제11장 위험 분류

장 미리보기. 이 장에서는 보험 가격 산정에서 위험 분류를 사용하는 이유를 설명하고, 위험 분류의 대표적인 예로서 포아송 회귀를 독자에게 소개합니다. 11.1절에서는 보험자가 보험계약의 가격을 산정할 때 개별 보험계약자의 다양한 위험 특성, 즉 요율 요소를 반영해야 하는 이유를 설명합니다. 11.2절에서는 이러한 보험료 차등화를 달성하기 위한 가격 산정 도구로서 포아송 회귀를 소개합니다. 이 절에서는 익스포저의 개념도 소개합니다. 대부분의 요율 요소는 범주형이므로, 절 11.3에서는 승법 요율표 모형을 실무에서 포아송 회귀모형에 어떻게 반영할 수 있는지를 예시용 수치 예제와 함께 보여 줍니다.

11.1 서론

이 절에서는 다음을 배웁니다.

위험 특성이 서로 다른 보험계약자 간에 보험료가 달라야 하는 이유.
역선택 악순환의 의미.
위험 분류의 필요성.

보험계약을 통해 보험계약자는 보험료를 대가로 자신의 위험을 사실상 보험자에게 이전합니다. 보험자가 사업을 지속하려면 보험계약자 집단으로부터 거둬들인 보험료 수입이 최소한 보험금 지출과 같아야 합니다. 보험료가 단일 기간, 예컨대 연 단위로 부과되는 일반보험 상품에서 수지상등의 원칙에 기초한 총보험료(gross insurance premium) 보험계약에 대한 기대손실, 비용, 이익의 합는 \[ \text{Gross Premium = Expected Losses + Expected Expenses + Profit}. \] 와 같이 표현됩니다. 따라서 관리 비용 및 이윤과 관련된 마찰적 비용을 무시하면, 보험자가 부과하는 순보험료는 보험계약자로부터 이전된 위험에서 발생하는 기대손실과 같아야 합니다.

보험 풀에 속한 모든 보험계약자가 동일한 위험 프로파일을 가진다면, 이들의 기대손실이 같으므로 보험자는 모든 보험계약자에게 단순히 같은 보험료를 부과합니다. 그러나 현실에서 보험계약자들은 결코 동질적이지 않습니다. 예를 들어, 생명보험에서 사망률 위험은 연령, 성별, 생활 방식과 같은 보험계약자의 특성에 따라 달라집니다. 자동차 보험에서는 이러한 특성에 연령, 직업, 차량의 종류나 용도, 운전자의 거주 지역 등이 포함될 수 있습니다. 이러한 특성이나 변수에 대한 지식은 기대손실을 더 정확하게 추정하거나 예측하는 데 사용될 수 있으므로, 개별 보험계약자에 대해 공정한 보험료를 산출하는 능력을 높일 수 있습니다.

역선택. 실제로 보험자가 개별 보험계약자의 위험 특성(risk characteristics) 보험계약의 기대손실을 결정하는 데 도움이 되는 보험계약의 구별되는 특징을 구분하지 않고 포트폴리오의 평균 손실에 근거하여 모든 피보험자에게 동일한 보험료를 부과한다면, 보험자는 손실 가능성이 높은 사람들은 포트폴리오로 유입되고 위험이 낮은 사람들은 이탈하는 상황인 역선택(adverse selection) 위험도가 높은 개인의 가입을 유도하고 위험도가 낮은 개인의 가입을 억제하는 가격 구조에 직면하게 됩니다.

예를 들어, 흡연 여부가 사망률과 이환율에 대한 중요한 위험 요인인 건강보험을 생각해 봅시다. 시장의 대부분의 건강보험자는 흡연 여부에 따라 보험료를 다르게 요구하므로, 다른 특성이 동일하다면 흡연자는 비흡연자보다 더 높은 보험료를 납부합니다. 이제 다른 경쟁사들과 달리 흡연 여부와 관계없이 모든 피보험자에게 동일한 보험료를 제시하는 보험자가 있다고 가정하고, 이를 EquitabAll이라고 부르겠습니다. EquitabAll의 순보험료는 당연히 흡연자와 비흡연자를 모두 반영한 평균 사망률 손실입니다. 즉, 순보험료는 흡연자와 비흡연자의 비율을 각각 가중치로 하는 손실의 가중평균입니다. 따라서 EquitabAll이 제시하는 보험료가 상대적으로 낮기 때문에, 흡연자에게는 다른 보험자보다 EquitabAll에서 보험에 가입할 충분한 유인이 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 동시에 비흡연자는 비흡연자 집단만으로 산출된 더 낮은 보험료를 제시하는 다른 곳에서 보험에 가입하는 것을 선호할 것입니다. 그 결과 EquitabAll의 포트폴리오에는 흡연자가 늘고 비흡연자가 줄어들며, 이는 기대손실보다 큰 손실로 이어지고, 따라서 늘어난 비용을 충당하기 위해 다음 기간에 피보험자의 보험료가 인상됩니다. 다음 기간에 새로 인상된 보험료로 인해 EquitabAll의 비흡연자들은 보험자를 바꿀 유인이 더욱 커질 것입니다. 이러한 순환이 시간이 지나면서 계속되면, EquitabAll은 보험료가 계속 인상되는 가운데 포트폴리오에 흡연자는 점점 더 많이, 비흡연자는 점점 더 적게 보유하게 되어 결국 사업이 붕괴하게 됩니다.

문헌에서는 이러한 현상을 역선택 악순환(adverse selection spiral) 손해로 인해 보험료를 인상할 수밖에 없게 되면서 점점 더 위험도가 높은 개인을 끌어들여 보유 계약(book of business)이 악화되는 현상 또는 죽음의 악순환이라고 부릅니다. 그러므로 보험 가격 산정 과정에서 개인의 중요한 위험 특성을 반영하고 차등화하는 것은 개별 보험계약자에 대한 공정한 보험료 결정과 보험자의 장기적인 지속 가능성 모두를 위한 핵심 요소입니다.

요율 요소. 보험자는 보험계약자의 관련 위험 특성을 가격 산정 과정에 반영하기 위해, 가장 관련성이 높다고 판단되는 비교적 적은 수의 위험 특성을 바탕으로 각 보험계약자를 여러 위험 등급 중 하나에 배정하는 분류 체계를 운용합니다. 이 분류 체계에서 사용되는 특성을 요율 요소(rating factors) 보험계약의 가격을 책정하는 데 도움이 되는 위험의 특성라고 하며, 이는 계약이 시작되기 전에 알려져 있다는 의미에서 사전 변수(a priori variables) 보험자가 보험 개시 전에 미리 알고 있는 변수입니다(예: 성별, 건강 상태, 차량 종류 등은 언더라이팅 과정에서 파악됩니다). 따라서 동일한 위험 요인을 공유하는 모든 보험계약자는 같은 위험 등급에 배정되며, 요율 산정 관점에서 동질적인 것으로 간주됩니다. 그 결과 보험자는 이들에게 같은 보험료 또는 요율을 부과합니다.

위험 요인과 보험료에 관하여, Actuarial Standards Board (2018)의 계리실무기준(ASOP) 제12호는 계리사가 기대 결과와 관련된 위험 특성을 선택해야 하며, 요율의 차이가 위험 특성에 따른 기대 비용의 실질적 차이를 반영한다면 위험 분류 체계 내의 요율은 공평한 것으로 간주된다고 명시합니다. 위험 요인을 선택하는 과정에서 ASOP는 또한 계리사가 다음 사항을 고려하도록 요구합니다. 위험 특성과 기대 결과의 관계, 인과성, 객관성, 실용성, 적용 법규, 업계 관행, 영업 관행입니다.

정량적 측면에서, 위험 분류 체계를 구축할 때 계리사의 중요한 과제는 보험계약자의 다양한 요율 요소가 주어졌을 때 기대손실을 결정할 수 있는 통계 모형을 구성하는 것입니다. 표준적인 접근법은 관련 위험 요인이 입력으로 주어지면 기대손실을 출력으로 산출하는 회귀 모형을 채택하는 것입니다. 이 장에서는 보험 가격 산정 도구의 대표적인 예로서, 손실이 계수형 변수(count variable) 계수형 변수란 음이 아닌 정수 값을 갖는 이산형 변수입니다.일 때 사용할 수 있는 포아송 회귀에 대해 학습합니다.

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11.2 포아송 회귀모형

포아송 회귀모형은 광범위한 응용 분야에서 성공적으로 사용되어 왔으며, 중요한 양들에 대해 닫힌 형태의 표현식(closed-form expressions) 유한한 횟수의 연산으로 이루어진 공식으로 잘 정의될 수 있는 수학적 표현을 얻을 수 있다는 장점이 있습니다. 이 절에서는 포아송 분포의 자연스러운 확장으로서 포아송 회귀를 소개합니다.

이 절에서 학습할 내용은 다음과 같습니다:

개별 포아송 분포들을 결합하는 편리한 도구로서 포아송 회귀를 이해합니다.
익스포저의 개념과 그 중요성에 대한 이해를 심화합니다.
설명변수가 범주형일 때 지시변수를 사용하여 포아송 회귀모형을 정식화하는 방법을 형식적으로 배웁니다.

11.2.1 포아송 회귀의 필요성

포아송 분포

포아송 회귀를 소개하기 위해, 모든 보험계약자의 연령이 같고 흡연 여부라는 단 하나의 위험 요인만 관련된 가상의 건강보험 포트폴리오를 생각해 봅시다. 따라서 흡연 여부는 흡연자와 비흡연자라는 두 개의 수준(levels) 범주형 변수의 서로 다른 결과을 갖는 범주형 변수(categorical variable) 값이 질적인 그룹이며, 자연스러운 순서가 없거나(명목형) 순서가 있을 수 있는(순서형) 변수입니다. 흡연 여부에는 두 개의 수준이 있으므로, 흡연자와 비흡연자를 각각 수준 1과 수준 2로 나타낼 수 있습니다. 여기서 번호 매기기는 임의적이며, 흡연 여부는 명목형(nominal) 범주에 자연스러운 순서가 없어 어떤 번호 부여도 임의적인 범주형 변수 범주형 변수입니다. (범주형 변수와 명목형 변수에 대한 소개는 2.3.1절을 참조하십시오.) 이제 각 보험계약자의 보험료가 1년 동안 병원 외래 방문 횟수에 따라 결정되는 건강보험의 가격 산정에 관심이 있다고 가정합시다. 단순화를 위해 방문당 의료비는 흡연 여부와 관계없이 동일하다고 가정합니다. 따라서 이 건강보험에서 흡연 여부가 타당한 위험 요인이라고 믿는다면, 흡연자의 관측값을 비흡연자의 관측값과 분리하여 고려하는 것이 자연스럽습니다. 표 11.1에 이 포트폴리오의 데이터를 제시합니다.

표 11.1. 지난 1년간 병원 방문 횟수

\[ {\small \begin{matrix} \begin{array}{cc|cc|cc} \hline \text{Smoker} & \text{(level 1)} & \text{Non-smoker}&\text{(level 2)} & & \text{Both}\\ \text{Count} & \text{Observed} & \text{Count} & \text{Observed} & \text{Count} & \text{Observed} \\ \hline 0 & 2213 & 0 & 6671 & 0 & 8884 \\ 1 & 178 & 1 & 430 & 1 & 608 \\ 2 & 11 & 2 & 25 & 2 & 36 \\ 3 & 6 & 3 & 9 & 3 & 15 \\ 4 & 0 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 5 & 1 & 5 & 2 & 5 & 3 \\ \hline \text{Total} & 2409 & \text{Total} & 7141 & \text{Total} & 9550 \\ \text{Mean} & 0.0926 & \text{Mean} & 0.0746 & \text{Mean} & 0.0792 \\ \hline \end{array} \end{matrix} } \]

이 데이터셋은 확률적인 횟수를 담고 있으므로, 각 수준에 대해 포아송 분포를 적합해 봅니다.

