제13장 재보험을 포함한 보험 포트폴리오 관리
장 미리보기. 보험 포트폴리오는 단순히 보험계약의 모음입니다. 포트폴리오의 불확실성 관리에 도움을 주기 위해, 이 장에서는
- 분포의 꼬리를 살펴봄으로써 비정상적으로 큰 채무를 정량화하고,
- 위험측도라고 알려진 요약 지표를 도입하여 전반적인 위험도를 정량화하며,
- 보험자가 보험 보호를 구매하는 것, 즉 재보험을 통해 포트폴리오 위험을 분산하는 방안을 논의합니다.
13.1 보험 포트폴리오 소개
앞선 장들에서 우리의 분석은 주로 보험계약자와 보험자 간의 합의를 나타내는 계약 수준에 초점을 맞추었습니다. 보험자는 본질적으로 이러한 개별 계약들의 집합인 포트폴리오(portfolios) 계약들의 모음를 보유하고 관리합니다. 개념적으로, 보험회사는 보험계약의 모음, 즉 포트폴리오에 지나지 않는 것으로 비유할 수 있습니다. 은행업 및 투자와 마찬가지로, 오로지 포트폴리오 수준에서만 내려지는 관리 의사결정이 있습니다. 이 장에서는 세 가지 중요한 계리 업무, 즉 극단적 사건의 영향 정량화, 전반적인 포트폴리오 위험 결정, 그리고 재보험을 통한 보험 포트폴리오 관리를 다룹니다.
보험 포트폴리오(Insurance portfolios) 보험계약들의 모음 또는 집합, 보험자의 채무를 나타내는 이것은 주로 중대한 결과와 관련된 확률 때문에 우리의 관심을 끕니다. 이러한 결과는 흔히 비정상적으로 큰 채무로 이어집니다. 예를 들어, 손해보험에서 큰 채무는 기후 관련 위험의 예기치 못한 결과로부터 자주 발생합니다. 예컨대, 1998년 온타리오주 동부와 퀘벡주 남서부를 휩쓸며 6일간 지속된 어는 비 사태를 생각해 보십시오. 이 재난은 얼음 폭풍 동안 해당 지역의 통상적인 강수량의 두 배에 달하는 강수를 초래하였고 대재해로 이어져 84만 건이 넘는 보험금 청구를 유발하였습니다. 놀랍게도, 이 수치는 북미에서 가장 광범위한 자연재해 중 하나인 허리케인 앤드루 이후 제기된 청구 건수를 넘어섰습니다. 이 대재해로 인해 14억 4천만 캐나다 달러를 넘는 보험금이 지급되었으며, 이는 캐나다 역사상 가장 큰 손실 부담으로 기록되었습니다. 이러한 사건은 고립된 것이 아니며, 허리케인 하비, 초대형 폭풍 샌디, 2011년 일본 지진 및 쓰나미와 같은 유사한 대재해 사건들도 극심한 보험 손실을 야기하였습니다. 보험에서의 극단적 사건을 탐구하면서, 13.2절에서 두꺼운 꼬리 분포의 개념을 소개합니다.
보험회사는 마치 위험이 상품인 것처럼 위험을 사고파는 일에 종사합니다. 10장에서 살펴본 바와 같이, 위험과 관련된 불확실성이 클수록 일반적으로 가격이 높아집니다. 그 장에서는 이러한 위험의 크기를 정량화하기 위해 가격 결정 원리를 소개했습니다. 또한 보험 포트폴리오는 회사의 채무를 나타내며, 시장에서 거래되지는 않지만 신중한 관리가 필요합니다. 이러한 관리의 중요한 측면 중 하나는 채무의 규모를 그에 상응하는 자산의 양과 일치시키는 것입니다. 이어지는 손해 준비금에 관한 14장에서는 이러한 일치를 달성하기 위한 실용적인 방법을 제시합니다. 아울러 보험자는 인수 능력 계획, 정책 수립, 그리고 변동성을 관리하면서 수익 성장을 촉진하는 균형 잡힌 상품 포트폴리오 유지와 같은 목적을 위해 자신의 채무 규모를 평가할 필요가 있습니다. 이러한 업무를 용이하게 하기 위해, 13.3절에서는 보험 포트폴리오의 분포에 내재된 불확실성을 간결하게 포착하는 위험측도를 소개합니다.
개인과 마찬가지로 보험회사도 보험을 구매하여 위험 포트폴리오를 관리합니다. 이 경우에는 보험회사를 대상으로 하는 보험회사인 재보험자(reinsurers) 재보험을 판매하는 회사로부터 위험 보장을 받습니다. 개인이 공제금액과 보험한도 같은 장치를 통해 자신이 보유하는 위험의 양을 조정할 수 있듯이, 보험회사도 비슷한 전략을 사용하여 위험 포트폴리오를 구성합니다. 보험 포트폴리오 위험을 분담하는 이러한 관행은 13.4절에서 자세히 다루며, 그곳에서 재보험의 개념을 깊이 살펴봅니다.
이 세 가지 계리 업무, 즉 극단적 사건의 영향을 정량화하는 일, 전체 포트폴리오 위험을 결정하는 일, 재보험을 통해 보험 포트폴리오를 관리하는 일은 보험 포트폴리오의 분포에 기초합니다. 7장에서는 보험 포트폴리오의 분포를 개별 계약의 합으로 모형화하는 방법을 깊이 살펴보았으며, 그때 총손실에 \(S\)를 사용했습니다. 이제 이 장에서는 포트폴리오 분포를 직접 탐구하므로 전통적인 \(X\) 표기로 돌아갑니다.
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13.2 분포의 꼬리
이 절에서는 다음 방법을 배웁니다.
- 두꺼운 꼬리 분포를 직관적으로 설명합니다.
- 적률을 기준으로 분포 꼬리의 두꺼운 정도를 분류합니다.
- 두 분포의 꼬리를 비교합니다.
기후 위험으로 인한 사건과 같은 극단적 사건의 경우, 포트폴리오에 타격을 주어 손실로 이어지는 소수의 대형 사건이 대개 보험회사가 지급하는 보상금의 대부분을 차지합니다. ’극단값’이라고도 불리는 이러한 손실은 관련 확률분포의 꼬리로 정량적으로 모형화됩니다. 정량적 모형화의 관점에서는 긴 꼬리를 가진 확률모형에 의존하는 것이 부담스러울 수 있습니다. 예를 들어, 금융 스트레스 기간이 예상보다 높은 빈도로 나타날 수 있고, 보험 손실이 더 나쁜 심도로 발생할 수 있습니다. 따라서 계리 모형의 꼬리 부분에서의 확률적 행태를 연구하는 것은 정량적 위험 관리에서 중요합니다. 이러한 이유로 이 절에서는 확률변수의 꼬리 두께를 설명하는 몇 가지 수학적 개념을 소개합니다. 이러한 개념은 꼬리 부분에서 원하는 수학적 성질을 갖춘 적절한 모형을 구축하고 선택하는 데 도움이 될 것입니다.
형식적으로, \(X\)를 보험계약의 집합(포트폴리오)에서 발생하는 확률적 지급의무로 정의합니다. 포트폴리오 수준에서는 대형 손실의 발생을 나타내는 \(X\) 분포의 오른쪽 꼬리를 연구하는 데 특히 관심이 있습니다. 비형식적으로 말하면, 큰 값에 높은 확률이 부여되는 확률변수를 두꺼운 꼬리를 가진다고 합니다. 이는 \(X\)의 값이 무한대로 갈 때 확률밀도함수/확률질량함수가 증가한다는 뜻이 아닙니다. 실제로 실수값 확률변수의 경우, 전체 확률이 1이 되도록 보장하려면 pdf(pdf) 확률밀도함수/pmf(pmf) 확률질량함수는 무한대에서 감소해야 합니다. 오히려 우리가 관심을 두는 것은 pdf/pmf가 감소하는 속도입니다. 더 두꺼운 (오른쪽) 꼬리를 가진 손실 확률변수로 설명되는 보험 포트폴리오일수록 원치 않는 결과가 발생할 가능성이 더 큽니다. 꼬리 두께는 절대적 개념일 수도 있고 상대적 개념일 수도 있습니다. 구체적으로, 전자의 경우 확률분포가 특정한 수학적 성질을 충족하면 확률변수가 두꺼운 꼬리를 가진다고 볼 수 있습니다. 후자의 경우, 어떤 꼬리 측도가 더 크거나 작으면 한 분포의 꼬리가 다른 분포보다 더 두껍다/얇다고 말할 수 있습니다.
꼬리 두께를 분류하고 비교하기 위해 여러 정량적 접근법이 제안되었습니다. 이러한 접근법 대부분에서는 생존함수(survival function) 1에서 분포함수를 뺀 것입니다. 이는 확률변수가 특정 값을 초과할 확률을 나타냅니다.가 기본 구성 요소 역할을 합니다. 이어지는 내용에서는 단순하면서도 유용한 두 가지 꼬리 분류 방법을 소개하며, 두 방법 모두 \(X\)의 생존함수의 행태에 기반합니다.
