제18장 부록 B: 반복 기댓값

이 부록에서는 반복 기댓값과 관련된 법칙을 소개합니다. 특히 18.1절에서는 조건부 분포와 조건부 기댓값의 개념을 소개합니다. 18.2절에서는 반복 기댓값의 법칙과 전분산 법칙을 소개합니다.

어떤 상황에서는 하나의 결과만을 관측하지만, 그 결과를 두 단계(또는 그 이상)의 과정에서 비롯된 것으로 개념화할 수 있습니다. 이러한 유형의 통계 모형을 2단계 모형 또는 계층 모형이라고 합니다. 계층 모형의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같습니다.

  • 분포의 모수가 확률변수인 모형
  • 혼합분포: 1단계는 하위 모집단의 추출을 나타내고, 2단계는 1단계에서 추출된 하위 모집단에 의해 결정되는 분포를 따르는 확률변수를 나타냅니다.
  • 집합분포: 1단계는 사건 발생 횟수의 추출을 나타내고, 2단계는 사건당 발생한 손실 금액을 나타냅니다.

이러한 상황에서 이 과정은 한 확률변수(1단계 결과)가 주어졌을 때 다른 확률변수(2단계 결과)의 조건부 분포를 발생시킵니다. 이러한 경우 반복 기댓값의 법칙은 확률변수의 무조건부 기댓값이나 분산을 구하는 데 유용하게 쓰일 수 있습니다.

18.1 조건부 분포와 조건부 기댓값

이 절에서는 다음을 배웁니다.

  • 한 확률변수가 주어졌을 때 다른 확률변수의 조건부 분포와 관련된 개념
  • 조건부 분포함수를 바탕으로 조건부 기댓값과 분산을 정의하는 방법

반복 기댓값이란 한 변수가 주어졌을 때 다른 변수의 조건부 분포를 이용하여 그 확률변수의 기댓값과 분산을 계산하는 것에 관한 법칙입니다. 따라서 먼저 조건부 분포와 관련된 개념을 소개하고, 주어진 조건부 분포를 바탕으로 조건부 기댓값과 분산을 계산하는 방법을 소개합니다.

18.1.1 조건부 분포

여기서는 이산형 확률변수와 연속형 확률변수 각각에 대한 조건부 분포의 개념을 소개합니다.

이산형인 경우

\(X\)와 \(Y\)가 모두 이산 확률변수라고 가정합니다. 즉, 두 변수는 유한 개 또는 가산 개의 가능한 값을 양의 확률로 취할 수 있습니다. (\(X\), \(Y\))의 결합 확률(질량)함수는 \[ p(x,y) = \Pr[X=x, Y=y] . \] 로 정의됩니다. \(X\)과 \(Y\)이 독립일 때(\(X\)의 값이 \(Y\)의 값에 의존하지 않을 때), \(p(x)=\Pr[X=x]\)과 \(p(y)=\Pr[Y=y]\)를 각각 \(X\)과 \(Y\)의 주변 확률함수라 하면 \[ p(x,y)=p(x)p(y), \] 가 성립합니다.

결합 확률함수가 주어지면 \(Y\)의 주변 확률함수를 \[ p(y)=\sum_x p(x,y), \] 로 구할 수 있습니다. 여기서 합은 \(x\)의 가능한 모든 값에 대해 취하며, \(X\)의 주변 확률함수도 같은 방식으로 구할 수 있습니다.

\((Y|X)\)의 조건부 확률(질량)함수는 \[ p(y|x) =\Pr[Y=y|X=x]= \frac{p(x,y)}{\Pr[X=x]}, \] 로 정의되며, \((X|Y)\)의 조건부 확률함수도 같은 방식으로 구할 수 있습니다. 특히 위의 조건부 확률은 사건 \(X=x\)가 주어졌을 때 사건 \(Y=y\)의 확률을 나타냅니다. 따라서 실제 응용에서는 \(\Pr[X=x]=0\)인 경우에도 이 함수가 특정한 형태로 주어질 수 있습니다.

