절6.4직교 집합¶ 고유 링크

목표

주어진 상황에서 정사영을 계산하는 데 가장 적합한 방법이 무엇인지 이해하십시오.
계산 절차: 직교 집합으로부터 정규직교 집합 만들기, 사영 공식, $\cB$ 가 직교 집합일 때의 $\cB$ -좌표, 그람–슈미트 과정.
용어: 직교 집합, 정규직교 집합.

이 절에서는 행 축약이나 역행렬 계산이 필요하지 않다는 점에서 절 6.3의 공식보다 훨씬 간단한 정사영 공식을 제시합니다. 그러나 사영 공식이라고 부르는 이 공식은 직교 기저가 있을 때에만 적용됩니다. 또한 임의의 기저를 직교 기저로 바꾸는 그람–슈미트 과정도 소개하겠습니다.

소절6.4.1직교 집합과 사영 공식

사영과 관련된 계산은 직교 벡터 집합이 있을 때 훨씬 쉬워지는 경향이 있습니다.

정의

영이 아닌 벡터들의 집합 $\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 에서 $i\neq j$ 일 때마다 $u_i\cdot u_j = 0$ 이면 이 집합을 직교 집합이라고 합니다. 이 집합이 직교 집합이면서 모든 $i=1,2,\ldots,m$ 에 대하여 $u_i\cdot u_i = 1$ 이기도 하면 정규직교 집합이라고 합니다.

다시 말해, 벡터 집합 안의 서로 다른 벡터들이 서로 수직이면 그 집합은 직교 집합입니다. 정규직교 집합은 단위 벡터들로 이루어진 직교 집합입니다.

예제

$\R^n$ 의 표준 좌표 벡터들은 항상 정규직교 집합을 이룹니다. 예를 들어, $\R^3$ 에서 다음을 확인할 수 있습니다.

$\begin{equation*} \vec{1 0 0}\cdot\vec{0 1 0} = 0 \qquad \vec{1 0 0}\cdot\vec{0 0 1} = 0 \qquad \vec{0 1 0}\cdot\vec{0 0 1} = 0. \end{equation*}$

모든 $i=1,2,3$ 에 대하여 $e_i\cdot e_i = 1$ 이므로, $\{e_1,e_2,e_3\}$ 는 정규직교 집합입니다.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.5, myxyz, thin border nodes] \draw[grid lines, transformxy] (-1.5,-1.5) grid (1.5,1.5); \draw[->] (-1.5,0,0) -- (1.5,0,0); \draw[->] (0,-1.5,0) -- (0,1.5,0); \draw[->] (0,0,-1.5) -- (0,0,1.5); \coordinate (e1) at (1,0,0); \coordinate (e2) at (0,1,0); \coordinate (e3) at (0,0,1); \coordinate (o) at (0,0,0); \pic[draw, right angle len=3mm] {right angle=(e1)--(o)--(e2)}; \pic[draw, right angle len=3mm] {right angle=(e1)--(o)--(e3)}; \pic[draw, right angle len=3mm] {right angle=(e2)--(o)--(e3)}; \draw[vector, seq1] (0,0,0) to["$e_1$" pos=.8] (1,0,0); \draw[vector, seq2] (0,0,0) to["$e_2$" below=1pt] (0,1,0); \draw[vector, seq3] (0,0,0) to["$e_3$"] (0,0,1); \point at (0,0,0); \end{tikzpicture}$

예제

앞의 예제에서 각 벡터를 같은 방향의 단위 벡터로 바꾸면 직교 집합으로부터 정규직교 집합을 쉽게 만들 수 있음을 보았습니다.

계산 절차: 직교 집합으로부터 정규직교 집합 만들기

$\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 가 직교 벡터 집합이면

$\begin{equation*} \left\{\frac{v_1}{\|v_1\|},\;\frac{v_2}{\|v_2\|},\ldots,\;\frac{v_m}{\|v_m\|}\right\} \end{equation*}$

는 정규직교 집합입니다.

예제

비예제

직교 집합이 갖는 좋은 성질 중 하나는 자동으로 일차독립이라는 것입니다.

사실

직교 집합은 일차독립입니다. 따라서 직교집합은 그 생성공간의 기저입니다.