13.2.1 적률에 기반한 분류
분포의 꼬리 두께를 분류하는 한 가지 방법은 원적률이 유한한지 여부를 판단하는 것입니다. 우리의 주된 관심은 분포의 오른쪽 꼬리에 있으므로, 이후로는 채무 또는 손실 확률변수 \(X\)가 음이 아니라고 가정합니다. 우선, 4.1절에서 소개한 연속형 확률변수 \(X\)의 \(k-\)차 원적률은 \[ \mu_k' = \int_0^{\infty} x^k f(x) ~dx = k \int_0^{\infty} x^{k-1} S(x) ~dx, \\ \] 로 표현할 수 있으며, 여기서 \(S(\cdot)\)는 \(X\)의 생존함수를 나타냅니다. 이 표현은 원적률의 유한성이 무한대에서 생존함수가 보이는 점근적 거동에 달려 있음을 강조합니다. 즉, 생존함수가 0으로 빠르게 감소할수록 해당 확률변수의 적률이 유한할 수 있는 차수(\(k\))가 높아집니다. 이 개념을 포착하기 위해 \(k^{\ast}=\sup\{k > 0:\mu_k'<\infty \}\)를 형식적으로 정의할 수 있으며, 여기서 \(sup\)은 상한(supremum) 연산자를 나타냅니다. \(k^{\ast}\)은 적률이 유한하게 되는 \(k\)의 가장 큰 값으로 해석할 수 있습니다.
이 정의로부터 다음과 같이 정의되는 적률 기반 꼬리 두께 분류 방법을 얻습니다.
정의 13.1. 음이 아닌 손실 확률변수 \(X\)를 생각하십시오.
- 모든 양의 원적률이 존재하는 경우, 즉 유한 적률의 최대 차수가 \(k^{\ast}=\infty\)이면, 적률 방법에 따라 \(X\)는 가벼운 꼬리를 가진다고 합니다.
- \(k^{\ast} < \infty\)이면, 적률 방법에 따라 \(X\)는 두꺼운 꼬리(heavy tailed) 확률변수(rv)는 큰 값에 높은 확률이 부여될 때 꼬리가 두껍다(heavy tailed)고 합니다.를 가진다고 합니다.
- 또한, 적률의 최대 차수가 각각 \(k^{\ast}_1\)과 \(k^{\ast}_2\)인 두 양의 손실 확률변수 \(X_1\)과 \(X_2\)에 대해, \(k^{\ast}_1\leq k^{\ast}_2\)이면 \(X_1\)가 \(X_2\)보다 더 두꺼운 (오른쪽) 꼬리를 가진다고 합니다.
정의 13.1의 첫 번째 부분은 꼬리 두께의 절대적 개념이고, 두 번째 부분은 두 분포의 (오른쪽) 꼬리를 비교하는 꼬리 두께의 상대적 개념입니다. 다음으로, 꼬리 두께를 비교하는 데 적률 기반 방법을 적용하는 예제를 몇 가지 제시합니다.
예제 13.2.1. 감마분포의 가벼운 꼬리 특성. \(\alpha>0\)과 \(\theta>0\)에 대해 \(X\sim gamma(\alpha,\theta)\)라고 하십시오. 모든 \(k>0\)에 대해 \(\mu_k' < \infty\)임을 보이십시오.
예제 풀이 보기
예제 13.2.2. 와이블 분포의 가벼운 꼬리 특성. \(\theta>0\)과 \(\tau>0\)에 대해 \(X\sim Weibull(\theta,\tau)\)라고 하십시오. 모든 \(k>0\)에 대해 \(\mu_k' < \infty\)임을 보이십시오.
예제 풀이 보기
감마분포와 와이블 분포는 계리 실무에서 널리 사용됩니다. 이 두 분포는 보험 청구 심도 모형화, 지급여력 평가, 지급준비금 산정, 총위험 근사, 신뢰성 공학, 고장 분석 등 매우 폭넓은 분야에 응용되며, 그 응용 범위는 여기에 국한되지 않습니다. 지금까지 적률 기반 방법을 사용하여 가벼운 꼬리 분포를 분석하는 두 가지 예제를 살펴보았습니다. 다음에서는 두꺼운 꼬리의 예제를 기술합니다.
예제 13.2.3. 파레토 분포의 두꺼운 꼬리 특성. \(\alpha>0\)과 \(\theta>0\)에 대해 \(X\sim Pareto(\alpha,\theta)\)라고 하십시오. 그러면 \(k>0\)에 대해 \[\begin{eqnarray*} \mu_k^{'} &=& \int_0^{\infty} x^k \frac{\alpha \theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}} dx \\ &=& \alpha \theta^{\alpha} \int_{\theta}^{\infty} (y-\theta)^k {y^{-(\alpha+1)}} dy. \end{eqnarray*}\] 입니다. 기초 미적분학에서 \[\begin{eqnarray*} INT_k= \int_{\theta}^{\infty} {y^{k-\alpha-1}} dy=\left\{ \begin{array}{ll} <\infty, & \text{for } k<\alpha;\\ =\infty, & \text{for } k\geq \alpha. \end{array} \right. \end{eqnarray*}\] 임을 상기하십시오. 또한 다음에 유의하십시오: \[\lim_{y\rightarrow \infty} \frac{(y-\theta)^k {y^{-(\alpha+1)}}}{y^{k-\alpha-1}}=\lim_{y\rightarrow \infty} (1-\theta/y)^{k}=1.\] 이상적분에 대한 극한 비교 정리를 적용하면, \(\mu_k'\)은 \(INT_k\)이 유한할 때에만, 그리고 그때에 한하여 유한합니다. 따라서 파레토 확률변수의 원적률은 \(k<\alpha\)까지만, 즉 \(k^{\ast}=\alpha\)까지만 존재하며, 그러므로 이 분포는 두꺼운 꼬리를 가진다고 결론지을 수 있습니다.
더욱이, 유한 적률의 최대 차수는 형상모수 \(\alpha\)에만 의존하며 \(\alpha\)의 증가함수입니다. 다시 말해, 적률 방법에 따르면 파레토 확률변수의 꼬리 두께는 오직 \(\alpha\)에 의해서만 조절됩니다. \(\alpha\)의 값이 작을수록 꼬리는 더 두꺼워집니다. \(k^{\ast}<\infty\)이므로, 파레토 분포의 꼬리는 감마 분포와 와이블 분포의 꼬리보다 두껍습니다.
구현이 간단하고 해석이 직관적임에도 불구하고, 적률 기반 방법을 적용하기에 적합하지 않은 경우가 있습니다.
- 더 복잡한 확률 모형의 경우 \(k\)차 원적률을 유도하기가 쉽지 않을 수 있으며, 따라서 유한 적률의 최대 차수를 파악하기가 어려울 수 있습니다.
- 더 복잡한 확률 모형의 경우 \(k\)차 원적률을 유도하기가 쉽지 않을 수 있으며, 따라서 유한 적률의 최대 차수를 파악하기가 어려울 수 있습니다.
- 적률 기반 방법은 문헌에서 잘 확립된 두꺼운 꼬리 이론의 주요 체계와 잘 부합하지 않습니다. 구체적으로, 적률생성함수의 존재 여부는 학계 계리 분야에서 두꺼운 꼬리와 얇은 꼬리를 분류하는 가장 널리 쓰이는 방법이라고 할 수 있습니다. 그러나 로그정규 확률변수와 같은 일부 확률변수는 모든 양의 적률이 유한함에도 불구하고 적률생성함수가 존재하지 않습니다. 이러한 경우 적률 기반 방법을 적용하면 꼬리 두께에 대해 다른 평가를 내리게 될 수 있습니다.
- 두 개의 얇은 꼬리 분포(두 분포 모두 모든 양의 적률이 유한한 경우) 사이의 꼬리 두께를 비교해야 할 때에는 적률 기반 방법이 더 이상 유용한 정보를 제공하지 못합니다(예를 들어 예제 13.2.1과 13.2.2를 참고하십시오).
13.2.2 극한 꼬리 행태에 기반한 비교
앞서 언급한 적률 기반 분류 방법의 문제를 해결하기 위해, 꼬리 두께를 비교하는 대안적 접근법은 생존함수의 극한 행태를 직접 살펴보는 것입니다.
정의 13.2. 두 확률변수 \(X\)와 \(Y\)에 대해 \[ \gamma=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{S_X(t)}{S_Y(t)}. \] 이라 하면, 다음과 같이 말합니다.
- \(\gamma=\infty\)이면 \(X\)는 \(Y\)보다 더 두꺼운 오른쪽 꼬리를 가집니다.
- \(\gamma =c \in (0, \infty)\)이면 \(X\)와 \(Y\)는 오른쪽 꼬리에서 비례적으로 동등합니다.
- \(\gamma=0\)이면 \(X\)는 \(Y\)보다 더 얇은 오른쪽 꼬리를 가집니다.
예제 13.2.4. 파레토 분포와 와이블 분포의 비교. \(\alpha>0\), \(\tau>0\), \(\theta>0\)에 대해 \(X\sim Pareto(\alpha, \theta)\), \(Y\sim Weibull(\tau, \theta)\)라 합시다. 파레토 분포가 와이블 분포보다 더 두꺼운 오른쪽 꼬리를 가짐을 보이십시오.
예제 풀이 보기
생존함수가 명시적인 표현을 갖지 않는 일부 분포의 경우, 밀도함수가 존재한다면 다음의 대안적 공식이 유용할 수 있습니다: \[\begin{eqnarray*} \lim_{t\to \infty} \frac{S_X(t)}{S_Y(t)} &=& \lim_{t \to \infty} \frac{S_X^{'}(t)}{S_Y^{'}(t)} \\ &=& \lim_{t \to \infty} \frac{-f_X(t)}{-f_Y(t)}\\ &=& \lim_{t\to \infty} \frac{f_X(t)}{f_Y(t)} , \end{eqnarray*}\] 이는 미적분학의 로피탈 정리를 적용한 것입니다.
예제 13.2.5. 파레토 분포와 감마분포의 비교. \(\alpha>0\) 및 \(\theta>0\)에 대해 \(X\sim Pareto(\alpha, \theta)\), \(Y\sim gamma(\alpha, \theta)\)이라 합시다. 파레토 분포가 감마 분포보다 더 두꺼운 오른쪽 꼬리를 가짐을 보이십시오.