연속형인 경우

연속형 확률변수 \(X\)와 \(Y\)에 대해서는 결합 누적분포함수를 바탕으로 결합 확률(밀도)함수를 정의할 수 있습니다. (\(X\), \(Y\))의 결합 누적분포함수는 \[ F(x,y) = \Pr[X\leq x, Y\leq y]. \] 로 정의됩니다. \(X\)와 \(Y\)가 독립일 때 \[ F(x,y)=F(x)F(y), \] 가 성립하며, 여기서 \(F(x)=\Pr[X\leq x]\)와 \(F(y)=\Pr[Y\leq y]\)는 각각 \(X\)와 \(Y\)의 누적분포함수(cdf)입니다. 확률변수 \(X\)의 cdf가 \(x\)에서 연속이면 이 확률변수를 연속 확률변수라고 합니다.

cdf \(F(x)\)이 \(x\)에서 연속일 때, \(f(x)=\partial F(x)/\partial x\)을 \(X\)의 (주변) 확률밀도함수(pdf)로 정의합니다. 마찬가지로, 결합 cdf \(F(x,y)\)이 \(x\)와 \(y\) 모두에 대해 연속이면 \[ f(x,y)=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y} \] 를 (\(X\), \(Y\))의 결합 확률밀도함수로 정의하며, 이 경우 해당 확률변수들을 결합 연속이라고 합니다.

\(X\)와 \(Y\)가 독립일 때 \[ f(x,y)=f(x)f(y). \] 이 성립합니다. 결합 밀도함수가 주어지면 \(Y\)의 주변 밀도함수를 \[ f(y)=\int_x f(x,y)\,dx, \] 로 구할 수 있으며, 여기서 적분은 \(x\)의 가능한 모든 값에 대해 이루어지고, \(X\)의 주변 확률함수도 비슷한 방식으로 구할 수 있습니다.

결합 pdf(pdf) 확률밀도함수와 주변 pdf를 바탕으로 \((Y|X)\)의 조건부 확률밀도함수를 \[ f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f(x)}, \] 로 정의하며, \((X|Y)\)의 조건부 확률함수도 비슷한 방식으로 구할 수 있습니다. 여기서 조건부 밀도함수는 \(X=x\)가 주어졌을 때 \(y\)의 밀도함수입니다. 따라서 \(\Pr[X=x]=0\)인 경우나 \(f(x)\)이 정의되지 않는 경우에도, 실제 응용에서는 이 함수가 특정한 형태로 주어질 수 있습니다.

18.1.2 조건부 기댓값과 조건부 분산

이제 앞의 소절에서 정의한 조건부 분포를 바탕으로 조건부 기댓값과 분산을 정의합니다.

이산형인 경우

이산 확률변수 \(Y\)에 대해, 그 기댓값은 값이 유한할 때 \(\mathrm{E}[Y]=\sum_y y\,p(y)\)으로 정의되고, 그 분산은 값이 유한할 때 \(\mathrm{Var}[Y]=\mathrm{E}\{(Y-\mathrm{E}[Y])^2\}=\sum_y y^2\,p(y)-\{\mathrm{E}[Y]\}^2\)로 정의됩니다.

이산 확률변수 \(Y\)에 대해, 사건 \(X=x\)가 주어졌을 때 확률변수 \(Y\)의 조건부 기댓값은 \[ \mathrm{E}[Y|X=x]=\sum_y y\,p(y|x), \] 으로 정의되며, 여기서 조건부 확률함수 \(p(y|x)\)가 주어지기만 하면 \(X\)가 반드시 이산 변수일 필요는 없습니다.

조건부 기댓값 \(\mathrm{E}[Y|X=x]\)은 고정된 수라는 점에 유의하십시오. 위 식의 우변에서 \(x\)를 \(X\)로 바꾸면, 확률변수 \(X\)가 주어졌을 때 \(Y\)의 기댓값을 \[ \mathrm{E}[Y|X]=\sum_y y\,p(y|X), \] 로 정의할 수 있는데, 이는 여전히 확률변수이며 그 무작위성은 \(X\)에서 비롯됩니다.

