제12장 신뢰도 이론을 이용한 경험요율

장 미리보기. 이 장에서는 개별 위험 또는 위험 집단의 순보험료, 빈도, 심도를 추정하는 중요한 보험계리 도구로서 신뢰도 이론을 소개합니다. 신뢰도 이론은 개별 위험 또는 집단의 경험을 다른 데이터와 결합하여 더 안정적이고 정확한 추정치를 산출하는 편리한 틀을 제공합니다. 뷜만, 뷜만-스트라우브, 제한변동, 비모수 및 준모수 신뢰도 방법을 포함하여 신뢰도 추정치를 계산하는 여러 모형을 다룹니다. 또한 이 장에서는 신뢰도 이론과 9장 베이즈 추론과 모형화(Bayesian Inference and Modeling) 에서 소개한 베이즈 추정 사이의 연관성을 보일 것입니다.

12.1 신뢰도 이론의 응용 소개

보험을 제공하려면 어떤 보험료를 부과해야 합니까? 그 답은 손실 위험에 대한 익스포저에 따라 달라집니다. 보험료를 계산하는 일반적인 방법은 분류 요율 체계(classification rating plan) 피보험자의 위험 특성을 이용하여 보험료를 결정하는 요율 체계를 사용하여 피보험자의 요율을 산정하는 것입니다. 분류 체계는 지리적 지역, 연령 등 피보험자의 요율 특성을 바탕으로 보험 요율을 선택하는 데 사용됩니다. 모든 분류 요율 체계는 한정된 기준을 사용하여 피보험자를 “등급”으로 묶으므로, 같은 등급 안의 피보험자 사이에도 손실 위험에 차이가 있습니다.

경험요율 체계는 피보험자 자신의 손실 경험으로 분류 요율 체계의 요율을 보완함으로써, 같은 요율 등급 안의 피보험자 사이에 존재하는 손실 위험 차이의 일부를 반영하려고 합니다. 이를 위한 한 가지 방법은 \(0\leq Z \leq 1\)인 신뢰도 가중치(credibility weight) 경험요율 체계에서 피보험자의 보험료를 결정하기 위해 해당 피보험자의 과거 손실 경험에 부여하는 가중치 \(Z\)를 사용하여 \[ \hat{R}=Z\bar{X}+(1-Z)M, \] \[\begin{eqnarray*} \hat{R}&=&\textrm{credibility weighted rate for risk,}\\ \bar{X}&=&\textrm{average loss for the risk over a specified time period,}\\ M&=&\textrm{the rate for the classification group, often called the manual rate.}\\ \end{eqnarray*}\] 를 계산하는 것입니다. 손실 경험이 해마다 안정적인 위험의 경우 \(Z\)는 1에 가까울 수 있습니다. 손실이 해마다 크게 변동하는 위험의 경우 \(Z\)는 0에 가까울 수 있습니다.

신뢰도 이론은 분류 요율 체계 안의 개별 등급에 대한 요율을 계산하는 데에도 사용됩니다. 분류 계획의 요율을 결정할 때, 일부 또는 많은 집단이 안정적이고 신뢰할 수 있는 요율을 산출하기에 충분한 데이터를 갖추지 못할 수 있습니다. 한 집단의 실제 손실 경험에는 신뢰도 가중치 \(Z\)가 부여되고, 신뢰도 보완(complement of credibility) 경험요율 체계에서 피보험자의 과거 손실 경험에 부여되지 않은 나머지 가중치 \(1-Z\)는 모든 집단에 걸친 위험들의 평균 경험에 부여될 수 있습니다. 또는 등급 요율 체계를 갱신하는 경우에는 신뢰도 보완을 현재의 등급 요율(class rate) 특정 분류 집단에 속한 피보험자의 익스포저당 평균 요율에 부여할 수 있습니다. 신뢰도 이론은 기대 빈도와 기대 심도의 계산에도 적용할 수 있습니다.

\(Z\)의 수치를 계산하려면 데이터를 분석하고 이해해야 합니다. 위험들의 손실 건수와 손실 규모의 분산은 얼마입니까? 위험들 사이의 기댓값 간 분산은 얼마입니까?

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12.2 뷜만 신뢰도

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이 절에서는 다음 방법을 배웁니다.