예제 풀이 보기
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13.3 위험측도
이 절에서는 다음을 배웁니다.
- 위험가치(value-at-risk)를 정의하고 주어진 분포에 대해 이 값을 계산합니다.
- 기대부족액(expected shortfall)을 정의하고 주어진 분포에 대해 이 값을 계산합니다.
- 일관성의 개념을 정의하고 위험측도가 일관적인지 여부를 판단합니다.
앞 절에서는 분포 꼬리의 두께를 분류하는 두 가지 방법을 살펴보았습니다. 꼬리가 더 두껍다면, 한 분포와 연관된 위험이 다른 분포의 위험보다 (점근적으로) 더 위험하다고 주장할 수 있습니다. 그러나 한 위험이 다른 위험보다 더 위험하다는 것을 아는 것만으로는 위험 관리 목적에 충분한 정보를 제공하지 못할 수 있으며, 더 나아가 얼마나 더 위험한지를 정량화하는 데에도 관심이 있습니다. 실제로, 주어진 손실 분포와 연관된 위험의 크기는 계리적 가격 결정, 준비금 산정, 헤징, 보험 규제 감독 등 많은 보험 응용에서 필수적인 입력값입니다.
위험측도에 관한 문헌은 그 인기와 중요성이 빠르게 커지고 있습니다. 다음 두 소절에서는 이론가, 실무자, 규제 당국의 관심을 받아 온 두 가지 지표를 소개합니다. 바로 위험가치(\(VaR\))와 기대부족액(\(ES\)) 측도입니다. 이 두 위험측도의 바탕에 깔린 논리는 꼬리 분류 방법의 논리와 비슷합니다. 즉, 극단적 손실의 불확실성을 포착하고자 하는 것입니다.
13.3.1 위험가치
4.4.1.2절에서 분포의 분위수를 정의하였습니다. 이제 그 특수한 경우를 살펴보고 위험가치(value-at-risk) 분위수 함수에 기반한 위험측도, 즉 VaR의 공식적인 정의를 제시합니다.
정의 13.3. 보험 손실 확률변수 \(X\)를 생각해 봅시다. 신뢰수준 \(q\in (0,1)\)에서 \(X\)의 위험가치(value-at-risk) 위험측도는 \[\begin{eqnarray} VaR_q[X]=\inf\{x:F_X(x)\geq q\}. \tag{13.1} \end{eqnarray}\] 로 정식화됩니다. 여기서 \(inf\)은 하한(infimum) 연산자이므로, \(VaR\) 위험측도는 관련된 cdf(cdf) 누적분포함수가 \(q\) 이상이 되는 \(x\)의 가장 작은 값을 출력합니다. 이는 단순히 4.1.2절에서 소개한 분위수(quantile) q번째 분위수는 분포함수의 값이 q와 같아지는 점(들), 즉 누적분포함수의 역함수입니다.입니다.
보험계리 응용의 맥락에서 \(VaR\)를 해석하는 방법은 다음과 같습니다. \(VaR\)는 특정 기간(일반적으로 1년) 동안 보험 상품/포트폴리오 또는 위험 투자에서 전체 경우의 \(q \times 100\%\)에서 발생하는 ‘최대’ 개연 손실을 나타내는 측도입니다. 예를 들어 \(X\)를 어떤 보험 상품의 연간 손실 확률변수라고 하면, \(VaR_{0.95}[X]=100\)백만이라는 것은 주어진 1년 동안 손실이 1억을 초과할 확률이 \(5 \%\) 이하라는 뜻입니다. 이러한 의미 있는 해석 덕분에 \(VaR\)는 1990년대 이후 금융 위험과 보험 위험을 측정하는 업계 표준이 되었습니다. 금융 복합기업, 규제 당국, 학계는 위험자본을 측정하고, 규제 준수를 보장하며, 재무 상태를 공시하기 위해 \(VaR\)를 흔히 활용합니다.
다음으로 \(VaR\)의 계산과 관련된 몇 가지 예제를 제시합니다.
예제 13.3.1. 지수분포의 \(VaR\). \(\theta>0\)에 대해 모수 \(\theta\)를 갖는 지수분포를 따르는 보험 손실 확률변수 \(X\)를 생각해 봅시다. 그러면 \(X\)의 cdf는 \[ F_X(x)=1-e^{-x/\theta}, \text{ for } x>0. \] 로 주어집니다. \(VaR\)에 대한 닫힌 형태의 식을 구하십시오.
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예제 13.3.1에서 보고한 결과는 엄격히 증가하는 cdf를 갖는 임의의 연속형 확률변수로 일반화할 수 있습니다. 구체적으로, 임의의 연속형 확률변수의 \(VaR\)는 단순히 해당 cdf의 역함수입니다. 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 받침을 갖는 연속형 확률변수의 또 다른 예를 고려합시다.
예제 13.3.2. 정규분포의 \(VaR\). \(\sigma>0\)인 보험 손실 확률변수 \(X\sim Normal(\mu,\sigma^2)\)를 생각해 봅시다. 이 경우 \(X\)의 음수 값은 이익 또는 수익으로 해석할 수 있습니다. \(VaR\)에 대한 닫힌 형태의 식을 구하십시오.
예제 풀이 보기
많은 보험 응용 분야에서 우리는 확률변수의 변환을 다루어야 합니다. 예를 들어, 예제 13.3.2에서 손실 확률변수 \(X\sim Normal(\mu, \sigma^2)\)는 표준정규 확률변수 \(Z\sim Normal(0,1)\)의 선형 변환, 즉 \(X=Z\sigma+\mu\)로 볼 수 있습니다. \(\mu=0\), \(\sigma=1\)로 두면 \(VaR_q[Z]=\Phi^{-1}(q).\)임을 쉽게 확인할 수 있습니다. 예제 13.3.2에서 드러나는 유용한 사실은 정규 확률변수의 선형 변환의 \(VaR\)가 원래 확률변수의 \(VaR\)를 선형 변환한 것과 같다는 점입니다. 이 사실은 변환이 순증가하기만 하면 임의의 확률변수로 더 일반화할 수 있습니다.
예제 13.3.3. 변환된 변수의 \(VaR\). 모수 \(\mu \in \mathbf{R}\)와 \(\sigma^2>0\)을 갖는 로그정규분포를 따르는 보험 손실 확률변수 \(Y\)를 생각해 봅시다. 표준정규 역 cdf를 사용하여 \(Y\)의 \(VaR\)에 대한 식을 제시하십시오.
예제 풀이 보기
지금까지 연속형 확률변수에 대한 \(VaR\)의 여러 예를 살펴보았으므로, 이산 확률변수에 대한 \(VaR\)에 관한 예를 고려합시다.
예제 13.3.4. 이산 확률변수의 \(VaR\). 다음과 같은 확률분포를 갖는 보험 손실 확률변수를 생각해 봅시다. \[ {\small \Pr[X=x] = \left\{ \begin{array}{ll} 0.75, & \text{for }x=1 \\ 0.20, & \text{for }x=3 \\ 0.05, & \text{for }x=4. \end{array} \right. } \] \(q = 0.6, 0.9, 0.95, 0.95001\)에서의 \(VaR\)를 구하십시오.
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이제 \(VaR\) 측도에 대한 열린 논의로 현재 소절을 마무리합시다. \(VaR\)를 활용할 때의 장점은 다음과 같습니다.
- 실무적으로 의미 있는 해석을 지닌다는 점,
- 닫힌 형태의 분포함수를 갖는 많은 분포에 대해 계산이 비교적 간단하다는 점.
한편, \(VaR\)의 한계는 일부 위험 관리 실무에서 특히 두드러질 수 있습니다. 여기서 그중 몇 가지를 소개합니다.
- 신뢰수준 \(q\in (0,1)\)의 선택은 매우 주관적인 반면, \(VaR\)는 \(q\)의 선택에 매우 민감할 수 있습니다(예: 예제 13.3.4에서 \(VaR_{0.95}[X]=3\)이고 \(VaR_{0.950001}[X]=4\)입니다);
- \((1-q)\times 100\%\) 최악의 사건을 넘어서는 시나리오/손실 정보는 완전히 무시됩니다;
- 13.3.3절에서 보게 되듯이, \(VaR\)는 일관적 위험측도가 아닙니다.
\(VaR\)는 \((1-q)\times100\%\) 확률의 최대 손실을 나타냅니다. \(VaR\) 측도의 주요 단점 중 하나는 \((1-q)\times100\%\) 확률의 최악 시나리오를 넘어서 발생하는 극단적 손실을 반영하지 못한다는 점입니다. 설명을 위해, 다소 비현실적이지만 시사하는 바가 큰 다음 예제를 살펴봅시다.
예제 13.3.5. 두 손실 확률변수 \(X\sim Uniform [0,100]\)와, 모수 \(\theta=31.71\)인 지수분포를 따르는 \(Y\)를 생각해 봅시다. \(X\)와 \(Y\)의 위험도를 측정하기 위해 \(95\%\) 신뢰수준의 \(VaR\)를 사용합니다. 간단한 계산으로 \[ VaR_{0.95}[X]=VaR_{0.95}[Y]=95, \] 를 얻으며(예제 13.3.1도 참조하십시오), 따라서 \(VaR_{0.95}\)에 따르면 이 두 손실 분포는 같은 수준의 위험을 갖습니다. 그러나 \(X\)는 위로 유계인 반면 \(Y\)는 유계가 아니므로, 극단적 손실이 주요 관심사라면 \(Y\)가 \(X\)보다 더 위험합니다. 특정 신뢰수준의 \(VaR\)만으로 위험을 정량화하는 것은 오해를 불러일으킬 수 있으며 위험의 참된 본질을 반영하지 못할 수 있습니다.