비슷한 방식으로, 사건 \(X=x\)가 주어졌을 때 확률변수 \(Y\)의 조건부 분산을 \[ \mathrm{Var}[Y|X=x]=\mathrm{E}[Y^2|X=x]-\{\mathrm{E}[Y|X=x]\}^2=\sum_y y^2\,p(y|x)-\{\mathrm{E}[Y|X=x]\}^2. \] 로 정의할 수 있습니다. \(X\)가 주어졌을 때 \(Y\)의 분산 \(\mathrm{Var}[Y|X]\)은 위 식에서 \(x\)를 \(X\)로 바꾸어 정의할 수 있으며, \(\mathrm{Var}[Y|X]\)은 여전히 확률변수이고 그 무작위성은 \(X\)에서 비롯됩니다.

연속형인 경우

연속형 확률변수 \(Y\)에 대해, 적분이 존재하면 그 기댓값은 \(\mathrm{E}[Y]=\int_y y\,f(y)dy\)로 정의되고, 값이 유한하면 그 분산은 \(\mathrm{Var}[Y]=\mathrm{E}\{(X-\mathrm{E}[Y])^2\}=\int_y y^2\,f(y)dy-\{\mathrm{E}[Y]\}^2\)로 정의됩니다.

결합 연속형 확률변수 \(X\)와 \(Y\)에 대해, \(X=x\)가 주어졌을 때 확률변수 \(Y\)의 조건부 기댓값은 \[ \mathrm{E}[Y|X=x]=\int_y y\,f(y|x)dy. \] 로 정의됩니다. 여기서 조건부 확률함수 \(f(y|x)\)가 주어지기만 하면 \(X\)는 연속형 변수일 필요가 없습니다.

마찬가지로, 조건부 기댓값 \(\mathrm{E}[Y|X=x]\)은 고정된 수입니다. 위 식의 우변에서 \(x\)를 \(X\)로 바꾸면, 확률변수 \(X\)가 주어졌을 때 \(Y\)의 기댓값을 \[ \mathrm{E}[Y|X]=\int_y y\,p(y|X)\,dy, \] 로 정의할 수 있는데, 이는 여전히 확률변수이며 그 무작위성은 \(X\)에서 비롯됩니다.

비슷한 방식으로, 사건 \(X=x\)가 주어졌을 때 확률변수 \(Y\)의 조건부 분산을 \[ \mathrm{Var}[Y|X=x]=\mathrm{E}[Y^2|X=x]-\{\mathrm{E}[Y|X=x]\}^2=\int_y y^2\,f(y|x)\,dy-\{\mathrm{E}[Y|X=x]\}^2. \] 로 정의할 수 있습니다. 그러면 \(X\)가 주어졌을 때 \(Y\)의 분산 \(\mathrm{Var}[Y|X]\)은 위 식에서 \(x\)를 \(X\)로 바꾸어 정의할 수 있으며, 마찬가지로 \(\mathrm{Var}[Y|X]\)도 확률변수이고 그 무작위성은 \(X\)에서 비롯됩니다.

18.2 반복 기댓값과 전체 분산

이 절에서는 다음을 배웁니다.

  • 다른 확률변수가 주어졌을 때의 조건부 분포를 바탕으로 확률변수의 기댓값을 계산하는 반복 기댓값의 법칙
  • 다른 확률변수가 주어졌을 때의 조건부 분포를 바탕으로 확률변수의 분산을 계산하는 전체 분산의 법칙
  • 2단계 모형의 예를 바탕으로 기댓값과 분산을 계산하는 방법

18.2.1 반복 기댓값의 법칙

두 확률변수 \(X\)와 \(Y\), 그리고 함수 \(h\), \(X\) 및 \(Y\)에 의존하는 확률변수 \(h(X,Y)\)를 생각해 봅시다.