• 하나의 위험 또는 위험 집단의 기대손실에 대한 신뢰도 가중 추정치를 계산하는 방법
• 관측값에 부여되는 신뢰도 \(Z\)를 결정하는 방법
• 과정 분산의 기댓값(\(EPV\)), 가설적 평균의 분산(\(VHM\)), 집단 평균 \(\mu\) 등 뷜만 신뢰도에 필요한 값을 계산하십시오.

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분류 요율 체계는 위험 특성을 바탕으로 보험계약자를 여러 등급으로 묶습니다. 한 집단 내의 보험계약자들은 유사점이 있지만 동일하지는 않으며, 그들의 기대손실도 정확히 같지는 않습니다. 경험요율 체계는 개별 보험계약자의 손실 경험과 등급 요율을 신뢰도로 가중하여 등급 요율 체계를 보완하며, 이를 통해 해당 보험계약자에게 더 정확한 요율을 산출할 수 있습니다. 제15장 보너스-말러스를 이용한 경험요율(Experience Rating using Bonus-Malus) 에서는 보험계약자의 손실 경험을 반영하여 요율을 조정하는 요율 체계의 예를 제시합니다.

이 절에서 소개하는 뷜만 신뢰도(Bühlmann credibility) 모형은 흔히 최대 정확도 신뢰도(greatest accuracy credibility) , 최소제곱 신뢰도(least-squares credibility) 또는 베이지안 신뢰도(Bayesian credibility) 라고 불립니다.

여기서는 각 보험계약자에게 위험모수(risk parameter) 그 값이 위험 분류를 반영하는 분포의 모수 \(\theta\)를 부여합니다. 모수가 \(\theta\)인 보험계약자의 손실 \(X\)는 pdf \(f_{X|\Theta=\theta}(x)\)를 가지며, 평균은 \[\begin{equation} \mu(\theta)=\mathrm{E}_{X}(X|\theta)=\int xf_{x|\Theta=\theta}(x) \, dx \end{equation}\] , 분산은 \[\begin{equation} \sigma^2(\theta)=\mathrm{Var}_{X}(X|\theta)=\int (x-\mu(\theta))^2 f_{x|\Theta=\theta}(x) \, dx. \end{equation}\] 입니다. 적분은 각 분포의 지지집합에서 계산합니다. 손실 \(X\)는 순보험료, 총손실, 청구 건수, 청구 심도 또는 일정 기간(보통 1년) 동안의 다른 손실 척도를 나타낼 수 있습니다. 위험모수 \(\theta\)는 모형에 따라 연속형일 수도 있고 이산형일 수도 있으며, 다변량일 수도 있습니다. 무작위로 선택한 위험의 위험모수 \(\theta\)는 알려져 있지 않지만, \(\theta\)의 확률밀도함수는 \(f_{\Theta}(\theta)\)로 모형화합니다. 계층 내 보험계약자 전체에 대해 평균을 내면 집단 평균 손실은 다음과 같습니다. \[\begin{equation} \mu=\mathrm{E_{\Theta}}[\mathrm{E_{X}}(X|\theta)]=\int f_{\Theta}(\theta)\mu(\theta)d\theta=\int f_{\Theta}(\theta) \int xf_{x|\Theta=\theta}(x) \, dx d\theta. \end{equation}\]

예제 12.2.1. 한 계층에 속한 피보험자의 청구 건수 \(X\)는 평균이 \(\theta>0\)인 포아송 분포를 따릅니다. 위험모수 \(\theta\)는 계층 내에서 pdf가 \(f(\theta)=e^{-\theta}\)인 지수분포를 따릅니다. 이 계층에서 무작위로 선택한 피보험자의 기대 청구 건수는 얼마입니까?

예제 풀이 보기

Example Solution. 확률변수 \(X\)는 평균이 \(\theta\)인 포아송 분포를 따르므로 \(\mu(\theta)=\mathrm{E}_{X}(X|\theta)=\theta\)입니다. 무작위로 선택한 피보험자의 기대 청구 건수는 \(\mu=\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta))=\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(X|\theta))=\mathrm{E}_{\Theta}(\theta)=\int_{0}^{\infty}\theta e^{-\theta} d\theta=1\)입니다.

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앞의 예제에서 위험모수 \(\theta\)는 지수분포를 따르는 연속형 확률변수입니다. 다음 예에서는 위험이 세 가지 유형으로 나뉘며 위험모수는 이산분포를 따릅니다.