13.3.2 기대부족액
또 다른 흔히 사용되는 위험측도는 기대부족액 \(ES\)입니다. 수학적으로 이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \[\begin{equation} ES_{q}(X) = \frac{1}{1-q} \int_{q}^{1} VaR_{a}(X) d a . \tag{13.2} \end{equation}\] 즉, \(ES\)는 \(\alpha\in [q,1]\) 범위에서 신뢰수준을 변화시킨 \(VaR_{\alpha}[X]\)의 평균입니다. 따라서 이를 평균 위험가치(average value at risk).라고도 합니다. 이러한 점에서, 임의의 \(q \in (0,1)\)에 대해 \[ ES_q[X] \geq VaR_q[X]. \] 임을 알 수 있습니다. \(ES\)는 이전 소절에서 설명한 \(VaR\)의 한계 대부분을 효과적으로 해결합니다. 첫째, 평균화 효과 때문에 \(ES\)는 \(VaR\)에 비해 신뢰수준의 변화에 덜 민감할 수 있습니다. 둘째, 최악의 \((1-q)\times 100\%\) 확률 사건을 넘어서는 모든 극단적 손실이 고려됩니다.
\(ES\)에는 우리에게 유용한 몇 가지 다른 형태가 있습니다. 표기의 편의를 위해 \(\pi_q = VaR_q[X]\)로 쓰면 다음을 얻습니다. \[\begin{equation} ES_{q}(X) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{1-q} \int_{q}^{1} VaR_{a}(X) d a & \text{Expected Shortfall}\\ \pi_q + \frac{1}{1- q} \left\{ \mathrm{E} [X] - \mathrm{E} [X \wedge \pi_q ] \right\} & \text{Tail VaR}\\ \mathrm{E} (X | X > \pi_q ) & \text{Conditional VaR} . \end{array} \right. \tag{13.3} \end{equation}\] 식 (13.3)의 여러 표현은 점 \(\pi_q\)에서 분포함수의 연속성에 관한 몇 가지 추가적인 (약한) 가정하에서 성립합니다. 우리는 포트폴리오에 대한 응용에 관심이 있으므로, 이 장에서는 이러한 가정을 사용하며, 이를 통해 이 측도들을 바라보는 다른 관점을 설명할 수 있습니다. 예를 들어, 세 번째 표현으로부터 \(ES\)는 손실이 \(VaR_{q}\)를 초과한다는 조건하의 기대 금액으로도 해석할 수 있음을 알 수 있습니다.
물론 분석가는 이산분포처럼 연속성 가정이 성립하지 않는 분포를 다룰 수도 있습니다(3장의 예제를 참조하십시오). 이러한 분포에 대해서는 식 (13.3)가 몇 가지 대안적 위험측도, 즉 꼬리 위험가치(Tail value-at-risk)와 조건부 위험가치(Conditional value-at-risk)의 정의를 제공합니다. 이러한 대안적 위험측도에 대해서는 13.6절에 제시된 참고문헌에서 더 자세히 알아볼 수 있습니다.
ES의 전개 보기
식 (13.3)의 세 번째 표현을 사용하면, \(ES\)의 계산은 \(VaR\)와 \(VaR\)를 넘는 손실의 평균이라는 두 가지 주요 단계로 이루어집니다. 이 사실과 변수 변환을 이용하면 \(ES\)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다. \[\begin{eqnarray} ES_{q}[X]=\frac{1}{(1-q)}\int_{\pi_q}^{\infty}xf_X(x)dx. \tag{13.4} \end{eqnarray}\]
예제 13.3.6. 정규분포의 \(ES\). \(\mu\in \mathbf{R}\)이고 \(\sigma>0\)인 보험 손실 확률변수 \(X\sim Normal (\mu,\sigma^2)\)를 고려합시다. \(ES\)의 표현식을 구하십시오.
예제 풀이 보기
앞서 이전 소절에서 확률변수의 순증가함수의 \(VaR\)는 원래 확률변수의 \(VaR\)에 그 함수를 적용한 것과 같다고 언급했습니다. 예제 13.3.6의 결과에서 착안하여, 확률변수의 순증가 선형변환의 \(ES\)는 원래 확률변수의 \(VaR\)에 그 함수를 적용한 것과 같음을 보일 수 있습니다. 이는 기댓값의 선형성 때문입니다. 그러나 앞서 언급한 결과는 비선형 함수로 확장될 수 없습니다. 다음의 로그정규 확률변수 예제가 그 반례가 됩니다.
예제 13.3.7. 로그정규분포의 \(ES\). 모수 \(\mu \in \mathbf{R}\)와 \(\sigma>0\)를 갖는 로그정규분포를 따르는 보험 손실 확률변수 \(X\)를 고려합시다. 다음을 보이십시오. \[ ES_q[X] = \frac{e^{\mu+\sigma^2/2}}{(1-q)} \Phi(\Phi^{-1}(q)-\sigma). \]
예제 풀이 보기
분명히 로그정규 확률변수의 \(ES\)는 정규 확률변수의 \(ES\)의 지수가 아닙니다.
생존분포함수를 다루기가 더 쉬운 분포의 경우에는 (평균이 유한하다고 가정하고) 부분적분 기법을 적용하여 식 (13.4)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. \[\begin{eqnarray*} ES_{q}[X]&=&\left[-x S_X(x)\big |_{\pi_q}^{\infty}+\int_{\pi_q}^{\infty}S_X(x)dx\right]\frac{1}{(1-q)}\\ &=& \pi_q +\frac{1}{(1-q)}\int_{\pi_q}^{\infty}S_X(x)dx. \end{eqnarray*}\]
예제 13.3.8. 지수분포의 \(ES\). \(\theta>0\)에 대해 모수 \(\theta\)을 갖는 지수분포를 따르는 보험 손실 확률변수 \(X\)를 고려하십시오. \(ES\)에 대한 식을 구하십시오.
예제 풀이 보기
표시식 (13.3)의 두 번째 식은 \(ES\)를 제한기댓값으로 표현하는 방법을 보여 줍니다. 널리 사용되는 여러 모수적 분포에 대해서는 \(\mathrm{E}[X]\)와 \(\mathrm{E}[X\wedge\pi_q]\)를 계산하는 공식을 분포표에서 찾을 수 있습니다.
예제 13.3.9. 파레토 분포의 \(ES\). \(\theta>0\)이고 \(\alpha>0\)인 손실 확률변수 \(X\sim Pareto(\theta,\alpha)\)를 고려하십시오. \(X\)의 cdf는 \[ F_X(x)=1-\left(\frac{\theta}{\theta+x} \right)^{\alpha}, \text{ for } x>0 . \] 로 주어집니다. \(q\in (0,1)\)를 고정하고 \(F_X(\pi_q)=q\)로 두면 \[\begin{eqnarray} \pi_q=\theta\left[(1-q)^{-1/\alpha}-1 \right]. \tag{13.6} \end{eqnarray}\] 을 바로 얻습니다. 절 20.2로부터 \(\mathrm{E}[X]=\frac{\theta}{\alpha-1}\)이고 \[ \mathrm{E}[X\wedge \pi_q]= \frac{\theta}{\alpha-1} \left[ 1-\left(\frac{\theta}{\theta+\pi_q}\right)^{\alpha-1} \right]. \] 임을 알고 있습니다. 표시식 (13.3)의 두 번째 식으로부터 \[\begin{eqnarray*} ES_q[X] &=& \pi_q+\frac{\theta}{\alpha-1} \frac{[\theta/(\theta+\pi_q)]^{\alpha-1}} {(\theta/(\theta+\pi_q))^{\alpha}}\\ &=&\pi_q +\frac{\theta}{\alpha-1}\left( \frac{\pi_q+\theta}{\theta} \right)\\ &=& \pi_q+\frac{\pi_q+\theta}{\alpha-1}, \end{eqnarray*}\] 을 얻으며, 여기서 \(\pi_q\)는 (13.6)로 주어집니다.
13.3.3 일관적 위험측도
\(VaR\)와 \(ES\)는 널리 사용되는 위험측도이지만, 분석가는 둘 중 어느 것을 사용해야 하는지 어떻게 알 수 있겠습니까? 대략적으로 말하면, 관심 대상인 손실 확률변수를 위험도의 수준을 나타내는 수치로 대응시키는 함수를 찾고자 하며, 이를 위험측도(risk measure) 분포의 위험도 또는 불확실성을 요약하는 측도라고 합니다. 수학적으로 표현하면, 위험측도는 확률변수의 분포함수를 하나의 수로 요약하는 것에 지나지 않습니다.
\(VaR\)와 \(ES\)는 위험측도이지만, 더 단순한 두 가지 대안인 평균 \(\mathrm{E}[X]\)와 표준편차 \(\mathrm{SD}(X)\) \(=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)도 고려할 수 있습니다. 이 밖에도 고전적인 특수한 경우로 표준편차 원리 \[\begin{equation} H_{\mathrm{SD}}(X)=\mathrm{E}[X]+\alpha \mathrm{SD}(X),\text{ for } \alpha\geq 0, \tag{13.7} \end{equation}\] 와 분산 원리 \[ H_{\mathrm{Var}}(X)=\mathrm{E}[X]+\alpha \mathrm{Var}(X),\text{ for } \alpha\geq 0. \] 가 있습니다. 앞서 언급한 함수들이 모두 손실 확률변수를 입력받아 하나의 수치를 출력하는 위험측도임을 확인할 수 있습니다. 반면에 임의의 실수 \(\alpha,\beta\neq 0\)에 대한 함수 \(H^{\ast}(X)=\alpha X^{\beta}\)는 위험측도가 아닌데, \(H^{\ast}\)가 하나의 수치가 아니라 또 다른 확률변수를 산출하기 때문입니다.