모든 기댓값이 존재하고 유한하다고 가정하면, 반복 기댓값의 법칙에 따르면 \[\begin{equation} \mathrm{E}[h(X,Y)]= \mathrm{E} \left\{ \mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X \right] \right \}, \tag{18.1} \end{equation}\] 이 성립하며, 여기서 첫 번째(안쪽) 기댓값은 확률변수 \(Y\)에 대해 취하고 두 번째(바깥쪽) 기댓값은 \(X\)에 대해 취합니다.

반복 기댓값의 법칙에서 확률변수는 이산형, 연속형, 또는 이 둘을 혼합한 형태일 수 있습니다. 반복 기댓값의 법칙을 이용한 무조건부 기댓값의 계산을 설명하기 위해 \(X\)와 \(Y\)가 이산 변수인 예를 사용합니다. 연속형 확률변수의 경우에는 부록에서 앞서 설명한 것처럼 합을 적분으로 바꾸기만 하면 됩니다.

\(X\)와 \(Y\)의 조건부 pmf(pmf) 확률질량함수가 \(p(y|x)\)로 주어졌을 때, 사건 \(X=x\)이 주어졌을 때 \(h(X,Y)\)의 조건부 기댓값은 \[ \mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X=x \right] = \sum_y h(x,y) p(y|x), \] 로 정의되며, 확률변수인 \(X\)가 주어졌을 때 \(h(X,Y)\)의 조건부 기댓값은 \[ \mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X \right] = \sum_y h(X,y) p(y|X). \] 로 쓸 수 있습니다. 그러면 \(h(X,Y)\)의 무조건부 기댓값은 확률변수 \(X\)에 대하여 \(\mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X \right]\)의 기댓값을 취함으로써 얻을 수 있습니다. 즉, \(\mathrm{E}[ h(X,Y)]\)을 \[ \begin{aligned} \mathrm{E} \left\{ \mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X \right] \right \} &= \sum_x \left\{\sum_y h(x,y) p(y|x) \right \} p(x) \\ &= \sum_x \sum_y h(x,y) p(y|x)p(x) \\ &= \sum_x \sum_y h(x,y) p(x,y) = \mathrm{E}[h(X,Y)] \end{aligned}. \] 로 구할 수 있습니다. 연속형인 경우와 혼합형인 경우의 반복 기댓값 법칙도 해당하는 합을 적분으로 바꾸어 같은 방식으로 증명할 수 있습니다.

18.2.2 전분산의 법칙

모든 분산이 존재하고 유한하다고 가정하면, 전분산의 법칙은 \[\begin{equation} \mathrm{Var}[h(X,Y)]= \mathrm{E} \left\{ \mathrm{Var} \left[h(X,Y) | X \right] \right \} +\mathrm{Var} \left\{ \mathrm{E} \left[ h(X,Y) | X \right] \right \}, \tag{18.2} \end{equation}\] 이 성립함을 말합니다. 여기서 첫 번째(안쪽) 기댓값/분산은 확률변수 \(Y\)에 대하여 취하고, 두 번째(바깥쪽) 기댓값/분산은 \(X\)에 대하여 취합니다. 따라서 무조건부 분산은 조건부 분산의 기댓값에 조건부 기댓값의 분산을 더한 것과 같습니다.

전분산의 법칙에 대한 검증 보기

18.2.3 응용

반복 기댓값 법칙과 전분산 법칙을 적용할 때는 일반적으로 다음 절차를 따릅니다.

  1. 조건으로 삼는 확률변수를 식별하십시오. 이는 일반적으로 (관측되지 않는) 1단계 결과입니다.
  2. 1단계 결과를 조건으로 하여 평균, 분산 등과 같은 요약 측도를 계산하십시오.
  3. 2단계의 결과는 1단계 결과마다 하나씩, 여러 개가 있습니다. 그런 다음 반복 기댓값 규칙이나 전분산 규칙을 사용하여 이 결과들을 결합하십시오.