증명

직교 집합을 다룰 때의 한 가지 장점은 벡터의 정사영에 대한 간단한 공식을 얻을 수 있다는 것입니다.

사영 공식

$W$ 를 $\R^n$ 의 부분공간이라 하고, $\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 을 $W$ 의 직교 기저라 합시다. 그러면 $\R^n$ 의 임의의 벡터 $x$ 에 대해, $x$ 의 $W$ 위로의 정사영은 다음 공식으로 주어집니다.

$\begin{equation*} x_W = \frac{x\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 + \frac{x\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}\,u_2 + \cdots + \frac{x\cdot u_m}{u_m\cdot u_m}\,u_m. \end{equation*}$

증명

$\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 이 $W$ 의 정규직교 기저이면 분모 $u_i\cdot u_i = 1$ 이 사라지므로, 사영 공식은 더욱 간단해집니다.

$\begin{equation*} x_W = (x\cdot u_1)\,u_1 + (x\cdot u_2)\,u_2 + \cdots + (x\cdot u_m)\,u_m. \end{equation*}$

예제

$L = \Span\{u\}$ 가 직선이라고 가정합시다. 집합 $\{u\}$ 는 $L$ 의 직교 기저이므로, 사영 공식에 따르면 이 예제 in 절 6.3에서와 같이 임의의 벡터 $x$ 에 대해

$\begin{equation*} x_L = \frac{x\cdot u}{u\cdot u}\,u, \end{equation*}$

가 성립합니다. 이 예제 in 절 6.3와 이 예제 in 절 6.3도 참고하십시오.

$\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 이 부분공간 $W$ 의 직교 기저라고 가정하고, 각 $i=1,2,\ldots,m$ 에 대해 $L_i = \Span\{u_i\}$ 라 합시다. 그러면 임의의 벡터 $x$ 에 대해 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

$\begin{equation*} \spalignsysdelims.. \syseq{x_W = \dfrac{x\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 + \dfrac{x\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}\,u_2 + \cdots, + \dfrac{x\cdot u_m}{u_m\cdot u_m}\,u_m ; \. = \vphantom{\frac{u_1}{u_1}}x_{L_1}\hfil, + x_{L_2}\hfil, + \cdots, + x_{L_m}\hfil\rlap.} \end{equation*}$

다시 말해, 직교 기저에 대해서는 $x$ 의 $W$ 위로의 사영이 기저 벡터들이 생성하는 직선들 위로의 사영의 합입니다. 이러한 의미에서 직선 위로의 사영은 정사영의 가장 중요한 예입니다.

예제( $xy$ -평면 위로의 사영)

예제( $\R^3$ 에서 평면 위로의 사영)

예제( $\R^4$ 의 $3$ -공간 위로의 사영)

이제 $W$ 를 직교 기저 $\cB=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 를 가지는 $\R^n$ 의 부분공간이라 하고, $x$ 를 $W$ 의 벡터라 합시다. 그러면 $x = x_W$ 이므로 사영 공식에 의해 다음을 얻습니다.

$\begin{equation*} x = x_W = \frac{x\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 + \frac{x\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}\,u_2 + \cdots + \frac{x\cdot u_m}{u_m\cdot u_m}\,u_m. \end{equation*}$

이로써 $x$ 를 $\cB$ 의 기저 벡터들의 일차결합으로 나타내는 방법을 얻습니다: 행 축약 없이 $x$ 의 $\cB$ -좌표를 계산한 것입니다!

계산 절차: $\cB$ 가 직교 집합일 때의 $\cB$ -좌표

$W$ 를 직교 기저 $\cB=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 를 가지는 $\R^n$ 의 부분공간이라 하고, $x$ 를 $W$ 의 벡터라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

$\begin{equation*} [x]_\cB = \left( \frac{x\cdot u_1}{u_1\cdot u_1},\; \frac{x\cdot u_2}{u_2\cdot u_2},\; \ldots,\; \frac{x\cdot u_m}{u_m\cdot u_m} \right). \end{equation*}$

정사영의 경우와 마찬가지로, $\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 가 $W$ 의 정규직교 기저이면 공식은 더욱 간단해집니다:

$\begin{equation*} [x]_\cB = \bigl(x\cdot u_1,\; x\cdot u_2,\; \ldots,\; x\cdot u_m\bigr). \end{equation*}$

예제(직교 기저에 대한 좌표 계산)

다음 예는 사영 공식이 실제로 직교 기저를 필요로 함을 보여 줍니다.