예제 12.2.2. 모집단에 속한 임의의 위험(보험계약자)에 대해 1년간의 손실 건수 \(N\)는 모수가 \(\lambda\)인 포아송 분포를 따릅니다. 한 위험의 개별 손실 금액 \(X_i\)은 \(N\)과 독립이며, 제2종 파레토 분포 \(F(x)=1-[\theta/(x+\theta)]^{\alpha}\)을 따르는 iid입니다. 모집단에는 다음과 같이 세 가지 유형의 위험이 있습니다.

\[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Risk } & \text{Percentage} & \text{Poisson} & \text{Pareto} \\ \text{Type} & \text{of Population} & \text{Parameter} & \text{Parameters} \\ \hline A & 50\% & \lambda=0.5 & \theta=1000, \alpha=2.0 \\ B & 30\% & \lambda=1.0 & \theta=1500, \alpha=2.0 \\ C & 20\% & \lambda=2.0 & \theta=2000, \alpha=2.0 \\ \hline \end{array} } \]

모집단에서 위험 하나를 무작위로 선택할 때, 1년간의 기대 총손실은 얼마입니까?

예제 풀이 보기

Example Solution. 한 위험의 기대 청구 건수는 \(\mathrm{E}_{N}(N|\lambda\))=\(\lambda\)입니다. 파레토 분포를 따르는 확률변수의 기댓값은 \(\mathrm{E}_{X}(X|\theta,\alpha\))=\(\theta/(\alpha-1)\)입니다. \(N\)와 \(X_{i}\)들이 독립이라고 가정하면, 모수가 \(\lambda\), \(\alpha\), \(\theta\)인 위험의 총손실 확률변수 \(S=X_1+\cdots+X_N\)의 기댓값은 \(\mathrm{E}(S|\lambda,\theta,\alpha)=\mathrm{E}_{N}(N|\lambda)\mathrm{E}_{X}(X|\theta,\alpha) = \lambda\theta/(\alpha-1)\)입니다. 유형 A 위험의 기대 총손실은 \(\mathrm{E}(S_{\textrm{A}}\))=(0.5)(1000)/(2-1)=500입니다. 모집단에서 무작위로 선택한 위험의 기대 총손실은 \(\mathrm{E}(S)\) = 0.5[(0.5)(1000)]+0.3[(1.0)(1500)]+0.2[(2.0)(2000)]=1500입니다.

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앞의 예제에서 위험(보험계약자)의 위험모수는 무엇입니까? 위험모수는 세 성분 \((\lambda,\theta,\alpha)\)로 이루어져 있으며, 위험의 유형에 따라 (0.5,1000,2.0), (1.0,1500,2.0), (2.0,2000,2.0) 중 하나의 값을 가진다고 할 수 있습니다.

두 예제 모두에서 위험모수는 고유한 확률분포를 갖는 확률적인 양이라는 점에 유의하십시오. 무작위로 선택한 위험의 위험모수 값은 알 수 없습니다.

12.2.1 기대손실에 대한 신뢰도 가중 추정치

위험모수가 \(\theta\)인 보험계약자가 \(n\)개 기간 동안 손실 \(x_1, \ldots, x_n\)를 기록했다면, 목표는 관측값 \(x_1,\ldots, x_n\)가 주어졌을 때 \(\mu(\theta)\)의 조건부 기댓값인 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|x_1,\ldots, x_n)\)를 구하는 것입니다. 12.3절 베이즈 추론과 뷜만 신뢰도(Bayesian Inference and Bühlmann Credibility) 에서는 베이즈 추론을 사용하여 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|x_1,\ldots, x_n)\)를 구하는 방법을 설명합니다.

뷜만 신뢰도 모형은 \(\bar{x}=(x_1+\ldots+x_n)/n\)인 선형 근사 \(\hat{\mu}(\theta)=Z\bar{x}+(1-Z)\mu\)을 계산하여 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|x_1,\ldots,x_n)\)를 추정합니다. 이를 \(\hat{\mu}(\theta)=a+b\bar{x}\)와 같이 다시 쓸 수 있으며, 이렇게 하면 신뢰도 추정치가 평균의 선형 함수임이 분명해집니다.