3.2.3절에서 소개한 바와 같이, 평균이 \(\mu\)인 포아송 분포의 확률질량함수는 다음과 같이 주어집니다. \[\begin{equation} \Pr(Y=y)=\frac{\mu^y e^{-\mu}}{y!},\qquad y=0,1,2, \ldots \tag{11.1} \end{equation}\]
그리고 \(\mathrm{E~}{(Y)}=\mathrm{Var~}{(Y)}=\mu\)입니다. 회귀 분석의 맥락에서는 포아송 모수 \(\lambda\) 대신 평균 모수에 \(\mu\)를 사용하는 것이 일반적이지만, 물론 두 기호 모두 적합합니다. 3.4.2절에서 보았듯이, 포아송 분포의 mle(mle) 최대가능도 추정값는 표본평균으로 주어집니다. 따라서 각 수준의 포아송 평균 모수를 \(\mu_{(1)}\)(흡연자)와 \(\mu_{(2)}\)(비흡연자)로 나타내면, 표 11.1에서 \(\hat{\mu}_{(1)}=0.0926\)이고 \(\hat{\mu}_{(2)}=0.0746\)임을 알 수 있습니다. 이 간단한 예는 위험 분류의 기본 개념을 보여 줍니다. 보험계약자는 흡연 여부에 따라 서로 다른 위험 특성을 가지며, 이러한 특성은 공정한 보험료를 산출하기 위해 포아송 평균 모수를 달리하는 방식으로 반영될 수 있습니다. 이 예에서 기대손실 빈도의 비는 \(\hat{\mu}_{(1)}/\hat{\mu}_{(2)}=1.2402\)이며, 이는 흡연자가 비흡연자에 비해 병원을 24.02\(\%\)배 더 자주 방문하는 경향이 있음을 의미합니다.

또한 서론에서 설명한 EquitabAll의 경우처럼 보험자가 흡연 여부와 관계없이 포트폴리오의 평균적 특성에 근거하여 모든 보험계약자에게 동일한 보험료를 부과한다면, 기대 빈도(또는 보험료) \(\hat{\mu}\)는 표 11.1의 마지막 열에서 얻은 0.0792라는 점도 유익한 사실입니다. \[\begin{equation} \hat{\mu} = \left(\frac{n_1}{n_1+n_2}\right)\hat{\mu}_{(1)}+\left(\frac{n_2}{n_1+n_2}\right)\hat{\mu}_{(2)}=0.0792, \tag{11.2} \end{equation}\] 임을 확인할 수 있으며, 여기서 \(n_i\)은 각 수준의 관측값 수입니다. 분명히 이 보험료는 각 수준의 보험료를 가중평균한 것이며, 그 가중치는 해당 수준에 속한 피보험자의 비율과 같습니다.

단순 포아송 회귀
위의 예에서는 각 수준별로 포아송 분포를 따로 적합하였지만, 실제로는 이들을 통합된 방식으로 결합하여 하나의 포아송 모형이 흡연과 비흡연 상태를 모두 포괄하도록 할 수 있습니다. 이는 포아송 평균 모수를 위험 요인과 연관시킴으로써 가능합니다. 다시 말해, 기대손실 빈도인 포아송 평균이 흡연 여부의 변화에 반응하도록 합니다. 범주형 변수를 다루는 전통적인 접근법은 1 또는 0의 값을 갖는 지시 변수 또는 더미 변수(dummy variables) 범주형 특성의 부재 또는 존재를 나타내기 위해 0 또는 1의 값을 갖는 변수를 도입하여, 한 수준에 대해서는 스위치를 켜고 다른 수준에 대해서는 끄는 것입니다. 따라서 \[\begin{equation} \mu=\beta_0+\beta_1 x_1 \tag{11.3} \end{equation}\] 를 사용하거나, 더 일반적으로는 로그 선형 형태(log linear form) 반응변수가 기대 반응값의 자연로그인 선형회귀 모형 \[\begin{equation} \log \mu=\beta_0+\beta_1 x_1, \tag{11.4} \end{equation}\] 을 사용할 것을 제안할 수 있습니다. 여기서 \(x_1\)는 \[\begin{equation} x_1= \begin{cases} 1 & \text{if smoker}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \tag{11.5} \end{equation}\] 인 지시변수입니다. 위험 요인과 수준이 많을 때 발생할 수 있는 음의 \(\mu\) 값이 산출되는 것을 막기 위해, 일반적으로 (11.3)의 선형 관계보다 (11.4)의 로그 선형 관계를 선호합니다. 그러면 (11.4)와 (11.5)의 설정은 위험 요인의 수준에 따라 서로 다른 포아송 빈도 모수를 산출합니다: \[\begin{equation} \log \mu= \begin{cases} \beta_0+\beta_1 \\ \beta_0 \end{cases} \quad \text{or equivalently,}\qquad \mu= \begin{cases} e^{\beta_0+\beta_1} & \text{if smoker (level 1)}, \\ e^{\beta_0} & \text{if non-smoker (level 2)} . \end{cases} \tag{11.6} \end{equation}\] 이것이 포아송 회귀의 가장 단순한 형태입니다. 이 경우 두 수준을 모형화하는 데 지시변수 하나만 필요하다는 점에 유의하십시오. 또는 다른 코딩 방식을 통해 지시변수 두 개를 사용하는 것도 가능합니다. 이 방식에서는 절편 항을 제거해야 하므로 (11.4)은 \[\begin{equation} \log \mu=\beta_1 x_1+\beta_2 x_2, \tag{11.7} \end{equation}\] 로 수정되며, 여기서 \(x_2\)는 \[ x_2= \begin{cases} 1 & \text{if non-smoker}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \] 인 두 번째 지시변수입니다. 그러면 (11.7)로부터 \[\begin{equation} \log \mu= \begin{cases} \beta_1 \\ \beta_2 \end{cases} \quad \text{or}\qquad \mu= \begin{cases} e^{\beta_1} & \text{if smoker (level 1)}, \\ e^{\beta_2} & \text{if non-smoker (level 2)}. \end{cases} \tag{11.8} \end{equation}\] 를 얻습니다. 실제 추정에서는 모든 계수가 수치로 주어지므로 (11.6)의 수치적 결과는 (11.8)과 같으며, 대부분의 문헌에서는 전자의 설정이 더 일반적이므로 이 책에서도 전자를 따릅니다.

이 포아송 회귀모형을 통해 계수 \(\beta_0\)과 \(\beta_1\)가 각 수준의 기대손실 빈도와 어떻게 연결되는지 쉽게 이해할 수 있습니다. (11.6)에 따르면 흡연자의 포아송 평균 \(\mu_{(1)}\)는 \[ \mu_{(1)}=e^{\beta_0+\beta_1}=\mu_{(2)} \,e^{\beta_1} \quad \text{or}\quad \mu_{(1)}/\mu_{(2)} =e^{\beta_1} \] 로 주어지며, 여기서 \(\mu_{(2)}\)는 비흡연자의 포아송 평균입니다. 흡연자와 비흡연자 사이의 이러한 관계는 주어진 위험 요인의 서로 다른 수준에 내재된 위험을 비교하는 유용한 방법을 제시합니다. 즉, 비흡연자의 기대손실 빈도에 대한 흡연자의 기대손실 빈도의 비례적 증가는 단순히 승법 인자 \(e^{\beta_1}\)로 주어집니다. 달리 말하면, 비흡연자의 기대손실 빈도를 기준값으로 설정하면 흡연자의 기대손실 빈도는 기준값에 \(e^{\beta_1}\)를 적용하여 얻어집니다.

다수준의 경우 다루기
2수준의 경우는 하나의 요율 요소에 \(l\)개의 서로 다른 수준이 관련된 다수준의 경우로 쉽게 확장할 수 있습니다. 이를 위해서는 일반적으로 \(l-1\)개의 지시변수가 필요하며, 이를 이용하여 \[\begin{equation} \log \mu=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_{l-1} x_{l-1}, \tag{11.9} \end{equation}\] 와 같이 정식화합니다. 여기서 \(x_k\)는 \(k=1,2, \ldots, l-1\)에 대하여 계약이 수준 \(k\)에 속하면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 갖는 지시변수입니다. (11.9)에서 마지막 수준에 해당하는 지시변수를 생략함으로써 사실상 수준 \(l\)을 기준 사례(base case) 모든 더미 변수 지시자가 0인, 기본값으로 선택된 범주형 수준, 즉 기준 수준으로 선택한 것이지만, 이 선택은 임의적이며 수치적으로는 아무런 차이를 만들지 않습니다. 그러면 (11.9)로부터 수준 \(k\)에 속하는 계약의 포아송 모수는 \[ \mu= \begin{cases} e^{\beta_0+\beta_k} & \text{if the policy belongs to level } k, (k=1,2, ..., l-1), \\ e^{\beta_0} & \text{if the policy belongs to level } l. \end{cases} \] 가 됩니다. 따라서 수준 \(k\)에 속하는 계약의 포아송 모수를 \(\mu_{(k)}\)로 표기하면, 서로 다른 수준의 포아송 모수를 \(\mu_{(k)}=\mu_{(l)}\, e^{\beta_k}\), \(k=1,2, \ldots, l-1\)을 통해 서로 연결할 수 있습니다. 이는 두 수준의 경우와 마찬가지로, \(k\)번째 수준의 기대 손실 빈도가 기준값에 상대 계수 \(e^{\beta_k}\)를 곱하여 얻어진다는 것을 나타냅니다. 이 기대 손실 빈도는 해당 수준의 기대손실 발생 빈도를 의미합니다. 이러한 상대적 해석은 다수준을 갖는 위험 요인이 많을수록 더욱 강력해지며, 근본적인 위험을 더 잘 이해하고 미래 손실을 더 정확하게 예측할 수 있도록 해 줍니다. 마지막으로, 변화하는 포아송 평균은 전적으로 계수 모수 \(\beta_k\)에 의해 결정되며, 이 모수들은 데이터셋으로부터 추정해야 한다는 점에 주목합니다. 모수 추정 절차는 이 장의 뒷부분에서 논의하겠습니다.

11.2.2 포아송 회귀

이제 포아송 회귀를 형식적이고 보다 일반적인 설정에서 설명합니다. \(k\)-변량 벡터²⁵로 특징지어지는 요율 요소 집합을 갖는 \(n\)명의 독립적인 보험계약자가 있다고 가정합시다. 따라서 \(i\)번째 보험계약자의 요율 요소는 벡터 \(\mathbf{ x}_i=(1, x_{i1}, \ldots, x_{ik})^{\prime}\)로 표기하며, \(i=1, \ldots, n\)에 대해 이 보험계약자는 직전 손실 관측값 수집 기간 동안 손실 건수 \(y_i \in \{0,1,2, \ldots \}\)를 기록하였습니다. 회귀 분석 문헌에서 값 \(x_{i1}, \ldots, x_{ik}\)은 일반적으로 설명변수라고 불리는데, 이는 이 값들이 관심 변수 \(y_i\)에 관한 정보를 제공하는 측정값이기 때문입니다. 본질적으로 회귀 분석은 관심 변수와 설명변수 사이의 관계를 정량화하는 방법입니다.

또한 논의를 단순하게 하기 위해, 당분간 모든 보험계약자가 손실 관측값을 수집하는 기간이 동일하게 한 단위 기간, 즉 익스포저가 모두 1로 같다고 가정합니다. 익스포저에 관한 자세한 내용은 다음 소절에서 논의하겠습니다.

