ 의 각 $b$ 에 대해 $Ax=b$ 는 유일한 해를 가집니다.
$T$ 는 가역입니다.
$T$ 는 일대일입니다.
$T$ 는 전사입니다.

증명

다시 정리하면, 가역행렬 정리가 의미하는 바는 다음과 같습니다:

정사각 행렬에는 두 종류가 있습니다:

가역 행렬, 그리고
비가역 행렬.

가역 행렬에 대해서는 가역행렬 정리의 모든 명제가 참입니다.

비가역 행렬에 대해서는 가역행렬 정리의 모든 명제가 거짓입니다.

독자는 가역행렬 정리의 어떤 명제든 행렬의 피벗에 관한 명제로 바꾸어 말하는 데 익숙해져야 합니다.

가역성에 대한 그 밖의 조건

이제 $B = A\inv$ 임을 확인하려면 $AB=I_n$ 또는 $BA=I_n$ 임을 보이는 것으로 충분하다는 사실을 보일 수 있습니다.

따름정리(왼쪽 역행렬이나 오른쪽 역행렬 하나로 충분합니다)

$A$ 를 $n\times n$ 행렬이라 하고, $AB=I_n$ 또는 $BA=I_n$ 을 만족하는 $n\times n$ 행렬 $B$ 가 존재한다고 가정합시다. 그러면 $A$ 는 가역이고 $B = A\inv$ 입니다.

증명

끝으로 가역행렬 정리가 유용하게 쓰이는 몇 가지 흔한 상황을 살펴보겠습니다.

예제

예제

예제

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