뷜만 모형에서는 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|X_1,\ldots,X_n)\)를 선형 함수 \(a+b\bar{X}\)으로 근사하고, 두 양의 차이의 제곱 \[\begin{equation} G(a,b)=\mathrm{E}_{X}([\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|X_1,\ldots,X_n)-(a+b\bar{X})]^2), \end{equation}\] 을 최소화하도록 상수 \(a\)와 \(b\)를 계산하므로 최소제곱 신뢰도(least-squares credibility) 라는 별칭으로도 불립니다. 이 기댓값을 최소화하면 \(b=n/(n+K)\)와(과) \(a=(1-b)\mu\)을(를) 얻습니다. 양 \(n\)은 관측값의 개수이고 \(\mu=\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta))\)은 모집단 평균입니다. 당분간 \(K\)에 다소 이해하기 어려운 식 \(K\) = (과정 분산의 기댓값) / (가설적 평균의 분산)=\(EPV/VHM\)을(를) 부여하고, 그 의미는 다음 절의 첫머리에서 명확히 설명하겠습니다. 이 모형과 \(a\) 및 \(b\)의 계산에 관한 자세한 내용은 참고문헌 (Bühlmann 1967), (Bühlmann and Gisler 2005), (Klugman, Panjer, and Willmot 2012), (Tse 2009)에서 찾아볼 수 있습니다.

보험계약자의 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|x_1,\ldots, x_n)\)에 대한 뷜만 신뢰도 가중 추정치는 다음과 같은 \[\begin{equation} \hat{\mu}(\theta)=Z\bar{x}+(1-Z)\mu \tag{12.1} \end{equation}\] 입니다. \[\begin{eqnarray*} \theta&=&\textrm{a risk parameter that identifies a policyholder's risk level}\\ \hat{\mu}(\theta)&=&\textrm{estimated expected loss for a policyholder with parameter }\theta\\ & & \textrm{and loss experience } \bar{x}\\ \bar{x}&=&(x_1+\cdots+x_n)/n \textrm{ is the average of $n$ observations of the policyholder } \\ Z&=&\textrm{credibility assigned to $n$ observations } = n/(n+K) \\ K&=&EPV/VHM \\ \mu&=&\textrm{the expected loss for a randomly chosen policyholder in the class.}\\ \end{eqnarray*}\]

선택된 보험계약자에 대해 손실에 대한 보험계약자의 익스포저가 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하므로, 확률변수 \(X_j\)은(는) \(j=1,\ldots,n\)에 대해 iid라고 가정하며 \(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta)=\mathrm{E}_{X}(X_j|\theta)=\mu(\theta)\)입니다.

보험계약자를 해당 계층에서 무작위로 선택하였고 그 위험에 대한 손실 정보가 없다면, 기대손실은 \(\mu=\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta))\)이며, 여기서 기댓값은 계층 내의 모든 \(\theta\)에 대해 취합니다. 이 경우 \(Z=0\)이고, 해당 위험에 대한 기대손실은 \(\hat\mu(\theta)=\mu\)입니다. 양 \(\mu\)은(는) \(\mu=\mathrm{E}(X_j)\) 또는 \(\mu=\mathrm{E}(\bar{X})\)(으)로도 쓸 수 있으며, 전체 평균, 모집단 평균 또는 집단 평균이라고 부릅니다. \(\mathrm{E}(X_j)\)은(는) 전체 기댓값의 법칙(law of total expectation) y가 주어졌을 때 x의 조건부 기댓값의 기댓값은 x의 기댓값과 같습니다.에 의해 계산된다는 점에 유의하십시오: \(\mathrm{E}(X_j)=\mathrm{E_\Theta}[\mathrm{E_X}(X_j|\theta)]\).

식 (12.1)은 경험요율을 예로 들어 소개했지만, 뷜만 신뢰도 모형은 더 넓게 적용할 수 있습니다. 요율 체계에 여러 계층이 있다고 가정합시다. 신뢰도 공식 (12.1)을(를) 사용하여 개별 계층의 요율을 결정할 수 있습니다. 전체 평균 \(\mu\)은(는) 모든 계층을 합한 평균 손실이 되고, \(\bar{x}\)은(는) 개별 계층의 경험이 되며, \(\hat{\mu}(\theta)\)은(는) 해당 계층의 추정 손실이 됩니다.