위험측도는 손실 확률변수 분포의 확률적 불확실성을 기술하고자 하는 스칼라 측도이므로, 어떤 위험측도도 해당 확률변수의 모든 위험 정보를 담아낼 수 없다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 따라서 유용한 위험측도를 찾을 때에는 측도가 다음과 같아야 한다는 점을 염두에 두는 것이 중요합니다.
- 실무적으로 해석할 수 있어야 하고,
- 편리하게 계산할 수 있어야 하며,
- 손실 분포의 기저에 있는 위험에 관한 가장 중요한 정보를 반영할 수 있는.
문헌에서는 여러 위험측도가 개발되어 왔습니다. 안타깝게도 다른 모든 측도보다 우수한 최선의 위험측도는 없으며, 적절한 위험측도의 선택은 당면한 응용 문제에 따라 달라집니다. 이러한 점에서 불확실성을 평가하는 접근법은 여러 가지가 있습니다. 그러나 많은 위험 관리 응용에서, 경제적 근거를 갖춘 위험측도는 다음에 설명하는 네 가지 주요 공리를 만족해야 한다는 데 폭넓은 합의가 있습니다.
위험측도 \(H(\cdot)\)를 고려하십시오. 다음 공리들이 만족되면, 이 측도를 두 확률변수 \(X\)과 \(Y\)에 대한 일관적 위험측도(coherent risk measure) 劣가법성(subadditivity), 단조성(monotonicity), 양의 동차성(positive homogeneity), 평행이동 불변성(translation invariance)을 만족하는 위험측도라고 합니다.
- 공리 1. 준가법성: \(H(X+Y)\leq H(X)+H(Y)\).
- 이 공리의 경제적 의미는 서로 다른 위험을 결합하면 분산투자 효과가 존재한다는 것입니다.
- 이 공리의 경제적 의미는 서로 다른 위험을 결합하면 분산투자 효과가 존재한다는 것입니다.
- 공리 2. 단조성: \(\Pr[X\leq Y]=1\)이면 \(H(X)\leq H(Y)\)입니다.
- \(X\)과 \(Y\)이 손실을 나타내는 확률변수임을 상기하면, 그 바탕에 있는 경제적 의미는 손실이 클수록 본질적으로 위험 수준이 높아진다는 것입니다.
- \(X\)과 \(Y\)이 손실을 나타내는 확률변수임을 상기하면, 그 바탕에 있는 경제적 의미는 손실이 클수록 본질적으로 위험 수준이 높아진다는 것입니다.
- 공리 3. 양의 동차성: 임의의 양의 상수 \(c\)에 대하여 \(H(cX)=cH(X)\)입니다.
- 이 공리의 경제적 함의는 위험측도가 위험을 측정하는 화폐 단위와 무관해야 한다는 것입니다. 예를 들어 \(c\)를 미국 달러와 캐나다 달러 사이의 환율이라고 하면, 미국 달러로 측정한 확률적 손실의 위험(즉, \(X\))과 캐나다 달러로 측정한 위험(즉, \(cX\))은 환율 \(c\)만큼만 차이가 나야 합니다(즉, \(cH(x)=H(cX)\)).
- 이 공리의 경제적 함의는 위험측도가 위험을 측정하는 화폐 단위와 무관해야 한다는 것입니다. 예를 들어 \(c\)를 미국 달러와 캐나다 달러 사이의 환율이라고 하면, 미국 달러로 측정한 확률적 손실의 위험(즉, \(X\))과 캐나다 달러로 측정한 위험(즉, \(cX\))은 환율 \(c\)만큼만 차이가 나야 합니다(즉, \(cH(x)=H(cX)\)).
- 공리 4. 이동불변성: 임의의 양의 상수 \(c\)에 대하여 \(H(X+c)=H(X)+c\)입니다.
- 상수 \(c\)를 무위험 현금으로, \(X\)를 보험 포트폴리오로 해석한다면, 포트폴리오에 현금을 더하는 것은 포트폴리오 위험을 현금의 양만큼만 증가시킵니다.
이러한 성질을 검증하는 것은 간단할 수도 있지만 때로는 어려울 수도 있습니다. 예를 들어 평균이 일관적 위험측도임을 확인하는 것은 간단한 일입니다.
특수한 경우. 평균은 일관적 위험측도입니다.
유한한 평균을 갖는 임의의 확률변수 쌍 \(X\)와 \(Y\) 및 상수 \(c>0\)에 대하여,
- 열가법성의 검증: \(\mathrm{E}[X+Y]=\mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[Y]\);
- 단조성의 검증: \(\Pr[X\leq Y]=1\)이면 \(\mathrm{E}[X]\leq \mathrm{E}[Y]\);
- 양의 동차성의 검증: \(\mathrm{E}[cX]=c\mathrm{E}[X]\);
- 이동불변성의 검증: \(\mathrm{E}[X+c]=\mathrm{E}[X]+c\)
조금 더 노력하면 다음을 확인할 수 있습니다.
특수한 경우. 표준편차는 일관적 위험측도가 아닙니다.
특수한 경우의 검증 보기
지금까지 \(\mathrm{E}[\cdot]\)는 일관적 위험측도이고 \(\mathrm{SD}(\cdot)\)는 그렇지 않음을 확인했습니다. 연습문제 13.1에서는 일관적 위험측도와 비일관적 위험측도의 선형결합인 표준편차 원리 (13.7)의 일관성을 살펴봅니다.
\(VaR\)는 일관적 위험측도가 아닌 것으로 밝혀집니다. 구체적으로 \(VaR\) 측도는 열가법성 공리를 만족하지 않으며, 이는 분산 효과가 충분히 반영되지 않을 수 있음을 의미합니다.
반면 \(ES\)는 일관적 위험측도이므로 보험 포트폴리오의 분산 효과를 보다 정확하게 포착할 수 있습니다. 여기서는 기술적으로 어렵다고 여겨지는 \(ES\)의 일관성에 대한 증명은 다루지 않습니다.
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13.4 재보험
이 절에서는 다음을 학습합니다:
- 비례적, 비례분할, 비비례적, 스톱로스, 초과손해액, 초과액분할을 포함한 기본적인 재보험 특약을 정의합니다.
- 재보험자에게 비례분할이 갖는 최적성을 해석하고 최적 비례분할 계약을 계산합니다.
- 보험자에게 스톱로스가 갖는 최적성을 해석합니다.
- 최적 초과손해액 보유한도를 해석하고 계산합니다.
5.1.4절에서 재보험(reinsurance) 보험자가 구입하는 보험은 단순히 보험자가 구매하는 보험이라는 점을 설명했습니다. 보험자가 아닌 주체가 구매하는 보험은 재보험과 구별하기 위해 원보험(primary insurance) 보험자가 아닌 자가 구매하는 보험이라고 부르기도 합니다. 재보험은 자동차보험이나 주택소유자보험처럼 개인이 구매하는 개인보험과 계약의 유연성 면에서 다릅니다. 대기업이 구매하는 보험과 마찬가지로, 재보험 프로그램은 일반적으로 구매자에게 더 세밀하게 맞춤화됩니다. 이와 대조적으로, 개인보험에서 구매자는 선택할 수 있는 다양한 옵션(계약)이 있더라도 일반적으로 계약 조건을 협상할 수 없습니다.
크게 두 가지 유형으로 비례 재보험과 비비례 재보험이 있습니다. 비례재보험(proportional reinsurance) 재보험자와 출재회사(재보험 가입자라고도 합니다) 사이의 계약으로, 재보험자가 손실과 보험료의 일정 비율을 인수하는 계약 계약은 재보험자와 출재회사(ceding company) 재보험을 구매하는 회사(재보험 가입자(reinsured)라고도 합니다)(재보험에 가입된(reinsured) 재보험을 구매하는 회사(출재회사라고도 합니다)라고도 합니다) 사이의 합의로, 재보험자가 손실과 보험료의 일정 비율을 인수하는 계약입니다. 재보험 계약은 특약(treaty) 지정된 계약군 또는 익스포저에 적용되는 재보험 계약라고도 합니다. 비비례 계약은 단순히 그 밖의 모든 계약을 말합니다. 비비례 계약의 예로서, 이 장에서는 스톱로스 계약과 초과손해액 계약을 중점적으로 다룹니다. 모든 유형의 계약에 대해, 총위험 \(X\)를 재보험자가 인수하는 부분 \(Y_{reinsurer}\)와 보험자가 보유하는 부분 \(Y_{insurer}\)로 나눕니다. 즉, \(X= Y_{insurer}+Y_{reinsurer}\)입니다.
기본적인 재보험 특약의 수학적 구조는 5장에서 소개한 개인보험의 보장 수정과 같습니다. 비례 재보험의 경우, 변환 \(Y_{insurer} = c X\)는 개인보험의 공동보험 조정과 동일합니다. 스톱로스 재보험의 경우, 변환 \(Y_{reinsurer} = \max(0,X-M)\)는 공제액 \(M\)가 있을 때 보험자가 지급하는 금액과 같고, \(Y_{insurer} = \min(X,M) = X \wedge M\)는 공제액 \(M\)가 있을 때 보험계약자가 부담하는 금액과 같습니다. 수학을 실무에 적용할 때, 개인보험에서는 일반적으로 기댓값에 초점을 맞추는데, 이는 기댓값이 가격 책정에 사용되는 핵심 요소이기 때문입니다. 이와 대조적으로, 재보험에서는 위험의 분포 전체에 초점을 맞추는데, 이는 극단적 사건이 보험자와 재보험자의 재무 건전성에 관한 주된 관심사이기 때문입니다.