포아송 회귀를 평균 함수를 통해 설명합니다. 이를 위해 먼저 포아송 설정 (11.1) 하에서 \(i\)번째 보험계약자의 기대손실 건수를 \(\mu_i\)로 표기합니다: \[\begin{equation} \mu_i=\mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}, \qquad y_i \sim Pois(\mu_i), \, i=1, \ldots, n. \tag{11.10} \end{equation}\] 식 (11.10)의 기댓값 안에 있는 조건은 손실 빈도 \(\mu_i\)가 주어진 위험 요인 또는 설명변수 집합에 대한 모형의 기대 반응임을 나타냅니다. 원칙적으로 (11.10)의 조건부 평균 \(\mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}\)는 \(\mathbf{ x}\)와 \(y\) 사이의 관계를 어떻게 설정하느냐에 따라 다양한 형태를 취할 수 있습니다. 앞서 언급한 바와 같이 포아송 회귀의 표준적인 선택은 지수 함수를 채택하는 것이며, 이에 따라 \[\begin{equation} \mu_i=\mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}=e^{\mathbf{ x}^{\prime}_i\beta}, \qquad y_i \sim Pois(\mu_i), \, i=1, \ldots, n. \tag{11.11} \end{equation}\] 가 됩니다. 여기서 \(\beta=(\beta_0, \ldots, \beta_k)^{\prime}\)는 계수 벡터이며, 따라서 \(\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta=\beta_0+\beta_1x_{i1} +\ldots+\beta_k x_{ik}\)입니다. (11.11)의 지수 함수는 임의의 요율 요소 집합 \(\mathbf{ x}_i\)에 대해 \(\mu_i >0\)임을 보장합니다. 우변을 선형 형태 \(\mathbf{ x}^{\prime}_i\beta\)로 설정할 때의 관계를 드러내기 위해 (11.11)을 로그 선형 형태 \[\begin{equation} \log \mu_i=\log \mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}=\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta, \qquad y_i \sim Pois(\mu_i), \, i=1, \ldots, n \tag{11.12} \end{equation}\] 로 다시 쓰는 경우가 많습니다. 이번에도 (11.12)의 양변인 \(\log \mu_i\)과 \(\mathbf{ x}_i\beta\)가 이제 모든 실숫값을 포괄할 수 있으므로 이 사상이 잘 작동함을 알 수 있습니다. 이것이 모든 보험계약자가 동일한 단위 기간의 익스포저를 갖는다고 가정한 포아송 회귀의 정식화입니다. 그러나 대부분의 실제 사례에서처럼 보험계약자마다 익스포저가 다른 경우에는 (11.12)에 익스포저 성분을 추가 항으로 더하여 이 정식화를 수정해야 합니다.

11.2.3 익스포저의 반영

익스포저의 개념

익스포저의 개념은 10.4절에서 처음 살펴보았습니다. 어떤 종류의 보험이든 잠재적 손실의 크기를 결정하려면 항상 그에 해당하는 익스포저를 알아야 합니다. 익스포저의 개념은 보통 당연하게 여겨지지만, 보험 가격 산정에서 매우 중요한 요소입니다. 예를 들어, 건강보험의 보험계약의 기대 청구 빈도가 0.2라고 말할 때, 이 경우 월당 또는 연당과 같은 익스포저의 명시가 없다면 큰 의미가 없습니다. 실제로 모든 보험료와 손실은 익스포저를 정확히 명시하고 그에 맞게 제시해야 합니다. 그렇지 않으면 이후의 모든 통계 분석과 예측이 왜곡됩니다.

이전 절에서는 모든 보험계약자에게 동일한 단위의 익스포저를 가정했지만, 이는 실제로는 거의 현실적이지 않습니다. 예를 들어 건강보험에서 보험 보장 기간이 서로 다른(예: 각각 3개월과 12개월) 두 보험계약자가 같은 청구 건수를 기록했을 수 있습니다. 기대 청구 건수는 보장 기간에 비례할 것이므로, 모델링 과정에서 이 두 보험계약자의 손실 경험을 동일하게 취급해서는 안 됩니다. 이러한 이유로 포아송 회귀에서 익스포저 개념이 필요합니다.

(11.1)의 포아송 분포는 평균으로 모수화되어 있습니다. 익스포저를 이해하기 위해, 포아송 과정의 정의에 근거하여 포아송 pmf를 비율 모수 \(\lambda\)로 달리 모수화합니다: \[\begin{equation} \Pr(Y=y)=\frac{(\lambda t)^y e^{-\lambda t}}{y!},\qquad y=0,1,2, \ldots \tag{11.13} \end{equation}\] , 단 \(\mathrm{E~}{(Y)}=\mathrm{Var~}{(Y)}=\lambda t\)입니다. 여기서 \(\lambda\)는 포아송 과정의 단위 기간당 비율 또는 강도라고 하며, \(t\)는 시간의 길이 또는 익스포저를 나타내는 알려진 상수 값입니다. 주어진 \(\lambda\)에 대해 포아송 분포 (11.13)는 익스포저 \(t\)가 커질수록 더 큰 기대손실 건수를 산출합니다. 분명히 \(t=1\)일 때 (11.13)는 (11.1)로 축소되며, 이는 익스포저가 1인 경우, 즉 이전 소절에서 고려한 경우에 평균과 비율이 같아진다는 것을 의미합니다.

원칙적으로 익스포저는 시간 단위로 측정될 필요가 없으며, 당면한 문제에 따라 다른 것을 나타낼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

건강보험에서 비율은 1,000명당 특정 질병의 발생일 수 있으며, 익스포저는 1,000명 단위로 나타낸 고려 대상 인원 수입니다.
자동차 보험에서 비율은 운전자의 연간 사고 건수일 수 있으며, 익스포저는 해당 운전자를 관측한 기간을 연 단위로 나타낸 길이입니다.
근로자의 업무 관련 상해나 질병으로 인한 임금 손실을 보상하는 산재보험(workers compensation) 사고나 직업병으로 인한 업무상 부상(사망 포함)에 대해 고용주가 피고용인에게 급여를 제공하는, 주법으로 규정된 무과실 보험 제도의 경우, 비율은 고용 과정에서 발생하는 달러당 상해 확률일 수 있으며, 익스포저는 달러 단위의 급여 총액입니다.
마케팅에서 비율은 시간당 매장에 들어오는 고객 수일 수 있으며, 익스포저는 관측한 시간 수입니다.
토목공학에서 비율은 포장도로 10km당 주요 균열의 수일 수 있으며, 익스포저는 10km 단위로 나타낸 고려 대상 도로의 길이입니다.
신용위험 모델링에서 비율은 1000개 기업당 부도 사건의 수일 수 있으며, 익스포저는 1,000개 단위로 나타낸 고려 대상 기업의 수입니다.

계리사는 주어진 보험 가능 손실에 대해 서로 다른 익스포저 기준(exposure bases) 특정 위험의 익스포저를 나타내기 위해 선택한 측정 단위을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 자동차 보험에서는 주행 거리(킬로미터)와 보험으로 보장된 개월 수 모두를 익스포저 기준으로 사용할 수 있습니다. 여기서 전자는 자동차 사고로 인한 손실을 모델링하는 데 더 정확하고 유용하지만, 보험사가 측정하고 관리하기는 더 어렵습니다. 따라서 좋은 익스포저 기준이 다양한 실무적 제약 때문에 이론적으로 최선의 기준은 아닐 수 있습니다. 원칙적으로 익스포저 기준은 결정하기 쉽고, 정확하게 측정할 수 있으며, 법적·사회적으로 수용 가능하고, 보험계약자의 잠재적 조작으로부터 자유로워야 합니다.

포아송 회귀에 익스포저 반영하기

익스포저는 포아송 평균에 영향을 미치므로, 포아송 회귀를 구성할 때는 모델링 과정에서 비율과 익스포저를 신중하게 분리해야 합니다. 보험의 맥락에 초점을 맞추어, \(i\)번째 보험계약자의 손실 사건 발생률을 \(\lambda_i\), 알려진 익스포저(보장 기간)를 \(m_i\), 그리고 주어진 익스포저 하에서의 기대손실 건수를 \(\mu_i\)로 표기합시다. 그러면 (11.11)와 (11.12)의 포아송 회귀 공식은 (11.13)에 비추어 \[\begin{equation} \mu_i=\mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}=m_i \,\lambda_i=m_i \, e^{\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta}, \qquad y_i \sim Pois(\mu_i), \, i=1, \ldots, n, \tag{11.14} \end{equation}\] 로 수정되어야 하며, 이로부터 \[\begin{equation} \log \mu_i=\log m_i+\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta, \qquad y_i \sim Pois(\mu_i), \, i=1, \ldots, \tag{11.15} \end{equation}\] 를 얻습니다. (11.15)에 \(\log m_i\)를 추가하는 것은 적합에 문제가 되지 않습니다. 이는 알려진 상수이므로 언제든지 추가 설명변수로 지정하고 그 계수를 1로 고정할 수 있기 때문입니다. 문헌에서는 익스포저의 로그 \(\log m_i\)를 흔히 오프셋(offset) 서로 다른 익스포저를 반영하기 위해 회귀 모형에 추가하는 익스포저 양의 자연로그이라고 부릅니다.

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11.3 범주형 변수와 승법 요율표

이 절에서는 다음을 배웁니다.

요율 요소가 범주형일 때의 승법 요율표 모형.
승법 요율표 구조에 기반하여 포아송 회귀모형을 구성하는 방법.

11.3.1 요율 요소와 요율표

실무에서 보험의 요율 요소는 대부분 범주형 변수이며, 이는 미리 정해진 개수의 가능한 값 중 하나를 취한다는 뜻입니다. 범주형 변수의 예로는 성별, 자동차 종류, 운전자의 거주 지역, 직업 등이 있습니다. 연령이나 자동차 주행거리와 같은 연속형 변수도 구간별로 묶어 범주형 변수로 다룰 수 있습니다. 따라서 요율 요소의 수가 적으면 많은 보험계약자가 동일한 위험 등급에 속하여 동일한 보험료를 부과받게 될 것임을 짐작할 수 있습니다. 이 장의 나머지 부분에서는 모든 요율 요소가 범주형 변수라고 가정합니다.

가격 산정 과정에서 범주형 변수가 어떻게 사용되는지 설명하기 위해, 요율 요소가 두 개뿐인 가상의 자동차 보험을 고려합니다.

차량 종류: A형(개인 소유)과 B형(법인 소유). 이 요율 요소의 각 수준을 나타내기 위해 각각 지수 \(j=1\)와 \(2\)를 사용합니다.
운전자의 연령대: 청년층(연령 \(<\) 25), 중년층(25 \(\le\) 연령 \(<\) 60), 노년층(연령 \(\ge\) 60). 이 요율 요소에 대해서는 각각 지수 \(k=1, 2\)와 \(3\)를 사용합니다.

이 분류 규칙으로부터 표 11.2에 나타낸 것과 같이 모든 보험계약자에게서 수집한 정리된 표나 목록을 만들 수 있습니다. 분명히 전체적으로 \(2 \times 3=6\)개의 서로 다른 위험 등급이 있습니다. 표의 각 행은 개별 보험계약자가 지닌 서로 다른 위험 특성의 조합을 보여 줍니다. 우리의 목표는 이 조합 각각에 대해 여섯 가지 서로 다른 보험료를 계산하는 것입니다. 주어진 익스포저와 청구 건수를 사용하여 각 행의 보험료가 결정되면, 보험자는 표 11.2의 마지막 두 열을 계산된 보험료를 담은 하나의 열로 대체할 수 있습니다. 그러면 이 새로운 표는 언더라이팅 과정에서 요율 요소가 주어진 신규 보험계약자의 보험료를 결정하는 매뉴얼로 사용될 수 있습니다. 손해보험에서는 각 요율 요소 집합과 그에 대응하는 보험료를 담은 표(또는 표의 집합)나 목록을 요율표(tariff) 요율 요소와 그에 연관된 보험료 및 기타 위험 정보를 담고 있는 표 또는 목록라고 합니다. 요율표에서 요율 요소의 각 고유한 조합을 요율 셀이라고 합니다. 따라서 표 11.2에서 요율 셀의 수는 위험 등급의 수와 같은 6개입니다.