12.2.2 신뢰도 Z, EPV 및 VHM

신뢰도 추정치 \(\hat{\mu}(\theta)=Z\bar{X}+(1-Z)\mu\)을(를) 계산할 때, 경험 \(\bar{X}\)에는 얼마만큼의 가중치 \(Z\)을(를) 두고 전체 평균 \(\mu\)에는 얼마만큼의 가중치 \((1-Z)\)을(를) 두어야 합니까? 뷜만 신뢰도에서는 다음 세 가지 요인을 고려해야 합니다.

1. 선택한 위험의 단일 관측값 \(X_j\)에는 변동이 얼마나 있습니까? \(\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n\)이고 관측값이 \(\theta\)에 대한 조건부로 iid라고 가정하면 \(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta)\) = \(\mathrm{Var}_{X}(X_j|\theta)/n\)이 성립합니다. \(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta)\)이(가) 클수록 경험 \(\bar{X}\)에는 더 작은 신뢰도 가중치 \(Z\)을(를) 부여해야 합니다. 과정 분산의 기댓값(Expected Value of the Process Variance) 각 위험 내부에서 관측값이 보이는 자연적 변동성의 평균(약칭 \(EPV\))은(는) 모든 위험에 걸친 \(\mathrm{Var}_{X}(X_j|\theta\))의 기댓값입니다: \[ EPV = \mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(X_j|\theta)). \] \(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta)\) = \(\mathrm{Var}_{X}(X_j|\theta)/n\)이므로 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta))=EPV/n\)이 성립합니다.
2. 전체 평균 \(\mu\)을(를) 계산하기 위해 경험을 합산한 위험들의 모집단은 얼마나 동질적입니까? 모든 위험이 손실 잠재력 면에서 비슷하다면, \(\mu\)은(는) 평균 \(\mu(\theta)\)이(가) 서로 크게 다르지 않은 비슷한 위험들로 이루어진 집단의 평균이므로 전체 평균 \(\mu\)에 더 큰 가중치 \((1-Z)\)을(를) 부여하게 됩니다. 모집단의 동질성 또는 이질성은 가설적 평균의 분산(Variance of the Hypothetical Means) 서로 다른 집단들 간 평균의 분산으로, 집단들이 서로 얼마나 유사하거나 다른지를 판단하는 데 사용됨(약칭 \(VHM\))으로 측정합니다: \[ VHM=\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(X_j|\theta))=\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta)). \] 두 번째 등호에는 \(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta)=\mathrm{E}_{X}(X_j|\theta)\)을(를) 사용하였다는 점에 유의하십시오.
3. \(\bar{X}\)를 계산하는 데 관측값 \(n\)개를 사용했습니까? 표본이 클수록 더 큰 \(Z\)을(를) 의미합니다.

예제 12.2.3. 어떤 모집단에 속한 한 위험의 연간 청구 건수 \(N\)은(는) 평균이 \(\lambda>0\)인 포아송 분포를 따릅니다. 위험모수 \(\lambda\)는 구간 \((0,2)\)에서 균등분포를 따릅니다. 이 모집단에 대한 \(EPV\)와(과) \(VHM\)을(를) 계산하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 확률변수 \(N\)은(는) 모수 \(\lambda\)인 포아송 분포를 따르므로 \(\mathrm{Var}(N|\lambda)=\lambda\)입니다. 과정 분산의 기댓값은 \(EPV=\mathrm{E}(\mathrm{Var}(N|\lambda))\) = \(\mathrm{E}(\lambda)=\int_{0}^{2}\lambda \frac{1}{2} d\lambda=1\)입니다. 가설적 평균의 분산은 \(VHM=\mathrm{Var}(\mathrm{E}(N|\lambda))\) = \(\mathrm{Var}(\lambda)=\mathrm{E}(\lambda^2)-(\mathrm{E}(\lambda))^2\) = \(\int_{0}^{2}\lambda^2 \frac{1}{2} d\lambda-(1)^2=\frac{1}{3}\)입니다.

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뷜만 신뢰도 공식에는 \(n\), \(EPV\), \(VHM\) 값이 포함됩니다: \[\begin{equation} Z=\frac{n}{n+K} \quad , \quad K =\frac{EPV}{VHM}. \tag{12.2} \end{equation}\] \(VHM\) 값이 증가하면 \(Z\) 값도 증가합니다. \(EPV\) 값이 증가하면 \(Z\) 값은 작아집니다. 관측값의 개수 \(n\)이 무한대로 커지면 신뢰도 \(Z\)는 점근적으로 1에 가까워집니다.