이 절에서는 재보험 특약 중 가장 기초적이고 기본적인 것을 설명합니다. 비례 재보험은 13.4.1절에서, 비비례 재보험은 13.4.2절에서 다룹니다. 13.4.3절에서는 더 복잡한 계약을 간략히 소개합니다.
13.4.1 비례 재보험
비례 특약의 가장 간단한 예를 비례분할(quota share) 재보험자가 재보험 대상 계약군에 대한 보험료의 일정 비율을 받고, 배분된 손해 사정 비용을 포함한 손실의 일정 비율을 지급하는 비례 특약입니다. 재보험자는 발생한 언더라이팅 비용의 차이를 반영하기 위해 설계된 출재 수수료를 출재 회사에 지급하기도 합니다.라고 합니다.
- 비례분할 특약에서 재보험자는 재보험에 가입된 보험 계약군에 대한 보험료의 일정 비율, 예컨대 50%를 받습니다.
- 그 대가로, 재보험자는 배분된 손해 사정 비용을 포함하여 손실의 50%를 지급합니다.
- 재보험자는 또한 출재회사에 출재수수료를 지급하는데, 이는 발생한 언더라이팅 비용의 차이를 반영하도록 설계됩니다.
원보험자와 재보험자가 지급하는 금액은 \[ Y_{insurer} = c X \ \ \text{and} \ \ \ Y_{reinsurer} = (1-c) X, \] 로 요약되며, 여기서 \(c\in (0,1)\)는 보험자가 보유하는 비율을 나타냅니다. \(Y_{insurer}+Y_{reinsurer}=X\)임에 유의하십시오.
예제 13.4.1. 비례분할에서의 손실 분포. 비례분할 계약이 손실 분포에 미치는 효과를 직관적으로 이해할 수 있도록, 다음은 시뮬레이션을 이용한 간단한 R 시연입니다. 함께 제시된 그림은 총손실, (보험자의) 보유 부분, 재보험자 부분의 분포의 상대적 형태를 보여줍니다.
R 코드 보기
비례분할은 재보험자에게 바람직합니다
비례분할 계약은 재보험자에게 특히 바람직합니다. 이를 확인하기 위해, 보험자와 재보험자가 어떤 일반 함수 \(g(\cdot)\)(보유 함수라고 함)에 대하여 \[ Y_{insurer}=g(X) \ \ \ \text{and} \ \ \ \ Y_{reinsurer}=X-g(X), \] 이 되도록 총손실 \(X\)을 분담하는 계약을 체결하려 한다고 가정합시다. 보험자가 손실보다 많이 보유하지 않도록, \(g(x) \le x\)을 만족하는 함수만 고려합니다. 더 나아가 보험자는 보유 청구의 변동성에만 관심이 있으며, \(\mathrm{Var}(Y_{insurer})\)가 동일하게 유지되어 예컨대 \(Q\)와 같기만 하면 \(g\)의 선택에는 무관심하다고 가정합시다. 그러면 다음 결과는 비례분할 재보험 특약이 \(\mathrm{Var}(Y_{reinsurer})\)로 측정되는 재보험자의 불확실성을 최소화함을 보여 줍니다.
명제. \(\mathrm{Var}(Y_{insurer})=Q\)이라 하고 \(Q \le \mathrm{Var}(X)\)이라고 가정합시다. 그러면 모든 \(g(\cdot)\)에 대하여 \(\mathrm{Var} [(1-c)X] \le \mathrm{Var}(Y_{reinsurer})\)입니다.
명제의 증명 보기
이 명제는 직관적으로 설득력이 있습니다. 비례분할 보험에서는 보험자와 재보험자가 분포의 꼬리에 있는 매우 큰 청구에 대한 책임을 분담합니다. 이는 재보험자가 매우 큰 청구에 대한 책임을 지는 비비례 계약과 대조됩니다.
보험자를 위한 비례분할 계약의 최적화
이제 포트폴리오에 \(n\)개의 위험 \(X_1, \ldots, X_n,\)이 있어 포트폴리오 합계가 \(X= X_1 + \cdots + X_n\)이라고 가정합시다. 단순화를 위해 독립적인 위험의 경우에 초점을 맞춥니다(종속성으로의 확장은 16장의 주제입니다). 각 위험 \(X_i\)는 응용에 따라 개별 보험증권, 청구 또는 하위 포트폴리오의 위험을 나타낼 수 있습니다. 후자의 예로, 보험자는 자신의 포트폴리오를 (1) 개인용 자동차, (2) 업무용 자동차, (3) 주택종합, (4) 산재보상 등과 같은 보험종목으로 구성된 하위 포트폴리오로 세분할 수 있습니다.
일반적으로, 보험자가 보유하는 양이 위험마다 달라질 수 있는, 예컨대 \(c_i\)인 기본 비례분할 계약의 변형을 고려합시다. 따라서 포트폴리오 위험 중 보험자의 몫은 \(Y_{insurer} = \sum_{i=1}^n c_i X_i\)입니다. 비율 \(c_i\)의 최선의 선택은 무엇입니까?
이 질문을 정식화하기 위해, 제약조건 \(\mathrm{E} (Y_{insurer}) = K.\) 하에서 \(\mathrm{Var} (Y_{insurer})\)을 최소화하는 \(c_i\)의 값을 찾고자 합니다. \(\mathrm{E} (Y_{insurer}) = K\)이라는 요건은 보험자가 최소한 상수 \(K\)만큼의 수입을 보유하고자 함을 시사합니다. 이 수입 제약조건 하에서 보험자는 분산으로 측정되는 보유 위험의 불확실성을 최소화하고자 합니다.
최적 보유 비율 보기
수학적으로 전개하면, \(i\)번째 위험에 대한 상수 \(c_i\)는 \(\frac{\mathrm{E}(X_i)}{\mathrm{Var} (X_i)}\)에 비례함을 알 수 있습니다. 이는 직관적으로도 납득할 만합니다. 다른 조건이 같다면, \(\mathrm{E} (X_i)\)로 측정한 수익이 높을수록 \(c_i\)의 값도 커집니다. 마찬가지로, \(\mathrm{Var}(X_i)\)로 측정한 불확실성이 클수록 \(c_i\)의 값은 작아집니다. 비례 척도 인자는 요구 수익 \(\mathrm{E}(Y_{insurer}) = K\)에 의해 결정됩니다. 다음 예제는 이 관계를 감각적으로 이해하는 데 도움이 됩니다.
예제 13.4.2. 세 개의 파레토 위험. 파레토 분포를 따르되 각각 서로 다른 모수 집합을 갖는 세 위험을 생각해 봅시다(따라서 이들은 독립이지만 동일하지는 않습니다). 구체적으로 다음 모수를 사용하십시오:
- 첫 번째 위험 \(X_1\)에 대해 \(\alpha_1 =3\), \(\theta_1=1000\),
- 두 번째 위험 \(X_2\)에 대해 \(\alpha_2 =3\), \(\theta_2=2000\), 그리고
- 세 번째 위험 \(X_3\)에 대해 \(\alpha_3 =4\), \(\theta_3=3000\).
요구 수익 \(K\)에 대한 \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\)의 값을 보여 주는 그래프를 작성하십시오. 이 값들은 \(K\)에 따라 선형적으로 증가한다는 점에 유의하십시오.
세 개의 파레토 위험 예제 보기
13.4.2 비비례 재보험
스톱로스 보험의 최적성
스톱로스(stop-loss) 스톱로스 방식에서 보험자는 보유 한도를 정하고 그 한도 미만의 총청구액을 전액 지급하며, 초과분은 재보험자가 지급합니다. 약정하에서 보험자는 보유 수준 \(M (>0)\)을 설정하고, \(X \le M\)인 총청구액은 전액 지급합니다. 또한 \(X > M\)인 청구액에 대해서는 원보험자가 \(M\)를 지급하고 재보험자가 나머지 금액 \(X-M\)을 지급합니다. 즉, 보험자는 위험 중 \(M\)만큼을 보유하고 재보험자가 초과분을 지급합니다. 이를 수학적으로 요약하면, 원보험자와 재보험자가 지급하는 금액은 각각 \[ Y_{insurer} = \begin{cases} X & \text{for } X \le M\\ M & \text{for } X >M \\ \end{cases} \ \ \ \ = \min(X,M) = X \wedge M \] 와 \[ Y_{reinsurer} = \begin{cases} 0 & \text{for } X \le M\\ X- M & \text{for } X >M \\ \end{cases} \ \ \ \ = \max(0,X-M) . \] 입니다. 앞에서와 마찬가지로 \(Y_{insurer}+Y_{reinsurer}=X\)임에 유의하십시오.
스톱로스 유형의 계약은 보험자에게 특히 바람직합니다. 앞에서와 마찬가지로, 보험자와 재보험자가 어떤 일반적인 보유함수(retention function) 보험자의 포트폴리오 손실을 보험자가 보유하는 손실액으로 대응시키는 함수 \(g(\cdot)\)에 대해 \(Y_{insurer}=g(X)\)와 \(Y_{reinsurer}=X-g(X)\)이 되도록 계약을 체결하고자 한다고 가정합시다. 나아가 보험자는 보유 청구액의 변동성에만 관심이 있으며, \(\mathrm{Var}(Y_{insurer})\)을 최소화할 수 있는 한 \(g\)의 선택에는 무관심하다고 가정합시다. 다시 \(\mathrm{E}(Y_{insurer}) = K\)이라는 제약을 부과합니다. 즉, 보험자는 수익 \(K\)를 보유해야 합니다. 이 수익 제약하에서 보험자는 (분산으로 측정한) 보유 위험의 불확실성을 최소화하고자 합니다. 그러면 다음 결과는 스톱로스 재보험 특약이 보험자의 불확실성을 최소화함을 보여 줍니다.