표 11.2. 예시 자동차 보험자의 손해 기록

\[ {\small \begin{matrix} \begin{array}{ccrrc} \hline \text{Rating} &\text{factors} & \text{Exposure} & \text{Claim count} \\ \text{Type }(j) & \text{Age }(k) & \text{in year} & \text{observed}\\ \hline \hline 1 & 1 & 89.1 & 9\\ 1 & 2 & 208.5& 8\\ 1 & 3 & 155.2 & 6 \\ 2 & 1 & 19.3 & 1 \\ 2 & 2 & 360.4 & 13 \\ 2 & 3 & 276.7 & 6 \\ \hline \end{array} \end{matrix} } \]

이제 표 11.2의 손해 정보를 더 자세히 살펴봅시다. 각 행의 익스포저는 해당 요율 셀에 속한 모든 보험계약자의 보험 보장 기간, 즉 유효 기간(in-force times) 보험증권의 효력이 유지되고 보험자가 계약상 의무를 지는 기간을 연 단위로 합산한 값을 나타냅니다. 마찬가지로 각 행의 청구 건수는 각 셀에서 발생한 청구의 수입니다. 당연히 익스포저와 청구 건수는 셀마다 운전자 수가 다르고, 각 셀 안에서도 운전자마다 유효 기간이 다르기 때문에 달라집니다.

포아송 회귀의 틀에 비추어, 셀 \((j,k)\)의 익스포저와 청구 건수를 각각 \(m_{jk}\)와 \(y_{jk}\)로 표기하고, 단위 익스포저당 청구 건수를 \[ z_{jk}= \frac{y_{jk}}{ m_{jk}}, \qquad j=1,2;\, k=1, 2,3. \] 로 정의합니다. 예를 들어 \(z_{12}=8/208.5=0.03837\)인데, 이는 요율 셀 (1,2)에 속한 보험계약자가 1년 동안 보험에 가입하면 평균적으로 0.03837건의 사고를 낸다는 뜻입니다. 그러면 \(z_{ij}\) 값들의 집합은 단위 익스포저당 사건 발생률이므로 포아송 분포 (11.13)의 비율 모수(rate parameter) 지수분포와 같은 일부 분포에서 함수가 얼마나 빠르게 감소하는지를 나타내는 모수로, 척도모수의 역수에 대응합니다. 즉, \(z_{jk}=\hat{\lambda}_{jk}\)이며, 여기서 \({\lambda}_{jk}\)는 포아송 비율 모수입니다. 그러나 \(z_{ij}\) 값을 산출하는 것만으로는 위험 등급 간 평균 손실 빈도를 비교하는 것 이상의 의미가 크지 않습니다. 데이터셋을 충분히 활용하기 위해, 이 장의 나머지 부분에서는 포아송 회귀를 사용하여 표 11.2로부터 가격 책정 모형을 구축하겠습니다.

참고로 보험자가 실제로 사용하는 손해 기록에는 보통 훨씬 더 많은 위험 요인이 포함되며, 이 경우 셀의 수는 기하급수적으로 늘어납니다. 그러면 요율표는 하나의 표가 아니라 성별이나 지역과 같은 몇몇 기본 요율 요소로 구분된 표의 집합으로 구성됩니다.

11.3.2 승법 요율표 모형

이 소절에서는 포아송 회귀 프레임워크 안에서 자연스럽게 사용할 수 있는 널리 쓰이는 가격 결정 구조인 승법 요율표 모형(multiplicative tariff model) 각 요율 요소가 해당 요율 요소와 관련된 모수들의 곱인 요율 산정 방법을 소개합니다. 여기서의 전개는 표 11.2에 기반합니다. 보험계약자의 손실 건수는 발생률 \(\lambda\)와 익스포저 \(m\)를 갖는 포아송 회귀모형으로 기술되므로, 기대손실 건수는 \(m\lambda\)가 된다는 점을 상기하십시오. \(m\)는 알려진 상수이므로, 본질적으로 우리의 관심사는 \(\lambda\)가 요율 요소의 변화에 반응하도록 모형화하는 것입니다. 가능한 여러 함수 형태(functional forms) 종속변수와 설명변수 사이의 대수적 관계 중에서, 셀 (\(j,k\))의 포아송 비율 \(\lambda_{jk}\)를 모형화하기 위해 흔히 곱셈적²⁶ 관계를 선택합니다. \[\begin{equation} \lambda_{jk}= f_0 \times f_{1j} \times f_{2k}, \qquad j=1,2;\, k=1, 2,3. \tag{11.16} \end{equation}\]

여기서 \(\{ f_{1j}, j=1,2\}\)는 첫 번째 요율 요소인 차량 유형의 두 수준과 관련된 모수이고, \(\{ f_{2k}, k=1,2,3\}\)는 두 번째 요율 요소인 연령대의 세 수준과 관련된 모수입니다. 예를 들어, B형 차량을 보유한 중년 보험계약자의 포아송 비율은 \(\lambda_{22}=f_0 \times f_{12} \times f_{22}\)로 주어집니다. 첫 번째 항 \(f_0\)는 곧 논의할 어떤 기준값입니다. 따라서 이 여섯 개의 모수는 각 요율 요소 내 수준들을 수치로 표현한 것으로 이해되며, 데이터셋으로부터 추정해야 합니다.

승법 형태 (11.16)는 각 요율 요소가 변할 때 (단위 익스포저당) 기대손실 건수가 어떻게 변하는지를 명확하게 보여주므로 이해하고 사용하기 쉽습니다. 예를 들어, \(f_{11}=1\)이고 \(f_{12}=1.2\)이면, 다른 요소가 같을 때 B형 차량을 보유한 보험계약자의 기대손실 건수는 A형보다 20\(\%\) 더 큽니다. 손해보험에서 모수 \(f_{1j}\)와 \(f_{2k}\)는 기준값 \(f_0\)에 비해 기대손실이 얼마나 변해야 하는지를 결정하므로 상대도(relativities) 한 범주의 값을 기준 분류의 값에 대한 상대적인 수치로 나타낸 추정치로, 일반적으로 계수 형태로 표현됨라고 합니다. 상대도의 개념은 실무에서 매우 편리한데, 기준값에 해당하는 일련의 상대도를 단순히 곱하기만 하면 보험계약자의 보험료를 결정할 수 있기 때문입니다.

이러한 승법 구조에서는 기존 요율 요소를 제거하거나 새로운 요율 요소를 추가하는 것도 명료합니다. 또한 보험자는 개별 상대도를 바꾸지 않고 기준값 \(f_0\)를 조정함으로써 모든 보험계약자의 전체 보험료를 조정할 수 있습니다. 그러나 곱셈 형태를 채택함으로써, 우리는 위험 요인들 사이에 심각한 상호작용이 없다고 암묵적으로 가정하게 됩니다.

곱셈 형태를 사용할 때는 식별 문제를 다루어야 합니다. 즉, 임의의 \(c>0\)에 대해 \[ \lambda_{jk}= f_0 \times \frac{f_{1j}}{c} \times c\,f_{2k}. \] 와 같이 쓸 수 있습니다. (11.16)과 비교해 보면, 매우 다른 개별 상대도들로부터 동일한 비율 모수 \(\lambda_{jk}\)를 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 여러 다른 모수 집합이 동일한 모형에 이르게 된다는 의미의 이러한 과대모수화는 분명히 \(f_{1j}\)와 \(f_{2k}\)에 대한 어떤 제약을 필요로 합니다. 표준적인 관행은 각 요율 요소에서 하나의 상대도를 1로 두는 것입니다. 이론적으로는 이를 임의로 정할 수 있지만, 표준적인 관행은 가장 흔한 등급(기준 등급)의 상대도를 1로 두는 것입니다. A형 차량과 젊은 운전자가 가장 흔한 등급이라고 가정하겠습니다. 즉, \(f_{11} = 1\)이고 \(f_{21} = 1\)입니다. 이렇게 하면 다른 모든 상대도가 유일하게 결정됩니다. 그러면 요율 셀 \((j,k)=(1,1)\)를 기준 요율 셀(base tariff cell) 요율이 모형의 절편(기준값)과 같아지도록 선택한 요율 범주의 조합이라고 부르며, 여기서 비율은 단순히 \(\lambda_{11}=f_0\)가 되어 (11.16)에 따른 기준값에 해당합니다. 따라서 기준값 \(f_0\)는 일반적으로 기준 요율 셀의 포아송 비율로 해석됩니다.

이번에도 (11.12)와 마찬가지로, 추정하기가 더 쉽도록 (11.16)을 로그 변환하여 \[\begin{equation} \log \lambda_{jk}= \log f_0 + \log f_{1j} + \log f_{2k}, \tag{11.17} \end{equation}\] 로 다시 씁니다. 이 로그 선형 형태는 각 요율 요소에서 기준 수준의 로그 상대도를 0, 즉 \(\log f_{11}=\log f_{21}=0\)로 만들며, (11.17)에 대한 다음과 같은 더 명시적인 대안 표현으로 이어집니다: \[\begin{equation} \small{ \log \lambda_{jk}=\begin{cases} \log f_0 + \quad 0 \quad \,\,+ \quad 0 \quad \,\,& \text{for a policy in cell }(1,1), \\ \log f_0+ \quad 0 \quad \,\,+\log f_{22}& \text{for a policy in cell }(1,2), \\ \log f_0+ \quad 0 \quad \,\,+\log f_{23}& \text{for a policy in cell }(1,3), \\ \log f_0+\log f_{12}+ \quad 0 \quad \,\,& \text{for a policy in cell }(2,1), \\ \log f_0+\log f_{12}+\log f_{22}& \text{for a policy in cell }(2,2), \\ \log f_0+\log f_{12}+\log f_{23}& \text{for a policy in cell }(2,3). \\ \end{cases} } \tag{11.18} \end{equation}\] 이는 포아송 비율 모수 \(\lambda\)가 포아송 회귀 체계에서 사용되는 것과 같은 로그 선형 형태로 요율 셀마다 달라진다는 것을 보여 줍니다. 실제로 독자는 (11.18)이 앞서 나온 표현 (11.6)을 여러 위험 요인으로 확장한 형태이며, 이제 로그 상대도가 \(\beta_i\) 모수의 역할을 한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 적절하게 선택한 지시변수 집합으로 포아송 회귀를 적합하여 모든 상대도를 손쉽게 추정할 수 있습니다.

11.3.3 승법 요율표를 위한 포아송 회귀

요율 셀을 위한 지시변수

이제 상대도를 포아송 회귀에 어떻게 반영할 수 있는지 설명합니다. 이 장의 앞부분에서 본 것처럼, 범주형 변수를 다룰 때는 지시변수를 사용합니다. 따라서 예시로 든 자동차 보험자의 경우, 첫 번째 요율 요소에 대한 지시변수를 \[ x_1= \begin{cases} 1 & \text{ for vehicle type B}, \\ 0 & \text{ otherwise}. \end{cases} \] 로 정의합니다. 두 번째 요율 요소에 대해서는 연령대에 대한 두 개의 지시변수, 즉 \[ x_2= \begin{cases} 1 & \text{for age band 2}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \] 와 \[ x_3= \begin{cases} 1 & \text{for age band 3}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \] 를 사용합니다. 그러면 세 변수의 조 \((x_1, x_2, x_3)\)는 각 위험 등급을 효과적이고 유일하게 결정할 수 있습니다. 유형 A와 연령대 1에 해당하는 지시변수가 빠져 있으므로, 요율 셀 \((j,k)=(1,1)\)가 기준 셀 역할을 함을 알 수 있습니다. 위의 세 지시변수는 이전 소절의 승법 요율표 모형에서 선택한 기준 수준(즉, \(f_{11}=1\) 및 \(f_{21}=1\))과 일치하도록 신중하게 선택한 것임을 강조합니다.