\(Z\) 식의 분자와 분모에 (\(VHM\)/\(n\))를 곱하면 \(Z\)를 \[ Z=\frac{VHM}{VHM+(EPV/n)} . \] 로 다시 쓸 수 있습니다. 관측값의 개수 \(n\)은 항 (\(EPV/n\))에 반영됩니다.

예제 12.2.4. 전분산의 법칙(law of total variance) 확률변수의 분산을 조건부 성분으로 분해하는 것입니다. 구체적으로, 동일한 확률공간 위의 확률변수 x와 y에 대해 var(x) = e[var(y|x)] + var[e(x|y)]가 성립합니다.은(는) \(\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{E}(\mathrm{Var}[Y|X])+\mathrm{Var}(\mathrm{E}[Y|X])\)로 쓸 수 있습니다. \(\mathrm{Var}(\bar{X})\) = \(VHM + (EPV/n)\)임을 보이고, \(Z\)에 대한 공식을 \(\bar{X}\)로 나타내어 유도하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\mathrm{Var}(\bar{X})\) 값을 \(\bar{X}\)의 무조건부 분산 또는 총분산이라고 합니다. 총분산의 법칙에 따르면 \[ \mathrm{Var}(\bar{X})=\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta))+\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta)). \] 입니다. 이 절의 처음에 있는 항목 (1)에서 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta))\) = \(EPV/n\)임을 보였습니다. 항목 (2)에서는 \(\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta))=VHM\)입니다. 우변을 재배열하면 \(\mathrm{Var}(\bar{X})\) = \(VHM +(EPV/n)\)을(를) 얻습니다. 신뢰도 \(Z\)의 공식을 쓰는 또 다른 방법은 \(Z=\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta))/\mathrm{Var}(\bar{X})\)입니다. 이로부터 \((1-Z)=\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}|\theta))/\mathrm{Var}(\bar{X})\)임을 알 수 있습니다.

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다음의 긴 예와 풀이는 빈도 및 심도 데이터로 신뢰도 가중 추정치를 계산하는 방법을 보여 줍니다.

예제 12.2.5. 모집단의 모든 위험에 대해, 1년간의 손실 건수 \(N\)은(는) 모수 \(\lambda\)인 포아송 분포를 따릅니다. 선택된 위험의 개별 손실 금액 \(X\)은(는) \(N\)와(과) 독립이며, 지수분포 \(F(x)=1-e^{-x/\beta}\)를 따르는 iid입니다. 아래와 같이 모집단에는 세 가지 유형의 위험이 있습니다. 모집단에서 위험 하나를 무작위로 선택하여 5년 동안 모든 손실을 기록하였습니다. 5년 동안의 총손실 금액은 5,000이었습니다. 뷜만 신뢰도를 사용하여 이 위험의 연간 기대 총손실을 추정하십시오.
\[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Risk } & \text{Percentage} & \text{Poisson} & \text{Exponential} \\ \text{Type} & \text{of Population} & \text{Parameter} & \text{Parameter} \\ \hline A & 50\% & \lambda=0.5 & \beta=1000 \\ B & 30\% & \lambda=1.0 & \beta=1500 \\ C & 20\% & \lambda=2.0 & \beta=2000 \\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. 개별 손실 금액 \(X\)이(가) 지수분포를 따르므로 \(\mathrm{E}(X| \beta)=\beta\)이고 \(\mathrm{Var}(X| \beta)=\beta^2\)입니다. 총손실 \(S=X_1+\cdots+X_N\)의 평균은 \(\mathrm{E}(S)=\mathrm{E}(N)\mathrm{E}(X)\)이고 과정 분산은 \(\mathrm{Var}(S)=\mathrm{E}(N)\mathrm{Var}(X)+[\mathrm{E}(X)]^2 \mathrm{Var}(N)\)입니다.

포아송 빈도와 지수분포를 따르는 손실 금액에 대해 \(\mathrm{E}(S| \lambda, \beta) = \lambda\beta\)이고 \(\mathrm{Var}(S| \lambda, \beta\)) = \(\lambda\beta^2+\beta^2\lambda=2\lambda\beta^2\)입니다.