유한 모집단의 혼합. 확률변수 \(N_1\)는 우량 운전자 모집단에서 한 보험연도 동안의 청구 건수의 실현값을 나타내고, \(N_2\)는 불량 운전자 모집단에서의 실현값을 나타낸다고 가정합시다. 특정 운전자가 우량 운전자일 확률은 \(\alpha\)입니다. 특정 추출 \(N\)에 대하여 \[ N = \begin{cases} N_1, & \text{if (s)he is a good driver;}\\ N_2, & \text{otherwise}.\\ \end{cases} \] 이 성립합니다. \(T\)를 그 운전자가 우량 운전자인지를 나타내는 지시변수라 하고, \(T=1\)은 운전자가 우량 운전자임을 나타내며 그 확률은 \(\Pr[T=1]=\alpha\)이고, \(T=2\)은 운전자가 불량 운전자임을 나타내며 그 확률은 \(\Pr[T=2]=1-\alpha\)이라 합시다.

식 (18.1)로부터 기대 청구 건수를 다음과 같이 얻을 수 있습니다. \[ \mathrm{E}[N]= \mathrm{E} \left\{ \mathrm{E} \left[ N | T \right] \right \}= \mathrm{E}[N_1] \times \alpha + \mathrm{E}[N_2] \times (1-\alpha).\]

식 (18.2)으로부터 \(N\)의 분산을 \[ \mathrm{Var}[N]= \mathrm{E} \left\{ \mathrm{Var} \left[ N | T \right] \right \} +\mathrm{Var} \left\{ \mathrm{E} \left[ N | T \right] \right \}. \] 로 얻을 수 있습니다. 보다 구체적으로, \(N_j\)가 평균이 \(\lambda_j\)인 포아송 분포를 따른다고 가정합시다(\(j=1,2\)). 그러면 \[ \mathrm{Var}[N|T=j]= \mathrm{E}[N|T=j] = \lambda_j, \quad j = 1,2. \] 이 성립합니다. 따라서 조건부 분산의 기댓값은 \[ \mathrm{E} \left\{ \mathrm{Var} \left[ N | T \right] \right \} = \alpha \lambda_1+ (1-\alpha) \lambda_2 \] 로, 조건부 기댓값의 분산은 \[ \mathrm{Var} \left\{ \mathrm{E} \left[ N | T \right] \right \} = (\lambda_1-\lambda_2)^2 \alpha (1-\alpha). \] 로 유도할 수 있습니다. 후자는 결과값이 \(\lambda_1\)와 \(\lambda_2\)이고 이항 확률이 \(\alpha\)인 베르누이 분포의 분산이라는 점에 주목하십시오.

전분산의 법칙에 따라 \(N\)의 무조건부 분산은 다음과 같이 주어집니다. \[ \mathrm{Var}[N]= \alpha \lambda_1+ (1-\alpha) \lambda_2 + (\lambda_1-\lambda_2)^2 \alpha (1-\alpha). \]

18.3 켤레분포

9.3절에서 설명한 바와 같이, 켤레분포에서는 사후분포와 사전분포가 같은 분포족에 속합니다. 보험 응용에서 이는 대체로 선형 지수족이라고 알려진 “분포족들의 족”에서 나타나며, 먼저 이를 소개합니다.

18.3.1 선형 지수족

정의. 선형 지수족의 분포함수는 \[ f( x; \gamma ,\theta ) = \exp \left( \frac{x\gamma -b(\gamma )}{\theta} +S\left( x,\theta \right) \right). \] 입니다. 여기서 \(x\)는 종속변수이고 \(\gamma\)는 관심 모수입니다. 양 \(\theta\)는 척도모수입니다. 항 \(b(\gamma)\)는 종속변수가 아니라 모수 \(\gamma\)에만 의존합니다. 통계량 \(S\left(x,\theta \right)\)는 모수 \(\gamma\)가 아니라 종속변수와 척도모수의 함수입니다.

종속변수 \(x\)는 이산형, 연속형 또는 이 둘의 혼합형일 수 있습니다. 따라서 \(f\left( \cdot\right)\)는 응용에 따라 밀도함수 또는 질량함수로 해석될 수 있습니다. 표 18.1은 정규분포, 이항분포, 포아송 분포를 포함한 여러 예를 제시합니다.