제안한 지시변수를 사용하면 로그 요율 (11.17)를 \[\begin{equation} \log \lambda_{}= \log f_0+ \log f_{12} \times x_1 + \log f_{22} \times x_2 +\log f_{23} \times x_3, \tag{11.19} \end{equation}\] 와 같이 다시 쓸 수 있으며, 실제로 각 삼중항 값을 대입하면 이는 (11.18)와 같습니다. 예를 들어, 기준 요율 셀 \((j,k)=(1,1)\)는 \((x_1, x_2,x_3)=(0, 0, 0)\)에 대응하며, 그 결과 (11.19)에서 요구하는 대로 \(\log \lambda=\log f_0\) 또는 \(\lambda= f_0\)가 됨을 확인할 수 있습니다.

요율 모형을 위한 포아송 회귀
이러한 설정에서, 포트폴리오에 \(n\)명의 보험계약자가 있고 \(i\)번째 보험계약자의 위험 특성이 \(i=1, \ldots, n\)에 대해 설명변수 벡터 \(\mathbf{ x}_i=(1, x_{i1}, x_{i2},x_{i3})^{\prime}\)로 주어진다고 합시다. 그러면 (11.19)를 \[ \log \lambda_{i}= \beta_0+ \beta_1 \, x_{i1} + \beta_{2} \, x_{i2} +\beta_3 \, x_{i3}=\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta, \qquad i=1, \ldots, n, \] 로 볼 수 있으며, 여기서 \(\beta_0, \ldots, \beta_3\)는 (11.19)의 해당 로그 상대도에 대응시킬 수 있습니다. 이는 익스포저 성분을 제외하면 (11.15)와 완전히 같은 설정입니다. 따라서 각 위험 등급의 익스포저를 반영하면, 이 승법 요율표 모형에 대한 포아송 회귀모형은 최종적으로 \(i=1, \ldots, n\)에 대해 \[ \begin{array}{ll} \log \mu_i &=\log \lambda_{i}+\log m_i= \log m_i+ \beta_0+ \beta_1 \, x_{i1} + \beta_{2} \, x_{i2} +\beta_3 \, x_{i3}\\ &=\log m_i+\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta, \end{array} \] 이 됩니다. 결과적으로 상대도는 원래 구성에 따라 \(f_{11}=1\)와 \(f_{21}=1\)를 이용하여 \[\begin{equation} {f}_0=e^{\beta_0}, \quad {f}_{12}=e^{\beta_1}, \quad {f}_{22}=e^{\beta_2}, \quad \text{and}\quad {f}_{23}=e^{\beta_3}, \tag{11.20} \end{equation}\] 로 주어집니다. 실제 데이터셋에서는 이 장 끝의 기술 부록(11.A절)에 있는 방법을 사용하여 \(\beta_i\), \(i=0,1, 2, 3\)를 최대가능도추정량(mle) \(b_i\)로 대체합니다.

11.3.4 수치 예제

포아송 회귀의 수치 예제 두 가지를 제시합니다. 첫 번째 예제에서는 가상의 자동차 보험자의 데이터셋인 표 11.2로부터 포아송 회귀모형을 구성합니다. 두 번째 예제에서는 위험 요인이 더 많은 실제 업계 데이터셋을 사용합니다. 이 장의 목적은 주어진 분류 규칙하에서 포아송 회귀모형을 어떻게 사용할 수 있는지 보여 주는 것이므로, 이 장에서는 포아송 모형 적합의 품질은 다루지 않습니다.

예제 11.1: 예시 자동차 보험자에 대한 포아송 회귀. 앞의 몇 소절에서는 표 11.2에 주어진 것처럼 위험 요인이 두 개인 가상의 자동차 보험자 데이터셋을 살펴보았습니다. 이제 이 데이터셋에 포아송 회귀모형을 적용합니다. 앞에서와 같이 \((j,k)=(1,1)\)를 기준 요율 셀로 설정하였으므로 \(f_{11}=f_{21}=1\)입니다. 회귀 결과로 계수 추정값 \((b_0, b_1,b_2,b_3)=(-2.3359, -0.3004, -0.7837, -1.0655)\)를 얻으며, 이로부터 (11.20)에 주어진 관계를 통해 대응하는 추정 상대도 \[ {f}_0=0.0967, \quad {f}_{12}= 0.7405, \quad {f}_{22}=0.4567 \quad \text{and}\quad {f}_{23}=0.3445, \] 가 산출됩니다. R 스크립트와 출력 결과는 다음과 같습니다.

R 코드 보기

예제 11.2. 싱가포르 보험 청구 데이터에 대한 포아송 회귀. 이 실제 데이터셋은 Frees and Valdez (2008)에서 사용한 데이터의 일부입니다. 이 데이터는 싱가포르의 손해보험 보험자들로 구성된 단체인 싱가포르 일반보험협회(General Insurance Association of Singapore)에서 제공한 것입니다. 이 데이터에는 \(n=7,483\)건의 자동차 보험계약에 대한 자동차 사고 건수와 함께 여러 범주형 설명변수 및 각 계약의 익스포저가 포함되어 있습니다. 설명변수에는 네 가지 위험 요인, 즉 피보험 차량의 유형(승용차(A) 또는 기타(O)이며 Vtype으로 표기), 차량의 연식(년 단위, Vage), 보험계약자의 성별(Sex), 그리고 보험계약자의 연령(년 단위이며 일곱 개 범주로 구분, Age로 표기)이 포함됩니다.

데이터 설명을 바탕으로 할 때, 모형을 구축하기 전에 고려해야 할 몇 가지 사항이 있습니다. 첫째, 차량 유형 A(자동차)인 보험계약은 3,842건이고 그 밖의 차량 유형인 보험계약은 3,641건입니다. 그러나 연령 및 성별 정보는 차량 유형 A의 보험계약에 대해서만 제공됩니다. 그 밖의 모든 유형의 차량 운전자는 한 건의 보험계약을 제외하고 모두 21세 이하이며 성별이 미상인 것으로 기록되어 있는데, 이는 비자동차 차량(non-automobile vehicles) ATV, 오프로드 차량, 고카트 등 자동차가 아닌 동력 차량에 대해서는 운전자 정보가 수집되지 않았음을 나타냅니다. 둘째, 유형 A 차량은 모두 자가용 차량으로 분류되며 그 밖의 유형은 모두 자가용 차량이 아닙니다.

이러한 위험 요인을 포함할 때, 성별이 미상인 경우는 모두 남성으로 가정합니다. 연령 정보는 유형 A 차량에만 적용할 수 있으므로, 이에 맞추어 모형을 설정합니다. 즉, 연령 변수는 유형 A 차량에만 적용합니다. 또한 차량 연식 0, 1, 2를 합쳐 원래의 일곱 개 연령대를 단순화한 다섯 개의 차량 연령대를 사용하였으며, 합쳐진 연령대는 데이터 파일에서 수준 2²⁷로 표시됩니다. 따라서 본 포아송 모형은 다음과 같은 명시적 형태를 가집니다. \[\begin{align*} \log \mu_i= \mathbf{ x}^{\prime}_i\beta+&\log m_i=\beta_0+\beta_1 I(Sex_i=M)+ \sum_{t=2}^6 \beta_t\, I(Vage_i=t) \\ &+ \sum_{t=7}^{13} \beta_t \,I(Vtype_i=A)\times I(Age_i=t-7)+\log m_i. \end{align*}\]

적합 결과는 표 11.3에 제시되어 있으며, 이에 대해 몇 가지 언급할 사항이 있습니다.

다른 요율 요소를 고정할 때, 청구 빈도는 남성이 17.3% 더 높습니다. 그러나 이는 성별이 미상인 경우를 모두 남성으로 지정하였다는 사실의 영향을 받았을 수 있습니다.
차량 연식의 경우, 다른 요율 요소를 고정할 때 차량 연식이 증가함에 따라 청구 빈도가 점차 감소합니다. 이 변수의 수준은 2부터 시작하지만, 앞서와 마찬가지로 번호 매김은 명목적인 것이며 수치 결과에는 영향을 미치지 않습니다.
보험계약자 연령 변수는 A형(승용차) 차량에만 적용되며, 첫 번째 연령대에는 계약이 없습니다. 21세 미만의 젊은 운전자들은 높은 보험료나 관련 규제 때문에 자신의 차량을 소유하기보다는 부모의 차량을 운전한다고 추측할 수 있습니다. 누락된 상대도는 외삽이나 계리사의 전문적 판단을 통해 추정할 수 있습니다. 청구 빈도는 연령대 3과 4에서 가장 낮지만 더 높은 연령대에서는 상당히 높아지는데, 이는 많은 자동차 보험 손실 데이터셋에서 볼 수 있는 합리적인 패턴입니다.

또한 보험계약자 연령 변수에는 상대도가 1인 수준이 없다는 의미에서 기준 수준이 없다는 점에 주목합니다. 이는 해당 변수가 차량 유형 A에만 적용되기 때문입니다. 이는 수치적으로는 문제를 일으키지 않지만, 다른 목적으로 필요한 경우에는 다음과 같이 기준 상대도를 설정할 수 있습니다. 연령대 0에는 계약이 없으므로 연령대 1을 기준 사례로 간주합니다. 구체적으로, 연령대 1의 상대도를 0.918과 1의 곱으로 취급하는데, 여기서 전자는 차량 유형이 A인 모든 계약에 적용되는 공통 상대도(즉, 공통 보험료 인하분)이고 후자는 연령대 1의 기준값입니다. 그러면 연령대 2의 상대도는 \(0.917=0.918 \times 0.999\)로 볼 수 있으며, 여기서 0.999는 연령대 2의 상대도로 이해됩니다. 나머지 연령대도 같은 방식으로 다룰 수 있습니다.

표 11.3. 싱가포르 보험 청구 데이터

\[ {\small \begin{matrix} \begin{array}{clcc} \hline \text{Rating factor} & \text{Level} & \text{Relativity in the tariff} & \text{Note}\\ \hline\hline \text{Base value} & & 0.167 & f_0\\ \hline \text{Sex} & 1 (F) & 1.000 & \text{Base level}\\ & 2 (M) & 1.173 &\\\hline \text{Vehicle age} & 2 (0-2\text{ yrs}) & 1.000 & \text{Base level}\\ & 3 (3-5\text{ yrs}) & 0.843 \\ & 4 (6-10\text{ yrs}) & 0.553 \\ & 5 (11-15\text{ yrs}) & 0.269 \\ & 6 (16+\text{ yrs}) & 0.189 &\\\hline \text{Policyholder age} & 0 (0-21) & \text{N/A} & \text{No policy} \\ \text{(Only applicable to} & 1 (22-25) & 0.918 \\ \text{vehicle type A)} & 2 (26-35) & 0.917 \\ & 3 (36-45) & 0.758 \\ & 4 (46-55) & 0.632 \\ & 5 (56-65) & 1.102\\ & 6 (65+) & 1.179\\ \hline \hline \end{array} \end{matrix} } \] 표 11.3을 바탕으로 몇 가지 예를 살펴봅시다. A형 차량을 7년째 보유하고 있는 40세 남성 보험계약자를 가정합니다. 그러면 이 보험계약자의 기대 청구 빈도는 다음과 같습니다. \[ \lambda=0.167 \times 1.173 \times 0.553 \times 0.758 = 0.082. \] 또 다른 예로, O형 차량을 3년째 보유하고 있는 60세 여성 보험계약자를 생각해 봅시다. 이 보험계약자의 기대 청구 빈도는 다음과 같습니다. \[ \lambda=0.167 \times 1 \times 0.843 = 0.141. \] 이 계약의 경우 차량 유형이 A가 아니므로 연령대 변수가 사용되지 않는다는 점에 유의하십시오. R 스크립트는 다음과 같습니다.

