절2.3행렬 방정식¶ 고유 링크

목표

연립일차방정식, 첨가행렬, 벡터 방정식, 행렬 방정식이 서로 동치임을 이해합니다.
$Ax=b$ 가 해를 갖도록 하는 벡터 $b$ 를 $A$ 의 열들의 생성(span)으로 특징짓습니다.
모든 벡터 $b$ 에 대해 $Ax=b$ 가 해를 갖도록 하는 행렬 $A$ 를 특징짓습니다.
계산 절차: 행렬과 벡터의 곱 계산하기(두 가지 방법).
그림: $Ax=b$ 가 해를 갖도록 하는 모든 벡터 $b$ 의 집합.
용어: 행렬 방정식.

소절2.3.1행렬 방정식 $Ax=b\text{.}$

이 절에서는 연립일차방정식을 매우 간결하게 나타내는 방법인 $Ax=b$ 를 소개합니다. 여기서 $A$ 는 행렬이고 $x,b$ 는 벡터(일반적으로 크기가 서로 다름)이므로, 먼저 행렬과 벡터를 곱하는 방법을 설명해야 합니다.

“ $A$ 가 $m\times n$ 행렬이라고” 하면, $A$ 가 $m$ 개의 행과 $n$ 개의 열을 가진다는 뜻입니다.

참고

정의

$A$ 를 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 인 $m\times n$ 행렬이라고 합시다.

$\begin{equation*} A = \mat{| | ,{}, |; v_1 v_2 \cdots, v_n;| | ,{}, | } \end{equation*}$

$A$ 와 $\R^n$ 의 벡터 $x$ 의 곱은 다음 일차결합입니다.

$\begin{equation*} Ax = \mat{| | ,{}, |; v_1 v_2 \cdots, v_n;| | ,{}, | } \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} = x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n. \end{equation*}$

이는 $\R^m$ 의 벡터입니다.

예제

$Ax$ 가 의미를 가지려면 $x$ 의 성분의 개수가 $A$ 의 열의 개수와 같아야 합니다. $x$ 의 성분을 $A$ 의 열들의 일차결합에서 계수로 사용하기 때문입니다. $A$ 의 각 열은 $A$ 의 행의 개수만큼 성분을 가지므로, 결과로 얻는 벡터의 성분의 개수는 $A$ 의 행의 개수와 같습니다.

$A$ 가 $m\times n$ 행렬( $m$ 개의 행, $n$ 개의 열)이면, $Ax$ 는 $x$ 가 $n$ 개의 성분을 가질 때 의미를 가집니다. 곱 $Ax$ 는 $m$ 개의 성분을 가집니다.

행렬-벡터 곱의 성질

$A$ 를 $m\times n$ 행렬, $u,v$ 를 $\R^n$ 의 벡터, $c$ 를 스칼라라고 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

$A(u+v) = Au + Av$
$A(cu) = cAu$

정의

행렬 방정식은 $Ax=b$ 꼴의 방정식으로, 여기서 $A$ 는 $m\times n$ 행렬, $b$ 는 $\R^m$ 의 벡터, $x$ 는 계수 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 이 미지수인 벡터입니다.

이 책에서는 행렬 방정식 $Ax=b$ 에 관하여 서로 보완적인 두 가지 질문을 다룹니다.

특정한 $b$ 가 주어졌을 때, $Ax=b$ 의 해는 모두 무엇입니까?
$Ax=b$ 가 해를 갖도록 하는 $b$ 는 모두 무엇입니까?

첫 번째 질문은 이전의 대수학 과정에서 익숙해졌을 법한 질문에 더 가깝습니다. 여러분은 $x^2-1=0$ 같은 방정식을 $x$ 에 대해 푸는 연습을 많이 해 보았을 것입니다. 두 번째 질문은 여러분에게 새로운 개념일 수도 있습니다. 이 장의 정점인 랭크 정리 in 절 2.9는 두 질문이 밀접하게 관련되어 있음을 알려 줍니다.