표 18.1. 선형 지수족의 주요 분포

\[ {\small \begin{matrix} \begin{array}{l|ccccc} \hline & & \text{Density or} & & & \\ \text{Distribution} & \text{Parameters} & \text{Mass Function} & \text{Components} \\ \hline \text{General} & \gamma,~ \theta & \exp \left( \frac{x\gamma -b(\gamma )}{\theta} +S\left( x,\theta \right) \right) & \gamma,~ \theta, b(\gamma), S(x, \theta)\\ \text{Normal} & \mu, \sigma^2 & \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}\right) & \mu, \sigma^2, \frac{\gamma^2}{2}, - \left(\frac{x^2}{2\theta} + \frac{\log(2 \pi \theta)}{2} \right) \\ \text{Binomal} & \pi & {n \choose x} \pi ^x (1-\pi)^{n-x} & \log \left(\frac{\pi}{1-\pi} \right), 1, n \log(1+e^{\gamma} ), \\ & & & \log {n \choose x} \\ \text{Poisson} & \lambda & \frac{\lambda^x}{x!} \exp(-\lambda) & \log \lambda, 1, e^{\gamma}, - \log (x!) \\ \text{Negative } & r,p & \frac{\Gamma(x+r)}{x!\Gamma(r)} p^r ( 1-p)^x & \log(1-p), 1, -r \log(1-e^{\gamma}), \\ ~~~\text{Binomial}^{\ast} & & & ~~~\log \left[ \frac{\Gamma(x+r)}{x! \Gamma(r)} \right] \\ \text{Gamma} & \alpha, \gamma & \frac{1}{\Gamma (\alpha)\gamma ^ \alpha} x^{\alpha -1 }\exp(-x/ \gamma) & - \frac{\gamma}{\alpha }, \frac{1}{\alpha}, - \log ( - \gamma), -\gamma^{-1} \log \gamma \\ & & & - \log \left( \Gamma(\gamma ^{-1}) \right) + (\gamma^{-1} - 1) \log x & & \\ \hline \end{array}\\ ^{\ast} \text{This assumes that the parameter r is fixed but need not be an integer.}\\ \end{matrix} } \]

트위디 분포(??절 참조)와 역가우스 분포도 선형 지수족에 속합니다. 분포족들로 이루어진 선형 지수족은 예를 들어 Frees (2009)에 설명된 바와 같이 일반화선형모형의 기초로 널리 사용됩니다.

18.3.2 켤레 분포

이제 모수 \(\gamma\)가 분포 \(\pi(\gamma, \tau)\)를 따르는 확률변수라고 가정합니다. 여기서 \(\tau\)는 \(\gamma\)의 분포를 기술하는 모수 벡터입니다. 베이즈 모형에서 분포 \(\pi\)는 사전분포라고 하며, \(\gamma\)에 대한 우리의 믿음이나 정보를 반영합니다. 가능도 \(f(x|\gamma)\)는 \(\gamma\)가 주어졌을 때의 조건부 확률입니다. 확률변수 \(\pi(\gamma,\tau| x)\)에 대한 정보가 주어졌을 때 \(\gamma\)의 분포를 사후분포라고 합니다. 주어진 가능도 분포에 대해 사전분포와 사후분포가 같은 모수적 분포족에 속하면, 이를 켤레 분포족이라고 합니다.