R 코드 보기

끝으로, 포아송 회귀가 사용할 수 있는 유일한 계수 회귀 모형은 아니라는 점을 언급해 둡니다. 실제로 포아송 분포는 모수가 하나뿐이고 평균과 분산이 항상 같다는 점에서 제약이 클 수 있습니다. 음이항 회귀나 영과잉(ZI) 회귀처럼 보다 유연한 분포 구조(distributional structure) 통계적 분포를 모수화하는 방식를 허용하는 다른 계수 회귀 모형도 있으며, 이러한 대안적 회귀 모형에 대한 자세한 내용은 다음 절에 소개된 다른 문헌에서 찾아볼 수 있습니다.

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11.4 위험 분류와 차별

지금까지 우리는 위험 분류를 다루기 위한 정량적 모형을 개발했습니다. 그러나 위험 분류에는 중요한 정성적 측면도 있으며, 이는 도덕적·규제적·법적으로 중요한 함의를 지닙니다. 이 절에서는 위험 분류와 관련된 다양한 쟁점을 간략히 살펴봅니다. 보다 포괄적인 논의는 Frees and Huang (2023)을 참고하십시오.

우선 위험 분류는 그 정의상 매우 다양한 속성을 근거로 피보험자나 잠재 구매자를 구별하거나 차별한다는 점을 인정하는 데서 시작합니다. 즉, 보험자는 개인을 하위 집단으로 나누고, 적절하게 구성된 각 하위 집단이 서로 다른 위험 특성을 보이며 그에 따라 건수와 규모가 서로 다른 보험 사건(의료비 청구나 자동차 사고 등)을 발생시킨다는 근거로 서로 다른 보험료를 부과합니다. 이런 의미에서 단순히 하위 집단을 다르게 취급한다는 뜻의 차별은 보험업의 본질적인 요소입니다.

보험자는 여러 단계에서 고객을 차별할 수 있습니다. 예를 들어, 보험자는 마케팅 단계나 언더라이팅 단계에서 특정 하위 집단을 의도적으로 배제함으로써 잠재 고객의 보험 인수를 거절할 수 있는데, 이 문제를 레드라이닝(redlining)이라고 합니다. 또한 보험자는 기존 고객의 갱신을 거절하거나 보험 보장 범위를 제한할 수도 있습니다. 또 다른 형태의 차별은 특정 하위 집단에 불공정한 가격을 부과하는 방식으로 이루어질 수 있습니다. 이러한 가격 차별은 보험에서 표준적인 관행이며, 가격 차이가 각 하위 집단의 근본적인 위험 수준에 근거하여 이루어진다면 문제가 되지 않습니다. 그러나 위험과 무관한 가격 차별은 동일한 상품과 보장에 대해 가격이 달라진다는 점에서 더 큰 문제가 됩니다. 이러한 비위험 요율 요소는 많은 관할 지역에서 금지되는 경향이 있습니다.

11.4.1 경제적 상품 대 사회적 재화

경제적 관점의 주장은 보험을 경제적 상품으로 보고 보험자의 위험 기반 차별을 지지하는 반면, 소비자 권익 옹호자 등 다른 이들은 보험을 일반 대중에게 혜택을 주어야 하는 사회적 재화로 인식하며, 특히 취약 계층에 대해서는 차별을 피해야 한다고 주장합니다. 이 두 대립되는 관점은 현실 세계에서 구현될 때 연속적인 공정성 스펙트럼의 양 극단으로 이해할 수 있습니다. 이해를 돕기 위해 다음 예들을 살펴봅시다.

주식회사형 보험회사는 이 스펙트럼의 한쪽 끝에 위치합니다. 여기서 회사는 개별 계약을 발행하며, 보험은 집단적 개념이 아니라 개별 계약들의 집합으로 간주됩니다. 이 경우 보험수리적으로 공정한 가격은 불확실한 사건의 기댓값으로 결정되며, 이는 피보험자로부터 보험자에게 이전되는 위험을 반영합니다. 이 경우 공정성은 각 고객이 자신의 위험에 대해서만 비용을 부담하는 것으로 정의되며, 이는 경제 이론에 의해 뒷받침됩니다.
정부가 운영하는 사회보험은 스펙트럼의 반대편 끝에 있습니다. 여기에서는 계약이 일반적으로 서로 다른 하위 집단 간의 보조금을 수반합니다. 정부는 개인 간에 위험이나 소득을 재분배하기 위해 이러한 사회 정책을 자주 활용하지만, 보험수리적 공정성 원칙을 얼마나 준수하는지는 재분배의 목표 수준에 따라 크게 달라질 수 있습니다.
단체보험은 스펙트럼의 중간에 위치합니다. 예를 들어, 한 고용주가 피고용인들을 대상으로 발행한 장애소득 보험 계약을 생각해 보십시오. 이 경우 고용주가 보험료의 전부 또는 대부분을 부담한다면 위험 요인에 따른 보험료 차등은 큰 문제가 되지 않습니다.

분명히 보험에서의 차별과 공정성 문제는 다층적인 문제입니다. 이 문제는 기술적인 모델링뿐만 아니라 보험 프로그램의 목표와 특성에 따른 사회적 합의에도 영향을 받습니다.

11.4.2 정보 비대칭

보험에서의 차별은 정보 비대칭에서 비롯될 수도 있는데, 정보 비대칭이란 보험자와 현재 또는 잠재 고객이 기초 위험에 관한 관련 정보에 대해 서로 다른 수준의 지식이나 접근성을 가진다는 것을 의미합니다.

이 장의 서론에서 설명한 역선택은 정보 비대칭의 한 예입니다. 이 장의 시작 부분에서 예시한 바와 같이, 보험자에게 역선택은 고객이 자신의 위험에 대해 보험자보다 더 잘 알고 있거나 시장의 다른 경쟁사가 고객의 위험에 대해 더 나은 지식을 가지고 있을 때 발생할 수 있습니다. 일반적으로 고객에 대한 정보를 더 많이 이용할 수 있게 될수록 역선택은 줄어들 수 있습니다.

정보 비대칭의 또 다른 유형은 도덕적 해이입니다. 도덕적 해이의 전형적인 사례에서, 보험계약자는 해당 위험이 이미 보험에 가입되어 있을 때 위험을 더 추구하게 되거나 위험에 대해 덜 조심하게 됩니다. 다시 말해, 피보험자는 보험이 제공하는 안전망 때문에 더 많은 위험을 감수할 유인을 가지게 되며, 이는 보험자의 비용 증가로 이어집니다. 도덕적 해이에 대한 한 가지 해결책은 보험계약자가 더 책임감 있게 행동하거나 위험의 익스포저 자체를 줄일 수 있도록 보험계약자에게 인센티브를 제공하는 것입니다. 예를 들어, 주택 소유자 보험계약을 구입한 뒤 화재와 도난에 대해 덜 주의하게 된 고객을 생각해 보십시오. 이러한 도덕적 해이를 완화하기 위해 보험자는 주택에 화재 경보기와 보안 경보기를 설치하는 것을 조건으로 일정한 보험료 할인을 제공할 수 있습니다. 일부 도덕적 해이는 보험자 측에도 적용됩니다. 예를 들어, 보험자는 보호 대상 변수나 민감한 변수를 수집하여 고객을 부당하게 차별하는 가격 책정 모형을 만들 수 있습니다. 보험자 측의 도덕적 해이는 일반적으로 보험 규제와 법률에 근거하여 관리되고 방지됩니다.

최근 새롭게 대두되는 또 다른 정보 비대칭 영역은 보험자가 사용하는 빅데이터 모형에서 비롯되는 지식 불균형입니다. 소비자 권익 옹호자들은 더 많은 빅데이터를 보험자만 이용할 수 있게 됨에 따라 고객과 보험자 간의 정보 격차가 더 커질 것이라고 지적합니다. 그 결과 보험자는 잠재적으로 더 수익성이 높은 고객을 선별할 수 있으며, 빅데이터 도구가 없는 고객은 그러한 정보에 접근할 수 없게 되어 불리한 처지에 놓이게 됩니다. 이는 보험자들이 집단적으로 고객에 관한 배타적 지식을 독점한다면 보험자 간의 자유 시장 경쟁만으로는 보험계약자를 보호하기에 불충분할 수 있음을 시사합니다.

11.4.3 민감 변수와 규제

위험 분류에 사용되는 일부 속성이나 변수는 불공정하거나 민감한 것으로 인식될 수 있습니다. 문헌에서는 어떤 속성이 요율 변수로서 수용 가능하거나 공정한지를 판단할 때 다음과 같은 기준 목록을 흔히 고려합니다.

통제 가능성: 피보험자가 통제할 수 있는 속성은 일반적으로 요율 산정 목적으로 사용하기에 수용 가능한 변수로 간주됩니다. 흡연 여부가 그러한 속성의 한 예입니다. 이와 대조적으로, 인종과 출생 시 성별은 피보험자가 통제할 수 없습니다.
가변성: 일부 속성은 시간이 지나면서 변하지만, 모든 사람에게 공정하다고 판단되면 요율 변수로 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 나이 드는 것은 일생에 걸쳐 우리 모두에게 공정하게 적용됩니다.
통계적 차별: 어떤 변수가 기저 위험에 대한 예측력을 갖지 않는다면, 일반적으로 허용될 수 없는 것으로 간주됩니다.
인과성: 보험사고를 유발하는 것으로 알려진 변수는 요율 산정 목적으로 사용할 수 있지만, 인과관계를 입증하려면 단순한 연관성을 넘어서는 강력한 증거가 필요하므로 이를 입증하는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다.
과거 편견의 영향 제한 또는 역전: 어떤 속성이 부정적 고정관념이나 그 밖의 불리한 처지에 있는 집단과 관련되어 있다면, 요율 산정 목적으로 사용되지 않을 수 있습니다.
사회적으로 가치 있는 행동의 억제: 보험자가 어떤 속성을 사용함으로써 사회적으로 바람직한 행동이 저해된다면, 그 속성은 요율 산정 목적으로 사용되지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 미국 법률은 보험자가 친밀한 파트너 폭력을 근거로 차별하는 것을 금지하는데, 이는 그러한 신고 때문에 폭력 피해자가 필요한 의료 서비스나 경찰의 개입을 요청하지 않게 될 수 있기 때문입니다.

이러한 복잡성을 고려하여, 많은 관할 지역에는 보험자가 문제 있는 가격 책정 관행을 하지 못하도록 금지하는 이른바 요율 규제가 있습니다. 예를 들어, 미국에서는 전미보험감독관협회(NAIC, 2010)의 모형 요율법이 “요율은 과도하거나, 불충분하거나, 부당하게 차별적이어서는 안 된다”라고 규정합니다. 이 법은 더 나아가 “현실적인 제약을 감안한 후에도 가격 차이가 기대손실 및 비용의 차이를 공정하게 반영하지 못하는 경우 부당한 차별이 존재한다”라고 명시합니다. 관할 지역마다 요율 규제의 엄격성에 대해 서로 다른 기준을 유지합니다. 요율 규제가 강력하게 시행되는 국가에서는 규제 당국이 실제 요율을 정하는 반면, 다른 국가에서는 규제 당국이 요율 승인만 요구할 수도 있습니다.

11.4.4 빅데이터 모형과 대리 차별

딥러닝, 머신러닝, AI 알고리즘과 같은 빅데이터 모형은 이제 우리 사회의 거의 모든 영역에 널리 퍼져 있습니다. 이러한 모형은 고급 알고리즘과 다양한 데이터 소스를 활용하여 이전에는 알려지지 않았던 새로운 패턴과 연관성을 발견하는 것으로 알려져 있습니다.