행렬 방정식과 벡터 방정식

$v_1,v_2,\ldots,v_n$ 과 $b$ 를 $\R^m$ 의 벡터라고 합시다. 벡터 방정식

$\begin{equation*} x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n = b. \end{equation*}$

을 생각해 봅시다. 이는 행렬 방정식 $Ax=b$ 와 동치이며, 여기서

$\begin{equation*} A = \mat{ | | {} |; v_1 v_2 \cdots, v_n; | | {} |} \sptxt{and} x = \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n}. \end{equation*}$

입니다. 역으로, $A$ 가 임의의 $m\times n$ 행렬이면 $Ax=b$ 는 벡터 방정식

$\begin{equation*} x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n = b, \end{equation*}$

과 동치이며, 여기서 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 은 $A$ 의 열이고 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 은 $x$ 의 성분입니다.

예제

연립일차방정식을 쓰는 네 가지 방법

이제 우리는 연립일차방정식을 나타내는(그리고 생각하는) 동치인 방법을 네 가지 갖게 되었습니다:

연립방정식으로:
$\begin{equation*} \syseq{2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = 7; x_1 - x_2 - 3x_3 = 5} \end{equation*}$
첨가행렬로:
$\begin{equation*} \amat{2 3 -2 7; 1 -1 -3 5} \end{equation*}$
벡터 방정식으로 쓰면 ( $x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n = b$ ):
$\begin{equation*} x_1\vec{2 1} + x_2\vec{3 -1} + x_3\vec{-2 -3} = \vec{7 5} \end{equation*}$
행렬 방정식으로 쓰면 ( $Ax=b$ ):
$\begin{equation*} \mat{2 3 -2; 1 -1 -3}\vec{x_1 x_2 x_3} = \vec{7 5}. \end{equation*}$

특히 네 가지 모두 해집합이 같습니다.

이 책의 나머지 부분에서 우리는 연립일차방정식을 쓰는 네 가지 방법 사이를 몇 번이고 자유롭게 오갈 것입니다.

$Ax$ 를 계산하는 또 다른 방법

위의 정의은 행렬 방정식과 벡터 방정식 사이의 관계를 이해하는 데 있어 행렬과 벡터의 곱을 정의하는 유용한 방법입니다. 여기서는 손으로 계산하기에 더 적합한 정의를 제시합니다.

정의

행벡터는 행이 하나인 행렬입니다. 길이가 $n$ 인 행벡터와 길이가 $n$ 인 (열)벡터의 곱은 다음과 같습니다.

$\begin{equation*} \mat{a_1 a_2 \cdots, a_n} \vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n. \end{equation*}$

이것은 스칼라입니다.

계산 절차: 행렬-벡터 곱셈의 행-열 규칙

$A$ 가 행이 $r_1,r_2,\ldots,r_m$ 인 $m\times n$ 행렬이고 $x$ 가 $\R^n$ 의 벡터이면 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} Ax = \mat[c]{ \matrow{r_1}; \matrow{r_2}; \vdots ; \matrow{r_m}} x = \vec{r_1x r_2x \vdots, r_mx}. \end{equation*}$

예제

소절2.3.2생성과 일관성

$A$ 를 열이 $v_1,v_2,\ldots,v_n$ 인 행렬이라고 합시다:

$\begin{equation*} A = \mat{ | | {} |; v_1 v_2 \cdots, v_n; | | {} |}. \end{equation*}$

그러면

$\begin{equation*} \begin{split} Ax=b&\text{ has a solution} \\ &\iff \text{there exist $x_1,x_2,\ldots,x_n$ such that } A\vec{x_1 x_2 \vdots, x_n} = b \\ &\iff \text{there exist $x_1,x_2,\ldots,x_n$ such that } x_1v_1 + x_2v_2 + \cdots + x_nv_n = b \\ &\iff \text{$b$ is a linear combination of } v_1,v_2,\ldots,v_n \\ &\iff \text{$b$ is in the span of the columns of $A$}. \end{split} \end{equation*}$