명제. \(\mathrm{E}(Y_{insurer})=K\)라고 가정하고 \(\mathrm{E}(X \wedge M)=K\)이 되도록 \(M\)을 선택합니다. 그러면 \(\mathrm{E}[g(X)]= K\)인 모든 \(g(.)\)에 대해 \(\mathrm{Var} (X \wedge M) \le \mathrm{Var}[g(X)]\)이 성립합니다.
명제의 증명 보기
이 명제는 직관적으로 납득할 만합니다. 스톱로스 보험에서는 분포의 꼬리에 있는 매우 큰 청구에 대한 책임을 보험자가 아니라 재보험자가 지기 때문입니다.
초과손해액
비비례 재보험과 밀접하게 관련된 형태로 초과손해액(excess of loss) 초과손해액 방식에서 보험자는 각 청구에 대한 보유 한도를 정하고 그 한도 미만의 청구액을 지급하며, 초과분은 재보험자가 지급합니다. 보장이 있습니다. 이 계약에서는 총위험 \(X\)이 \(n\)개의 개별 위험 \(X_1, \ldots, X_n\)으로 구성된다고 볼 수 있으며, 이들 위험 각각에 상한, 예컨대 \(M_i\)이 적용된다고 가정합니다. 따라서 보험자는 \[ Y_{insurer} = \sum_{i=1}^n Y_{i,insurer}, \ \ \ \ \text{where} \ \ \ \ \ Y_{i,insurer} = X_i \wedge M_i. \] 을 보유하고, 재보험자는 초과분 \(Y_{reinsurer}=X - Y_{insurer}\)을 책임집니다. 보유한도는 위험별로 다를 수도 있고 모든 위험에 대해 같을 수도 있습니다. 즉, 모든 \(i\)에 대해 \(M_i =M\)일 수 있습니다.
초과손해액 보유한도의 최적 선택
초과손해액 보유한도 \(M_i\)의 최선의 선택은 무엇입니까? 이 질문을 정식화하기 위해, \(\mathrm{E}(Y_{insurer}) = K.\)라는 제약 조건하에서 \(\mathrm{Var}(Y_{insurer})\)을 최소화하는 \(M_i\)의 값을 찾고자 합니다. 이 수입 제약 조건하에서 보험자는 (분산으로 측정한) 보유 위험의 불확실성을 최소화하고자 합니다.
최적 보유 비율 보기
수식으로부터, 보유한도에서 보험자의 기대 청구액을 뺀 값 \(M_i - \mathrm{E}(X_i \wedge M_i)\)이 모든 위험에 대해 같다는 것을 알 수 있습니다. 이는 직관적으로 납득할 만합니다.
예제 13.4.3. 세 개의 파레토 위험에 대한 초과손해액. 파레토 분포를 따르며 각각 서로 다른 모수 집합을 갖는(따라서 독립이지만 동일하지 않은) 세 위험을 고려하십시오. 예제 13.4.2와 같은 모수 집합을 사용하십시오. 이 예제에 대해 다음을 수행하십시오.
- 최적 보유한도 \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\)에서 얻어지는 보유한도에서 보험자의 기대 청구액을 뺀 값 \(M_i - \mathrm{E}(X_i \wedge M_i)\)이 이론적으로 도출한 바와 같이 모든 위험에 대해 같음을 수치적으로 보이십시오. b. 나아가 총위험의 분포를 보험자가 보유하는 위험 및 재보험자가 보유하는 위험의 분포와 그래프로 비교하십시오.
세 개의 파레토 위험 예제 보기
13.4.3 추가적인 재보험 특약
초과액 비례 특약
또 다른 비례 특약은 잉여액분할(surplus share) 기업 재산보험에서 흔히 쓰이는 비례 재보험 특약입니다. 초과액 특약은 재보험 가입자가 단일 위험에 대한 익스포저를 일정 금액(보유선, retained line)으로 제한할 수 있게 합니다. 재보험자는 보험가액이 보유선을 초과하는 금액에 비례하여 위험의 일부를 인수하며, 이는 일정 한도(보유선의 배수, 즉 라인 수로 표시됨)까지 적용됩니다.로 알려져 있으며, 이러한 유형의 계약은 상업용 재산보험에서 흔히 사용됩니다.
- 초과액 특약을 통해 출재자는 한 위험에 대한 자신의 익스포저를 일정 금액(보유한도(retained line) 초과액(surplus share) 재보험 계약에서 재보험 가입자가 특정 라인에 대해 보유하는 익스포저의 양)으로 제한할 수 있습니다.
- 재보험자는 보험가액이 보유 라인을 초과하는 금액에 비례하여 위험의 일부를 인수하며, 이는 정해진 한도(보유 라인의 배수, 즉 라인 수로 표시됨)까지입니다.
예를 들어, 보유 라인을 100,000으로, 정해진 한도를 4라인(400,000)으로 둡시다. 그러면 \(X\)가 손실일 때, 재보험자의 부담분은 \(\min(400000, (X-100000)_+)\)입니다.
보장의 계층
계약에 추가 당사자를 도입하여 비비례 스톱로스 특약을 확장할 수도 있습니다. 예를 들어, 단순히 보험자와 재보험자, 또는 보험자와 보험계약자가 아니라, 보험계약자, 보험자, 재보험자의 세 당사자 모두가 위험을 분담하는 방법에 합의하는 상황을 생각해 보십시오. 보다 일반적으로, \(k\)명의 당사자를 고려합니다. \(k=3\)이면, 이는 한 보험자와 서로 다른 두 재보험자일 수 있습니다.
예제 13.4.4. 세 당사자에 대한 보장의 계층.
- \(k=3\)명의 당사자가 있다고 가정합니다. 첫 번째 당사자는 청구액 중 처음 100을, 두 번째 당사자는 100부터 3000까지의 청구액을, 세 번째 당사자는 3000을 초과하는 청구액을 부담합니다.
- 금액이 50, 600, 1800, 4000인 네 건의 청구가 있다면, 이는 다음과 같이 당사자들에게 배분됩니다.
| 계층 | 청구 1 청 | 구 2 청구 | 3 청구 | 4 합계 | |
|---|---|---|---|---|---|
| (0, 100] | 50 | 100 | 100 | 100 | 350 (100, 3000] 0 500 1700 2900 5100 (3000, \(\infty\)) 0 0 0 1000 1000 합계 50 600 1800 4000 6450 |
\(k\)개 집단이 있는 일반적인 상황을 다루기 위해, 분할점 \[ 0 = M_0 < M_1 < \cdots < M_{k-1} < M_k = \infty. \] 를 사용하여 양의 실수 직선을 \(k\)개 구간으로 분할합니다. \(j\)번째 구간은 \((M_{j-1}, M_j]\)임에 유의하십시오. 이제 \(Y_j\)를 \(j\)번째 당사자가 분담하는 위험의 금액이라고 합시다. 예를 들어, 손실 \(x\)가 \(M_{j-1} <x \le M_j\)를 만족한다면 다음이 성립합니다. \[ \left(\begin{array}{c} Y_1\\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_j \\Y_{j+1} \\ \vdots \\Y_k \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} M_1-M_0 \\ M_2-M_1 \\ \vdots \\ x-M_{j-1} \\ 0 \\ \vdots \\0 \end{array}\right) \]
보다 간결하게 \[ Y_j = \min(X,M_j) - \min(X,M_{j-1}) . \] 와 같이 쓸 수 있습니다. 식 \(Y_j = \min(X,M_j) - \min(X,M_{j-1})\)로부터, \(j\)번째 당사자가 구간 \((M_{j-1}, M_j].\)의 청구액을 부담함을 알 수 있습니다. 이를 통해 \(X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_k.\)임을 확인할 수 있습니다. 다음 예제에서 강조하듯이, 당사자들이 서로 다를 필요는 없다는 점도 언급해 둡니다.
예제 13.4.5.
- 보험계약자가 청구액 중 처음 100과 100,000을 초과하는 모든 청구액을 부담한다고 가정합니다. 보험자는 100과 100,000 사이의 청구액을 부담합니다.
- 그러면 \(M_1 = 100\), \(M_2 =100000\)을 사용합니다.
- 보험계약자는 \(Y_1 =\min(X,100)\)와 \(Y_3 = X - \min(X,100000) = \max(0, X-100000)\)를 부담합니다.
추가 자료로, 재보험 레이어에 관한 예시는 위스콘신 재산 기금 사이트를 참조하십시오.
포트폴리오 관리 예제
기본 계약에는 이 밖에도 많은 변형이 가능합니다. 한 가지 예시를 더 들기 위해 다음을 살펴보십시오.
예제 13.4.6. 포트폴리오 관리. 귀하는 한 통신 회사의 최고위험관리책임자(CRO)입니다. 귀사는 여러 재산 위험과 배상책임 위험을 보유하고 있습니다. 다음을 고려하겠습니다.
- \(X_1\) - 건물. 평균이 200이고 척도모수가 100인 감마분포로 모형화합니다.
- \(X_2\) - 자동차. 평균이 400이고 척도모수가 200인 감마분포로 모형화합니다.
- \(X_3\) - 이사 및 임원 위험. 평균이 1000이고 척도모수가 1000인 파레토 분포로 모형화합니다.