비예제(직교 기저가 아닌 기저)

사영 공식을 사용하려면 직교 기저가 필요합니다.

소절6.4.2그람–슈미트 과정¶ 고유 링크

앞 절에서 부분공간의 직교 기저가 주어지면 직교사영과 $\cB$ -좌표를 훨씬 쉽게 계산할 수 있음을 보았습니다. 이 절에서는 부분공간의 직교 기저를 계산하는 방법인 그람–슈미트 과정을 소개합니다.

그람–슈미트 과정

$v_1,v_2,\ldots,v_m$ 이 $\R^n$ 의 부분공간 $W$ 의 기저라고 합시다. 다음과 같이 정의합니다.

$\begin{equation*} \begin{split} 1.\quad u_1 \amp= v_1 \phantom{\dfrac{u_1}{u_1}} \\ 2.\quad u_2 \amp= \hbox to 3.4cm{$(v_2)_{\Span\{u_1\}^\perp}$} = v_2 - \frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 \\ 3.\quad u_3 \amp= \hbox to 3.4cm{$(v_3)_{\Span\{u_1,u_2\}^\perp}$} = v_3 - \frac{v_3\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 - \frac{v_3\cdot u_2}{u_2\cdot u_2}\,u_2 \\ \vdots\quad\amp \\ m.\quad u_m \amp= \hbox to 3.4cm{$(v_m)_{\Span\{u_1,u_2,\ldots,u_{m-1}\}^\perp}$} = v_m - \sum_{i=1}^{m-1}\frac{v_m\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}\,u_i. \end{split} \end{equation*}$

그러면 $\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$ 은 같은 부분공간 $W$ 의 직교 기저입니다.

증명

예제(두 벡터)

예제(세 벡터)

예제( $\R^4$ 의 세 벡터)

그람–슈미트 과정의 증명에서, $1$ 과 $m$ 사이의 모든 $i$ 에 대해 집합 $\{u_1,u_2,\ldots,u_i\}$ 가 $\Span\{v_1,v_2,\ldots,v_i\}$ 의 직교 기저임을 보았습니다.

만약 일차종속인 생성 집합 $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ 에서 시작했다면, 증가하는 생성 판정법 in 절 2.5에 의해 어떤 $i$ 에 대하여 벡터 $v_i$ 는 $\Span\{v_1,v_2,\ldots,v_{i-1}\}$ 에 속합니다. 따라서

$\begin{equation*} 0 = (v_i)_{\Span\{v_1,v_2,\ldots,v_{i-1}\}^\perp} = (v_i)_{\Span\{u_1,u_2,\ldots,u_{i-1}\}^\perp} = u_i. \end{equation*}$

그람–슈미트 과정을 사용하면 임의의 생성 집합으로부터 직교 기저를 만들 수 있습니다. 어떤 $u_i = 0$ 이면 $u_i$ 와 $v_i$ 를 버리고 계속 진행하면 됩니다.

소절6.4.3사영을 계산하는 두 가지 방법

지금까지 벡터의 정사영을 계산하는 두 가지 방법을 소개했습니다. 이 정리 in 절 6.3에서는 행 축약을 사용하고, 사영 공식에서는 직교 기저가 필요합니다. 주어진 상황에서 어느 방법을 사용할지에 대한 몇 가지 지침은 다음과 같습니다.

이미 직교 기저를 가지고 있다면, 거의 항상 사영 공식을 사용하는 것이 더 쉽습니다. 이런 경우는 과학 분야에서 자주 발생합니다.
같은 부분공간 위로 많은 벡터의 사영을 계산해야 한다면, 그람–슈미트 과정을 실행하여 직교 기저를 만들어 사영 공식을 사용할 수 있게 하는 것이 시간을 들일 만한 가치가 있습니다.
하나 또는 몇 개의 벡터만 부분공간 위로 사영하면 된다면, 정리 in 절 6.3을 사용하는 것이 더 빠릅니다. 이것이 절 6.5에서 우리가 따를 방법입니다.

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목표

정의

예제

예제