제21장 부록 E: 표기 규칙
장 미리보기. 손해 데이터 분석은 보험계리 문제 및 방법과 널리 받아들여지는 통계적 개념 및 도구를 잇는 다리 역할을 합니다. 따라서 표기법은 확률론과 수리통계학에서 쓰이는 표준 용법과 일관되어야 합니다. 한 가지 표준에 대한 설명은 예를 들어 (Halperin, Hartley, and Hoel 1965)를 참고하십시오.
21.1 일반 규칙
- 확률변수는 이탤릭체 로마자 대문자로 나타내며, \(X\) 또는 \(Y\)는 청구 금액 변수를, \(N\)은 청구 건수 변수를, \(S\)는 총손실 변수를 나타냅니다. 확률변수의 실현값은 이에 대응하는 이탤릭체 로마자 소문자로 나타내며, 청구 금액은 \(x\) 또는 \(y\), 청구 건수는 \(n\), 총손실은 \(s\)로 나타냅니다.
- 확률 사건은 로마자 대문자로 나타냅니다. 예를 들어 사건 ‘’A’’에 속하는 결과가 발생할 확률은 \(\Pr(\mathrm{A})\)로 나타냅니다.
- 누적확률함수는 \(F(z)\)로 나타내고, 확률밀도함수는 이에 대응하는 로마자 소문자로 나타냅니다: \(f(z)\).
- 분포의 모수는 그리스 문자 소문자로 나타냅니다. 캐럿(caret), 즉 ‘’햇(hat)’’은 대응하는 모집단 모수의 표본 추정값을 나타냅니다. 예를 들어 \(\hat{\beta}\)는 \(\beta\)의 추정값입니다.
- 수의 집합, 예컨대 \(x_1, \ldots, x_n\)의 산술평균은 보통 \(\bar{x}\)로 나타냅니다. 물론 \(x\)를 사용할지는 선택 사항입니다.
- 벡터가 아닌 행렬은 굵은 로마자 대문자로 나타내십시오. (열) 벡터는 굵은 로마자 소문자로 나타내십시오. 전치는 위첨자 프라임 ’‘\(\prime\)’’으로 나타내십시오. 예를 들어 \(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\)는 이차형식입니다.
- 독자층이 국제적이라는 점을 고려하여 약어는 가급적 적게 사용해야 합니다. 통계 용어에서 흔히 쓰이는 약어는 도입하되, 도입하는 약어의 수는 제한하십시오. 예를 들어 확률밀도함수를 뜻하는 pdf는 유용하지만, 지니 통계량을 뜻하는 GS는 그렇지 않습니다.
21.2 약어
다음은 이 책에서 채택하는 약어 목록입니다. 이러한 약어는 이탤릭체로 표기합니다. 예를 들어 AIC 기준을 이용하여 적합도를 논의할 수 있습니다.
\[ \begin{array}{ll} \hline AIC & \text{Akaike information criterion} \\ BIC & \text{(Schwarz) Bayesian information criterion} \\ cdf & \text{cumulative distribution function} \\ df & \text{degrees of freedom} \\ iid & \text{independent and identically distributed} \\ GLM & \text{generalized linear model} \\ mle & \text{maximum likelihood estimate/estimator}\\ ols & \text{ordinary least squares} \\ pdf & \text{probability density function} \\ pmf & \text{probability mass function} \\ \hline \end{array} \]
21.3 자주 쓰이는 통계 기호와 연산자
다음은 자주 쓰이는 통계 기호와 연산자 목록이며, 이를 생성하는 데 사용하는 latex 코드를 괄호 안에 함께 실었습니다.