보험에서의 위험 분류 또는 요율 차별의 관점에서, 빅데이터 모형이 프라이버시와 대리 차별 측면에 중대한 변화를 가져올 것이라는 주장이 제기되고 있습니다. 프라이버시 보호 문제는 잘 알려져 있습니다. GPS 위치 정보, 웨어러블 기기, 소셜 네트워크, 신용카드 등 다양한 소스의 데이터가 결합되면, 빅데이터 모형은 개인의 신원이나 민감한 정보를 드러낼 수 있습니다. 이렇게 수집된 데이터가 겉보기에 무해하거나 자발적으로 제공된 변수로 이루어져 있다는 점을 고려하면, 프라이버시 침해와 민감 변수 생성의 잠재적 위험은 현실이 되어 가고 있습니다.

대리 차별은 보험자가 보호 대상인 민감한 정보와 높은 상관관계가 있는, 겉으로는 중립적인 속성을 근거로 차별할 때 발생합니다. 이러한 대리 변수를 가격 책정 모형에 사용함으로써, 보험자는 보호 변수를 직접 사용했을 때 얻을 수 있는 것과 동일한 정량적 결과를 얻을 수 있습니다. 이는 보험자가 실제로 요율 규제를 위반하지 않으면서도 금지된 변수를 사실상 사용할 수 있게 되므로 문제가 됩니다. 이러한 대리 변수의 발견이나 합성은 통계 모형과 빅데이터 모형을 통해 이루어질 수 있습니다. 후자의 모형은 알고리즘의 투명성이 낮은 경향이 있으므로 대리 차별을 탐지하기가 더 어렵습니다. 대리 차별을 완전히 없애는 것은 불가능하지만, 이를 완화하기 위한 몇 가지 전략이 제안되었습니다.

지역 공동 요율: 모든 보험계약자가 동일한 가격을 지불한다면 대리 차별을 없앨 수 있습니다. 이러한 종류의 요율 산정은 사회보험 프로그램에서 찾아볼 수 있지만, 일반적으로는 드뭅니다.
승인된 변수: 규제 당국은 요율 산정에 허용되는 변수의 집합을 지정하고 그 밖의 변수를 금지할 수 있습니다. 예를 들어, 미국의 Affordable Care Act(적정부담보험법) 하의 개인 건강보험 시장에서 보험자는 (1) 보험 상품이 개인을 보장하는지 가족을 보장하는지 여부, (2) 지역, (3) 연령, (4) 흡연 여부의 네 가지 요율 요소만 사용할 수 있습니다.
보험수리적 정당화: 이 전략에서 규제 당국은 요율 산정에 사용해서는 안 되는 보호 대상 또는 민감 변수의 집합을 지정합니다. 또한 이러한 변수 이외에는 보험수리적으로 정당화될 수 있거나 통계적으로 유의한 변수만 허용됩니다.
제한적 금지. 또는 규제 당국이 보호 대상 변수의 집합을 지정하고, 이 집합 밖의 다른 변수에 대해서는 아무런 제한을 두지 않습니다.
무제한. 이 극단적인 전략에서 규제 당국은 요율 변수에 대해 어떠한 금지도 부과하지 않으며, 실제로 대부분의 기업성 보험 종목이 이에 해당합니다.

실무적으로 가장 실현 가능한 방안은 세 번째 또는 네 번째 전략을 적절히 수정하여 채택하되, 요율 산정 과정에 사용된 가격 결정 모형과 데이터 출처에 대해 일정한 공개 요건을 두는 것입니다.

11.5 연습문제

11.1. 표 11.1에 관하여 다음 물음에 답하십시오.
(a) 표의 평균값을 확인하십시오.
(b) 식 (11.2)의 수치를 확인하십시오.
(c) 표의 각 흡연 여부에 대해 적합된 포아송 건수를 구하십시오.

11.2. 포아송 회귀 공식 (11.10)에서 지수함수 대신 \(i=1, \ldots, n\)에 대해 \(\mu_i=\mathrm{E~}{(y_i|\mathbf{ x}_i)}=({\mathbf{ x}^{\prime}_i\beta})^2\)를 사용하는 경우를 생각해 보십시오. 어떤 문제가 발생할 수 있습니까?

11.6 추가 자료 및 기여자

추가 읽을거리 및 참고문헌

포아송 회귀는 일반화선형모형(GLM)으로 알려진 보다 일반적인 회귀 모형 부류의 특수한 구성원입니다. GLM은 반응변수가 연속형, 이항형 또는 이산형인 데이터셋에 대해 통합된 회귀 체계를 제공합니다. 정규분포를 따르는 오차를 갖는 고전적 선형회귀 모형 역시 GLM의 구성원입니다. GLM을 다루는 표준적인 통계학 교재는 McCullagh and Nelder (1989) 등 여러 권이 있습니다. 보다 쉽게 접근할 수 있는 교재로는 Dobson and Barnett (2008), Agresti (1996), Faraway (2016)이 있습니다. 계리 및 보험 분야의 GLM 응용에 대해서는 Frees (2009), De Jong and Heller (2008)을 참고하십시오. 또한 Ohlsson and Johansson (2010)은 손해보험 가격 결정의 맥락에서 요율표 분석과 함께 GLM을 다룹니다.

사실 GLM과 영향력 있는 한 계리 모형 사이에는 주목할 만한 역사적 연관성이 있습니다. 1960년대에 계리 업계는 가법 형태와 승법 형태 모두에서 하위 집단 간에 일관되고 정합적인 요율을 산출하는 자동차보험 요율 산정 모형을 개발하였습니다. Bailey 최소편의법(Bailey and Simon, 1960 및 Bailey, 1963)으로 알려진 이 방법은 1970년대에 Nelder and Wedderburn(1972)에 의해 처음 등장한 GLM이라는 통계 모형의 해와 동등한 것으로 밝혀졌습니다. 이러한 강한 연관성 덕분에 계리사들은 폭넓은 계리 문제에 GLM 모형을 사용하고 도입할 수 있었습니다. 이에 관한 보다 자세한 역사적 설명은 Frees, Derrig, Meyers(2014)와 그 안의 참고문헌을 참고하십시오.

기여자

Joseph H. T. Kim(연세대학교)은 이 장 초판의 주 저자입니다. 이 장에 대한 의견 및 개선 제안은 이메일 jhtkim@yonsei.ac.kr로 보내 주십시오.
이 장의 검토자는 Chun Yong Chew, Lina Xu, Jeffrey Zheng입니다.

TS 11.A. 포아송 회귀모형의 추정

최대가능도 추정(mle)의 원리는 3.4.2절과 4.4.2절에서 소개되었고, 17.2.2절에서 정의되었으며, 19장에서 이론적으로 전개되었습니다. 여기서는 회귀 설정에서 가능도함수를 최대화할 때 설명변수가 어떻게 다루어지는지 독자가 알 수 있도록 포아송 회귀의 mle 절차를 제시합니다.

개별 데이터에 대한 최대가능도 추정

포아송 회귀에서 변하는 포아송 평균은 (11.15)에서 보인 것처럼 모수 \(\beta_i\)들에 의해 결정됩니다. 이 소절에서는 최대가능도 방법을 사용하여 이 모수들을 추정합니다. 이번에도 \(n\)명의 보험계약자가 있고, \(i\)번째 보험계약자는 \(\mathbf{ x}_i=(1, x_{i1}, \ldots, x_{ik})^{\prime}\)로 특성화되며 관측된 손실 건수가 \(y_i\)이라고 가정합니다. 그러면 (11.14)과 (11.15)로부터 벡터 \(\beta=(\beta_0, \dots, \beta_k)\)의 로그가능도함수는 다음과 같이 주어집니다. \[\begin{align} \nonumber \log L(\beta) &= l(\beta)=\sum^n_{i=1} \left( -\mu_i +y_i \, \log \mu_i -\log y_i! \right) \\ & = \sum^n_{i=1} \left( -m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i\beta) +y_i \,(\log m_i+\mathbf{ x}^{\prime}_i\beta) -\log y_i! \right) \tag{11.21} \end{align}\] \(\beta=(\beta_0, \ldots, \beta_k)^{\prime}\)의 mle를 구하기 위해, \(l(\beta)\)를 벡터 \(\beta\)에 대해 미분²⁸하고 이를 0으로 놓습니다. \[\begin{equation} \frac{\partial}{\partial \beta}l(\boldsymbol \beta)\Bigg{|}_{\beta=\mathbf{b}}=\sum^n_{i=1} \left(y_i -m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \mathbf{ b}) \right)\mathbf{ x}_i=\mathbf{ 0}. \tag{11.22} \end{equation}\]

이 연립방정식을 수치적으로 풀면 \(\beta\)의 mle를 얻으며, 이를 \(\mathbf{ b}=(b_0, b_1, \ldots, b_k)^{\prime}\)로 표기합니다. \(\mathbf{ x}_i=(1, x_{i1}, \ldots, x_{ik})^{\prime}\)가 열벡터이므로, 식 (11.22)은 양변이 크기 \(k+1\)의 열벡터로 쓰인 \(k+1\)개 방정식의 연립방정식이라는 점에 유의하십시오. \(\hat{\mu}_i=m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \mathbf{ b})\)로 표기하면 (11.22)를 \[ \sum^n_{i=1} \left(y_i -\hat{\mu}_i \right)\mathbf{ x}_i=\mathbf{ 0}. \] 로 다시 쓸 수 있습니다. 해 \(\mathbf{ b}\)가 이 방정식을 만족하므로, \(k+1\)개 방정식 중 \(\mathbf{ x}_i\)의 첫 번째 상수 원소에 대응하는 첫 번째 방정식으로부터 \[ \sum^n_{i=1}\left( y_i -\hat{\mu}_i \right)\times 1={ 0}, \] 를 얻으며, 이는 \[ n^{-1}\sum_{i=1}^n y_i =\bar{y}=n^{-1}\sum_{i=1}^n \hat{\mu}_i. \] 이 성립해야 함을 의미합니다. 이는 개별 손실의 평균 \(\bar{y}\)이 추정값의 평균과 같다는 흥미로운 성질입니다. 즉, 적합된 포아송 회귀모형에서 표본평균이 보존됩니다.

그룹화된 데이터에 대한 최대가능도 추정

때로는 개별 보험증권 수준의 데이터를 이용할 수 없습니다. 예를 들어, 표 11.2는 개별 보험계약을 그룹화한 후 각 위험 등급에 대한 집합적 손실 정보를 제공합니다. 이러한 경우에는 (11.22)의 mle 계산에 필요한 양인 \(y_i\)와 \(m_i\)를 각 \(i\)에 대해 이용할 수 없습니다. 그러나 각 위험 등급에 대한 총손실 건수와 총익스포저만 있으면 이는 문제가 되지 않습니다.

자세히 설명하기 위해, \(K\)개의 서로 다른 위험 등급이 있고, \(k=1, \ldots, K\)에 대해 \(k\)번째 위험 등급에 총익스포저가 \(m_{(k)}\)이고 평균 손실 건수가 \(\bar{y}_{(k)}\)인 \(n_k\)개의 보험계약이 있다고 가정합시다. 그러면 \(k\)번째 위험 등급의 총손실 건수는 \(n_k\, \bar{y}_{(k)}\)입니다. \(k\)번째 등급에 속하는 보험증권들의 인덱스 집합을 \(C_k\)로 표기합니다. 주어진 위험 등급에 속한 모든 보험계약은 동일한 위험 특성을 공유하므로, 모든 \(i \in C_k\)에 대해 \(\mathbf{ x}_i=\mathbf{ x}_{(k)}\)로 표기할 수 있습니다. 이 표기법을 사용하면 (11.22)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. \[\begin{align} \nonumber \sum^n_{i=1} \left(y_i -m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \mathbf{ b}) \right)\mathbf{ x}_i &= \sum^K_{k=1}\Big{\{}\sum_{i \in C_k} \left(y_i -m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \mathbf{ b}) \right)\mathbf{ x}_i \Big{\}} \\ \nonumber & =\sum^K_{k=1}\Big{\{} \sum_{i \in C_k} \left(y_i -m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_{(k)} \mathbf{ b}) \right)\mathbf{ x}_{(k)} \Big{\}} \\ \nonumber & =\sum^K_{k=1}\Big{\{} \Big(\sum_{i \in C_k}y_i -\sum_{i \in C_k}m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_{(k)} \mathbf{ b}) \Big)\mathbf{ x}_{(k)} \Big{\}} \\ & =\sum^K_{k=1} \Big(n_k\, \bar{y}_{(k)}-m_{(k)} \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_{(k)} \mathbf{ b}) \Big)\mathbf{ x}_{(k)} =0. \tag{11.23} \end{align}\] (11.23)에서 \(n_k\, \bar{y}_{(k)}\)는 \(k\)번째 위험 등급의 총손실 건수를 나타내고 \(m_{(k)}\)는 그 총익스포저이므로, 포아송 회귀에서는 개별 데이터를 사용하든 그룹화된 데이터를 사용하든 mle \(\mathbf{ b}\)가 동일함을 알 수 있습니다.