선형 지수 가능도에는 자연 켤레 분포족이 존재합니다. 구체적으로, \(f(x|\gamma) = \exp \left\{(x\gamma -b(\gamma))/\theta\right\} \exp \left\{S\left( x,\theta \right) \right\}\) 형태의 가능도를 생각해 봅시다. 이 가능도에 대해 사전분포를 \[ \pi(\gamma,\tau) = C \exp\left\{ \gamma a_1(\tau) - b(\gamma)a_2(\tau))\right\}, \] 로 정의합니다. 여기서 \(C\)는 정규화 상수입니다. 여기서 \(a_1(\tau)=a_1\)와 \(a_2(\tau)=a_2\)는 모수 \(\tau\)의 함수이지만, \(\tau\)에 대한 명시적 의존성을 생략하여 표기를 단순화합니다. \(x\)와 \(\gamma\)의 결합분포는 \(f(x,\gamma) = f(x|\gamma) \pi(\gamma,\tau)\)로 주어집니다. 베이즈 정리를 이용하면 사후분포는 \[ \pi(\gamma,\tau|x) = C_1 \exp\left\{ \gamma \left( a_1+\frac{x}{\theta}\right) - b(\gamma)\left( a_2+\frac{1}{\theta}\right)\right\}, \] 이며, 여기서 \(C_1\)는 정규화 상수입니다. 따라서 \(\pi(\gamma,\tau|x)\)가 \(\pi(\gamma,\tau)\)와 같은 형태임을 알 수 있습니다.

특수한 경우. 감마-포아송 모형. \(b(\gamma) = e^{\gamma}\)이고 척도모수(\(\theta\))가 1인 포아송 가능도를 생각해 봅시다. 따라서 \[ \pi(\gamma,\tau) = C \exp\left\{ \gamma a_1 - a_2 e^{\gamma} \right\}= C ~ \left( e^{\gamma}\right)^{a_1} \exp\left(-a_2e^{\gamma} \right). \] 를 얻습니다. 지수족 분포표로부터 이것이 감마분포임을 알 수 있습니다. 즉, \(\lambda = e^{\gamma}\)의 사전분포는 모수가 \(\alpha_{prior} = a_1+1\)와 \(\theta_{prior}^{-1}=a_2\)인 감마분포입니다. 사후분포는 모수가 \(\alpha_{post} =a_1+x+1=\alpha_{prior}+x\)와 \(\theta_{post}^{-1}=a_2+1 = \theta_{prior}^{-1}+1\)인 감마분포입니다.

특수한 경우. 정규-정규 모형. \(b(\gamma) = \gamma^2/2\)이고 척도모수가 \(\sigma^2\)인 정규 가능도를 생각해 봅시다. 따라서 \[ \pi(\gamma,\tau) = C \exp\left\{ \gamma a_1 - \frac{\gamma^2}{2}a_2\right\}= C_1(\tau)\exp\left\{ - \frac{a_2}{2}\left(\gamma -\frac{a_1}{a_2}\right)^2\right\}, \] 를 얻습니다. \(\gamma\)의 사전분포는 평균이 \(a_1/a_2\)이고 분산이 \(a_2^{-1}\)인 정규분포입니다. \(x\)가 주어졌을 때 \(\gamma\)의 사후분포는 평균이 \((a_1+x/\sigma^2)/(a_2+\sigma^{-2})\)이고 분산이 \((a_2+\sigma^{-2})^{-1}\)인 정규분포입니다.

특수한 경우. 베타-이항 모형. \(b(\gamma) = n \log(1+e^{\gamma})\)이고 척도모수가 1인 이항 가능도를 생각해 봅시다. 따라서 다음을 얻습니다. \[ \pi(\gamma,\tau) = C \exp\left\{ \gamma a_1 - n a_2 \log(1+e^{\gamma}) \right\}= C ~ \left( \frac{e^{\gamma}}{1+e^{\gamma}}\right)^{a_1} \left(1-\frac{e^{\gamma}}{1+e^{\gamma}}\right)^{-na_2+a_1}. \]

이것은 베타분포입니다. 다른 경우와 마찬가지로, 사전 모수 \(a_1\)와 \(a_2\)는 사후 모수 \(a_1+x\)와 \(a_2+1\)로 갱신됩니다.

기여자

  • Northern Illinois University의 Lei (Larry) Hua와 위스콘신 대학교 매디슨의 Edward (Jed) Frees가 이 장 초판의 주 저자입니다. 이 장에 대한 의견이나 개선 제안은 또는 이메일을 보내십시오.
    • 이 장은 Benjamin Côté가 검토하였습니다.