\[ \begin{array}{cl} \hline I(\cdot) & \text{binary indicator function (}I\text{). For example, }I(A) \text{ is one} \\ & \ \ \ \ \ A \text{ if an outcome in event occurs and is 0 otherwise.} \\ \Pr(\cdot) & \text{probability }(\backslash{\tt{Pr}}) \\ \mathrm{E}(\cdot) & {\text{expectation operator }} (\backslash{\tt{mathrm\{E\}}}). {\text{ For example, }} \mathrm{E}(X)=\mathrm{E}~X {\text{ is the }} \\ & \ \ \ \ \ {\text{expected value of the random variable }}X,{\text{ commonly denoted by }}\mu. \\ \mathrm{Var}(\cdot) & \text{variance operator }(\backslash{\tt{mathrm\{Var\}}}). \text{ For example, } \mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}~X\text{ is the} \\ & \ \ \ \ \ \text{ variance of the random variable } X, \text{commonly denoted by } \sigma^2. \\ \mu_k = \mathrm{E}~X^k & \text{kth moment of the random variable X. For }k\text{=1, use }\mu = \mu_1. \\ \mathrm{Cov}(\cdot,\cdot) & \text{covariance operator } (\backslash{\tt{mathrm\{Cov\}}}).\text{ For example, } \\ & \ \ \ \ \ \mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}\left\{(X -\mathrm{E}~X)(Y-\mathrm{E}~Y)\right\} =\mathrm{E}(XY) -(\mathrm{E}~X)(\mathrm{E}~Y)\\ & \ \ \ \ \ \text{ is the covariance between random variables }X\text{ and }Y. \\ \mathrm{E}(X | \cdot) & \text{conditional expectation operator. For example, }\mathrm{E}(X |Y=y) \text{ is the}\\ & \ \ \ \ \ \text{ conditional expected value of a random variable }X\text{ given that }\\ & \ \ \ \ \ \text{ the random variable }Y\text{ equals y. }\\ \Phi(\cdot) & \text{standard normal cumulative distribution function }(\backslash{\tt{Phi}})\\ \phi(\cdot) & \text{standard normal probability density function }(\backslash{\tt{phi}})\\ \sim & \text{means is distributed as }(\backslash{\tt{sim}}). \text{ For example, }X\sim F \text{ means that the } \\ & \ \ \ \ \ \text{random variable } X \text{ has distribution function }F. \\ se(\hat{\beta}) & \text{standard error of the parameter estimate }\hat{\beta} ~ (\backslash{\tt{hat\{}}\backslash{\tt{beta\}}}), \text{ usually }\\ & \ \ \ \ \ \text{ an estimate of the standard deviation of }\hat{\beta},\text{ which is }\sqrt{Var(\hat{\beta})}. \\ H_0 & \text{null hypothesis} \\ H_a \text{ or }H_1 & \text{alternative hypothesis} \\ \hline \end{array} \]
21.4 자주 쓰이는 수학 기호와 함수
다음은 자주 쓰이는 수학 기호와 함수 목록이며, 이를 생성하는 데 사용하는 latex 코드를 괄호 안에 함께 실었습니다.
\[ \begin{array}{cl} \hline \equiv & \text{identity, equivalence }(\backslash\tt{equiv}) \\ \implies & \text{implies }(\backslash\tt{implies})\\ \iff & \text{if and only if }(\backslash\tt{iff})\\ \to, \longrightarrow & \text{converges to }(\backslash\tt{to}, \backslash\tt{longrightarrow}) \\ \mathbb{N} & \text{natural numbers }1,2,\ldots ( \backslash\tt{mathbb\{N\}}) \\ \mathbb{R} & \text{real numbers }(\backslash\tt{mathbb\{R\}})\\ \in & \text{belongs to }(\backslash\tt{in}) \\ \notin & \text{does not belong to }(\backslash\tt{notin}) \\ \subseteq & \text{is a subset of }(\backslash\tt{subseteq}) \\ \subset & \text{is a proper subset of }(\backslash\tt{subset}) \\ \cup & \text{union }(\backslash\tt{cup}) \\ \cap & \text{intersection }(\backslash\tt{cap}) \\ \emptyset & \text{empty set }(\backslash\tt{emptyset}) \\ A^{c} & \text{complement of }A \\ g*f & \text{convolution }(g*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(y)f(x-y)dy \\ \exp & \text{exponential }(\backslash\tt{exp}) \\ \log & \text{natural logarithm }(\backslash\tt{log})\\ \log_a & \text{logarithm to the base }a \\ ! & \text{factorial} \\ \text{sgn}(x) & \text{sign of x}(\tt{sgn}) \\ \lfloor x\rfloor & \text{integer part of x, that is, largest integer }\leq x \\ & (\backslash\tt{lfloor}, \backslash\tt{rfloor}) \\ |x| & \text{absolute value of scalar }x \\ \varGamma(x) & \text{gamma (generalized factorial) function } (\backslash\tt{varGamma}),\\ & \text{satisfying }\varGamma(x+1)=x\varGamma(x) \\ B(x,y) & \text{beta function, }\varGamma(x)\varGamma(y)/\varGamma(x+y) \\ \hline \end{array} \]
21.5 더 읽을거리
다른 분야의 문헌과 연결하려면, 계량경제학 관점에서 표기법을 정리한 (Abadir and Magnus 2002) 을 참조하십시오. 이 참고 문헌에는 많은 latex 기호가 논문 안에 정의되어 있다는 훌륭한 특징이 있습니다. 또한 보험계리 표기법을 둘러싼 논의와 논쟁에는 오랜 역사가 있습니다. 그에 기여한 문헌의 하나로 (Boehm et al. 1975)를 참조하십시오.