- \(X_4\) - 사이버 위험. 평균이 1000이고 척도모수가 2000인 파레토 분포로 모형화합니다.
총위험을 \(X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4\)로 나타냅니다. 단순화를 위해 이 위험들이 서로 독립이라고 가정합니다. (뒤의 16.6절에서 더 복잡한 종속성의 경우를 다루겠습니다.)
위험을 관리하기 위해 귀하는 보험 보장을 구하고자 합니다. 귀하는 건물과 자동차의 소액 손실을 각각 \(M_1\)와 \(M_2\)까지 내부적으로 관리하고자 합니다. 그 밖의 모든 위험은 보험으로 보장받고자 합니다. 구체적으로, 보험자의 부담분은 \[ Y_{insurer} = (X_1 - M_1)_+ + (X_2 - M_2)_+ + X_3 + X_4 ,\] 이며, 따라서 귀하의 보유위험은 \(Y_{retained}= X- Y_{insurer} =\) \(\min(X_1,M_1) + \min(X_2,M_2)\)입니다. 공제액 \(M_1=\) 100 및 \(M_2=\) 200를 사용하여 다음에 답하십시오.
- 보유분, (ii) 보험자 인수분, (iii) 전체 총액 각각의 기대 청구액을 구하십시오. b. (i) 보유분, (ii) 보험자 인수분, (iii) 전체 총액 각각의 80, 90, 95, 99 백분위수를 구하십시오. c. (i) 보유분, (ii) 보험자 인수분, (iii) 전체 총액 각각의 밀도를 그려 분포를 비교하십시오.
R 코드로 예제 풀이 보기
13.5 연습문제
이론 연습문제
연습문제 13.1. 이 연습문제에서는 특정한 상황에서만 표준편차 원리 (13.7)가 일관적 위험측도로 간주될 수 있음을 보일 것입니다.
- a. 표준편차 원리에 대해 劣가법성, 양의 동차성, 이동 불변성이 성립함을 보이십시오.
- b. \(0 \leq \alpha \leq 1/\sqrt{3}\)라고 가정하십시오. 이러한 \(\alpha\) 값에 대해 표준편차 원리에 단조성이 성립함을 보이십시오. 따라서 이러한 \(\alpha\) 값에 대해 표준편차 원리는 일관적입니다.
- c. \(\alpha > 1/\sqrt{3}\)에 대해 단조성이 성립하지 않으며, 따라서 표준편차 원리가 일반적으로 일관적이라고 간주될 수 없음을 보이십시오.
연습문제 13.1 풀이 보기
실무 중심 연습문제
연습문제 13.2. 재산 기금. 절 1.3에서 소개한 위스콘신 재산 기금(Wisconsin Property Fund)의 상업용 재산 청구를 생각해 봅시다. 이 연습문제는 주 정부 재산과 그 건물 내용물의 손해에 대한 2010년의 청구 1,377건을 바탕으로 합니다. 이 데이터를 사용하여 모수적 모형을 참조하지 않고 경험분포함수를 추정할 것입니다.
- a. 경험분포함수를 사용하여 여러 신뢰수준에 걸쳐 \(VaR\)을 추정하십시오. 그림 13.1의 왼쪽 패널과 비슷한 그래프를 작성하십시오.
- b. 경험분포함수를 사용하여 여러 신뢰수준에 걸쳐 \(ES\)을 추정하십시오. 그림 13.1의 가운데 패널과 비슷한 그래프를 작성하십시오.
- c. (a)와 (b)에서 구한 두 측도를 비교하여 그림 13.1의 오른쪽 패널과 비슷한 그래프를 작성하십시오. 이 비교는 어떤 신뢰수준에서든 \(ES\) 측도가 \(VaR\)를 크게 웃돈다는 것을 보여 줍니다.
그림 13.1: 재산 기금 VaR 및 ES 그래프. 왼쪽 패널은 여러 신뢰수준에 대한 위험가치 \(VaR\)를 보여 주며, 가운데 패널은 기대부족액(\(ES\))에 대한 비슷한 정보를 제공합니다. 신뢰수준 \(\alpha = 0.80\)은 파란색 점선 수직선으로 표시되어 있습니다. 세로축이 서로 다르다는 점에 유의하십시오. 이 점은 45도 실선이 경험적 값보다 아래에 놓이는 오른쪽 패널의 직접 비교에서 강조됩니다.
연습문제 13.2 풀이
연습문제 13.3. 스톱로스가 있는 위험측도. 절 13.4.2에서 설명한 보유수준 \(M\)의 스톱로스 약정을 생각해 봅시다.
a. 보유 부분에 대한 위험가치가 \[ VaR_{\alpha}[X \wedge M] =\left\{ \begin{array}{cl} F^{-1}_{\alpha} & \text{if } \alpha < F(M) \\ M & \text{if } \alpha \ge F(M) \end{array} \right. , \] 로 표현될 수 있음을 보이십시오. 여기서 \(F^{-1}_{\alpha}=VaR_{\alpha}(X)\)는 확률변수 \(X\)의 분위수입니다.
b. 보유 부분에 대한 기대부족액이 다음과 같이 표현될 수 있음을 보이십시오. \[ {\small ES_{\alpha}[X \wedge M]=\left\{ \begin{array}{cl} F_{\alpha}^{-1}+\frac{1}{1-\alpha} \left\{ \mathrm{E} (X \wedge M)- \mathrm{E} (X \wedge F_{\alpha}^{-1}) \right\} & \text{if } \alpha < F(M) \\ M & \text{if } \alpha \ge F(M)\\ \end{array} \right. . } \]
c. 1,377건의 재산 손해 청구를 사용하여 분포의 경험적 추정치를 살펴본 연습문제 13.2를 이어서 진행합시다. 이제 상한 \(M\)를 부과합니다. 이 예시에서는 신뢰수준 \(\alpha = 0.99\)를 사용합니다. 스톱로스 계약하에서 보유 손실에 대한 위험가치를 상한 \(M\)에 대해 나타낸 그림을 제시하십시오. 이 그림은 그림 13.2의 왼쪽 패널과 비교할 만해야 하며, 여기서 파란색 수직 점선은 \(\widehat{VaR}_{0.99} =\) 236427를 나타냅니다.
d. 스톱로스 계약하에서 보유 손실에 대한 기대부족액을 상한 \(M\)에 대해 나타낸 그림을 제시하십시오. 이 그림은 그림 13.2의 오른쪽 패널과 비교할 만해야 합니다.
그림 13.2에서 두 그림을 나란히 표시해 보면, 이 지점에서 \(ES\)가 \(VaR\)에 비해 더 매끄럽다는 것을 알 수 있습니다.
그림 13.2: 다양한 상한에 대한 재산 기금의 VaR 및 ES 그림. 왼쪽 패널은 여러 상한에 걸친 보유 위험 \(VaR\)를 보여 주며, 오른쪽 패널은 기대부족액(\(ES\))에 대해 비슷한 정보를 제공합니다. 파란색 수직 점선은 \(\widehat{VaR}_{\alpha}\)를 나타냅니다.
연습문제 13.3 풀이
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13.6 추가 자료 및 기여자
이산형 확률변수와 연속형 확률변수 모두에 대한 대안적 위험측도에 관한 보다 포괄적인 논의는 Denuit et al. (2006)와 Hardy (2006)을 참조하십시오. 다만 Denuit et al. (2006)에서의 “기대부족액” 정의는 이 책의 정의와 다르다는 점에 유의하십시오. 이 책에서는 Wang and Zitikis (2022)의 기대부족액 정의를 사용합니다.
Wang and Zitikis (2022)에서 요약한 바와 같이, \(VaR\)와 \(ES\)는 모두 견고한 공리적 기초를 갖추고 있으며 “바젤 III/IV의 은행 규제 체계뿐만 아니라 솔벤시 II와 스위스 지급여력 테스트(Swiss Solvency Test)의 보험 규제 체계에도 등장합니다.” 이 논문은 절 13.3.3에서 소개한 일관성 성질에 더하여 \(ES\)의 사용을 뒷받침하는 경제적 공리를 도입합니다. 따라서 은행과 보험사의 적정 지급여력을 결정하는 데 이들 측도가 유용하다는 점 때문에 절 13.3에서 이 측도들을 중점적으로 다룹니다.
개별 위험의 가격 책정 개념은 장 10에서 소개하였습니다. 포트폴리오 가격 책정에 대한 포괄적인 논의는 Mildenhall and Major (2022)를 참고하십시오.
문헌에는 재보험을 훌륭하게 다룬 자료가 많이 있습니다. 책 한 권 분량의 탁월한 입문서로는 Albrecher, Beirlant, and Teugels (2017)가 있습니다.
이 장의 예제 중 일부는 Clark (1996), Klugman, Panjer, and Willmot (2012), Bahnemann (2015)에서 가져왔습니다. 이 자료들은 추가적인 논의와 예제를 위한 훌륭한 출처가 됩니다.
- 위스콘신 대학교 매디슨의 Edward (Jed) Frees와 Purdue University의 Jianxi Su는 이 장 초판의 주 저자입니다.
- 이 장의 검토자는 Fei Huang, Hirokazu (Iwahiro) Iwasawa, Peng Shi, Ranee Thiagarajah, Ping Wang, Chengguo Weng입니다.
- 위스콘신 대학교 매디슨과 호주 국립대학교의 Edward (Jed) Frees는 이 장 제2판의 저자입니다. 이 장에 대한 의견과 개선 제안은 jfrees@bus.wisc.edu로 이메일을 보내 주십시오.
- 이 장의 검토자로는 Chengguo Weng이 있습니다.