정보 행렬. 절 19.1에서 정보 행렬을 정의합니다. (11.21)의 이계도함수를 구하면 mle 추정량의 정보 행렬(information matrix) 관측 가능한 확률변수 x가 분포의 미지 모수에 대해 지니는 정보의 양을 측정하는 행렬로, 최대가능도 추정량의 공분산행렬을 계산하는 데 사용됨이 다음과 같이 주어집니다. \[\begin{equation} \mathbf{ I}(\boldsymbol \beta)=-\mathrm{E~}{\left( \frac{\partial^2}{\partial \boldsymbol \beta \partial \boldsymbol \beta^{\prime}}l(\boldsymbol \beta) \right)}=\sum^n_{i=1}m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta)\mathbf{ x}_i \mathbf{ x}_i^{\prime}=\sum^n_{i=1} {\mu}_i \mathbf{ x}_i \mathbf{ x}_i^{\prime}. \tag{11.24} \end{equation}\] 실제 데이터셋에서는 mle \(\mathbf{ b}\) 또는 그 함수의 관련 분산과 공분산을 추정하기 위해 (11.24)의 \({\mu}_i\)를 \(\hat{\mu}_i=m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \mathbf{ b})\)로 대체합니다.

그룹 데이터셋의 경우에는 다음과 같습니다. \[ \mathbf{ I}(\boldsymbol \beta)=\sum^K_{k=1} \Big{\{}\sum_{i \in C_k}m_i \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_i \boldsymbol \beta)\mathbf{ x}_i \mathbf{ x}_i^{\prime} \Big{\}}=\sum^K_{k=1} m_{(k)} \exp(\mathbf{ x}^{\prime}_{(k)} \boldsymbol \beta)\mathbf{ x}_{(k)} \mathbf{ x}_{(k)}^{\prime}. \]

TS 11.B. 요율 요소 선택

요율 요소 선택에 대한 완전한 논의는 이 책의 범위를 벗어납니다. 기술적 분석뿐만 아니라 사업 유형(개인, 기업)과 규제 환경에 대해서도 신중하게 생각해야 합니다. 그럼에도 불구하고, 몇 가지 핵심 관심사에 대한 폭넓은 개관은 독자가 보험계약의 가격 책정에 대해 생각할 때 기반을 다지는 데 도움이 될 수 있습니다.

통계적 기준

분석가의 관점에서 논의는 요율 요소의 통계적 유의성에서 시작합니다. 요소가 통계적으로 유의하지 않다면, 그 변수는 요율 체계에 포함하는 것을 고려할 가치조차 없습니다. 통계적 유의성은 장 6에서 논의한 바와 같이 표본 내 기준뿐만 아니라 표본 외 기준에서 얼마나 잘 작동하는지에 따라서도 판단합니다.

보험 응용에서는 요율 요소가 많은 것이 일반적입니다. 전통적인 일변량 방법으로는 다변량 측면을 다루기 어려울 수 있습니다. 분석가는 11.3절에서 설명하는 일반화선형모형과 같은 기법을 사용합니다.

요율 요소는 유사한 위험을 포함하는 셀을 만들기 위해 도입됩니다. 요율 집단은 충분한 정확도로 비용을 측정할 수 있을 만큼 커야 합니다. 이론적 정확도와 동질성 사이에는 본질적인 상충 관계가 있습니다.

예를 들어, 대부분의 보험자는 30세에서 50세 사이의 운전자에게 연령에 따라 보험료를 달리하지 않고 동일한 자동차 보험 보험료를 부과합니다. 아마도 비용은 연령에 따라 크게 달라지지 않거나, 비용의 분산은 식별 가능한 다른 요인에 기인하는 것으로 보입니다.

운영상의 기준

사업적 관점에서 통계적 기준은 요율 요소의 포함 여부를 논의하기 위한 출발점에 불과합니다. 요율 요소를 포함하는 것은 경제적으로도 의미 있는 결과를 가져와야 합니다. 피보험자의 관점에서, 어떤 요인으로 차등을 두어도 요율이 거의 변하지 않는다면 그 요인은 포함할 가치가 없습니다. 보험자의 관점에서, 요인을 포함하면 보험자가 원하는 계약을 유치하는 데 도움이 되는 방식으로 시장을 세분화할 수 있어야 합니다.

요율 요소는 또한 객관적이고, 관리 비용이 저렴하며, 검증 가능해야 합니다. 예를 들어, 자동차 보험 언더라이터는 젊은 운전자에 대한 중요한 기준으로 “성숙도”와 “책임감”을 자주 언급합니다. 그러나 이러한 기준은 객관적으로 정의하기 어렵고 일관되게 적용하기도 어렵습니다. 또 다른 예로, 자동차 보험에서는 주행 거리(마일 또는 킬로미터)가 훌륭한 요율 요소라는 사실이 오래전부터 알려져 왔습니다. 그러나 보험자들은 이 요인이 악용될 소지가 있어 채택을 꺼려 왔습니다. 역사적으로 주행 거리는 이 변수를 검증하기 어렵다는 이유로 사용되지 않았습니다(신고된 주행 거리를 바꾸기 위해 자동차의 주행 기록계를 조작하기가 너무나 쉽기 때문입니다). 앞으로는 오늘날의 운전자와 자동차가 위성 위치 확인 장치 및 기타 장비를 갖추고 있으므로, 주행 거리를 검증할 수 있게 되어 보험자가 이를 요율 요소로 사용할 수 있습니다.

소비자 관점에서 본 요율 요소

보험회사는 다양한 소비자에게 보험 상품을 판매하므로, 대중의 인식에 영향을 받습니다. 한편으로는, 상업보험에서 흔히 볼 수 있듯이 자유 시장 경쟁이 보험회사가 사용하는 요율 요소를 결정합니다. 다른 한편으로는 법률에 따라 보험 가입이 의무화될 수도 있습니다. 이는 제3자 자동차 배상책임보험 및 주택소유자보험과 같은 개인보험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 경우에는 보험 가입이 의무이거나 사실상 의무이므로, 자유 시장 경쟁만으로는 보험계약자를 보호하기에 충분하지 않을 수 있습니다. 이때 특정 위험 특성을 요율 변수로 사용하는 것의 사회적 수용성에는 다음 항목들이 영향을 미칩니다.

부담 가능성 - 일부 변수는 그 도입으로 인해 보험 비용이 크게 높아진다면 도입이 억제될 수 있습니다.
인과성 - 다른 조건이 같다면, 손실과 “인과” 관계가 있는 요율 변수일수록 정당화하기가 더 쉽습니다. 생명보험에서 흡연의 영향이 좋은 예입니다. 수년 동안 업계는 이 요인을 의심스러운 눈으로 바라보았습니다. 그러나 시간이 지나면서 과학적 증거를 통해 이 요인이 사망률의 중요한 예측 변수라는 사실이 압도적으로 입증되었습니다.
통제 가능성 - 통제 가능한 변수란 도난 경보기 설치와 같이 피보험자가 통제할 수 있는 변수를 말합니다. 통제 가능한 요율 변수를 사용하면 사고 예방이 촉진됩니다.
프라이버시 우려 - 사람들은 개인 정보를 공개하기를 꺼립니다. 소셜 미디어의 비중이 커지고 개인 정보를 쉽게 구할 수 있게 된 오늘날, 소비자 옹호 단체들은 빅데이터의 이점이 보험자에게 크게 치우쳐 있다고 우려합니다. 이들은 피보험자에게 보장/보험 계약의 품질과 보험회사의 성과를 비교할 수 있는 그에 상응하는 새로운 도구가 없다고 주장합니다.

예: 젊은 운전자. 경우에 따라 특정 위험 특성이 위험 수준이 극도로 높은 소수의 피보험자 집단을 식별할 수 있으며, 이를 요율 변수로 사용하면 그 결과로 산출된 보험료를 해당 고위험 등급이 감당하지 못할 수 있습니다. 이러한 상황이 발생하는 경우, 회사는 스스로 원하거나 규제 당국의 요구에 따라 등급을 통합하고 보조금을 도입할 수 있습니다. 예를 들어, 16세 운전자는 일반적으로 17세 운전자보다 위험이 높습니다. 일부 회사는 가족이 자동차 보험 계약에 16세 운전자를 추가할 때 발생하는 보험료 부담 문제를 최소화하기 위해 16세와 17세 운전자에게 동일한 요율을 적용하기로 결정했습니다.

요율 요소의 사회적 영향

요율 요소에 대한 공개 논의에서는 분류가 사회에 미치는 영향을 생각해 보는 것도 중요합니다.

예를 들어, 요율 변수가 “바람직한” 행동을 장려합니까? 한 예로, 주행 거리를 요율 요소로 사용하는 문제로 다시 돌아가 보겠습니다. 많은 사람들이 이 변수를 요소로 포함해야 한다고 주장합니다. 그 취지는 보험료가 연료처럼 주행 거리에 따라 책정된다면 소비자가 주행량을 줄이도록 유도하여 사회에 이익이 된다는 것입니다.

분류의 사회적 영향에 관한 다른 측면도 고려할 수 있습니다. 예를 들어 Niehaus and Harrington (2003)를 참조하십시오.

재분배 효과 - 예를 들어 고위험군에서 저위험군으로의 교차 보조를 제공합니다
분류 비용 - 사람들을 적절히 분류하기 위해 사회와 보험자가 지출하는 비용입니다.

법적 기준

예를 들어, 일부 주에는 보험 요율 산정에 성별 사용을 금지하는 법령이 있는 반면, 다른 주에서는 성별을 요율 변수로 허용합니다. 그 결과, 여러 주에서 보험을 인수하는 보험자는 성별이 허용되는 주에서는 이를 요율 변수로 포함하되, 요율 산정에 성별 사용을 금지하는 주에서는 포함하지 않을 수 있습니다.

법이 허용하는 경우, 회사는 평균 요율을 계속 부과하면서도 해당 특성을 활용하여 피보험 모집단 내에 존재하는 저위험 피보험자를 식별하고, 유치하고, 선별할 수 있습니다. 이를 크림 걷어내기(skimming the cream)라고 합니다. 가격 책정에서의 차별에 관한 폭넓은 논의는 Frees and Huang (2023)를 참조하십시오.

예를 들어, 수준의 개수가 각각 2, 3, 4인 위험 요인이 3개 있다면 \(k=(2-1)\times(3-1)\times (4-1)=6\)입니다.↩︎
다른 형태(예: 덧셈 형태)보다 승법 형태(multiplicative form) 종속변수가 설명변수들의 곱으로 표현되는 관계를 선호한다는 점은 이미 (11.4)에서 암시되었습니다.↩︎
이는 VAgecat1에 해당합니다.↩︎
여기서는 행렬 도함수를 사용합니다.↩︎