모집단 평균 \(\mu\): 위험별 평균은 \(\mu\)(A)=0.5(1000)=500; \(\mu\)(B)=1.0(1500)=1500; \(\mu\)(C)=2.0(2000)=4000이며, \(\mu\)=0.50(500)+0.30(1500)+0.20(4000)=1,500입니다.

\(\textbf{VHM}\): \(VHM\)=\(0.50(500-1500)^2+0.30(1500-1500)^2+0.20(4000-1500)^2\)=1,750,000.

\(EPV\): 과정 분산은 \(\sigma^2(A)=2(0.5)(1000)^2=1,000,000\); \(\sigma^2(B)=2(1.0)(1500)^2=4,500,000\); \(\sigma^2(C)=2(2.0)(2000)^2=16,000,000\)이며, \(EPV\)=0.50(1,000,000)+0.30(4,500,000)+0.20(16,000,000)=5,050,000입니다.
\(\mathbf{\bar{X}}\): \(\bar{X}_5=5,000/5\)=1,000.

\(\mathbf{K}\): \(K=5,050,000/1,750,000\)=2.89.

\(\mathbf{Z}\): 관측값이 5년치이므로 \(n=5\)입니다. \(Z=5/(5+2.89)\)=0.63입니다.

\(\boldsymbol{\hat{\mu}(\theta)}\): \(\hat{\mu}(\theta)=0.63(1,000)+(1-0.63)1,500=\boxed{\mathbf{1,185.00}}\).

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뷜만 신뢰도를 실제로 적용할 때는 \(K=EPV/VHM\)의 값을 추정해야 합니다. 때로는 \(K\)의 값을 판단에 따라 선택하기도 합니다. \(K\)가 작을수록 추정량 \(\hat{\mu}(\theta)\)는 실제 경험 \(\bar{X}\)에 더 민감하게 반응하는 반면, \(K\)가 클수록 \(\mu\)에 더 큰 가중치를 부여하여 더 안정적인 추정값을 산출합니다. 반응성과 안정성 사이의 균형을 맞추기 위해 판단을 활용할 수 있습니다. 이 장의 12.5절에서는 데이터로부터 \(K\)를 결정하는 방법을 다룹니다.

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12.3 베이즈 추론과 뷜만 신뢰도

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이 절에서는 다음을 학습합니다.

• 베이즈 정리 또는 뷜만 신뢰도를 사용하여 베타-이항 모형과 감마-포아송 모형의 기대 결과에 대한 공식을 계산합니다.
• 켤레 분포족에 대해 베이즈 추정값과 뷜만 추정값 사이의 관계를 이해합니다.

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9장에서는 베이즈 추론과 모형화(Bayesian inference and modeling) 를 다루며, 독자가 그 내용, 특히 켤레 분포족을 논의하는 9.3절에 익숙하다고 가정합니다. 이 절에서는 베이즈 추론과 뷜만 신뢰도를 비교하고 두 모형 사이의 관계를 보여 줍니다.

먼저 베이즈 모형을 살펴보겠습니다. 어떤 위험에 \(n\)개의 관측 손실 \(x_1, x_2, ..., x_n\)가 있다고 가정합시다. 이 손실들은 벡터 \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\)로 나타내며, 이는 iid라고 가정할 확률변수 \(\mathbf{X} = (X_1, X_2, ..., X_n)\)의 실현값입니다.

위험모수가 \(\theta\)인 위험의 기대손실은 \(\mu(\theta)=\mathrm{E}_{X}(X|\theta)\)입니다. 위험에 손실 \(\mathbf{x}\)가 발생했다면, \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|\mathbf{x})\)는 결과 \(\mathbf{x}\)가 주어졌을 때 \(\mu(\theta)\)의 조건부 기댓값입니다. 기대손실은 관측값을 반영하도록 갱신됩니다.

기댓값 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|\mathbf{x})\)는 조건부 밀도함수 \(f_{X|\Theta=\theta}(x|\theta)\)와 사후분포 \(f_{\Theta|\mathbf{X}=\mathbf{x}}(\theta|\mathbf{x})\)를 사용하여 계산할 수 있습니다. \[\begin{eqnarray*} \mu(\theta)&=&\mathrm{E}_{\Theta}(X|\theta)=\int xf_{X|\Theta=\theta}(x|\theta)dx \\ \mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|\mathbf{x})&=&\int \mu(\theta) f_{\Theta|\mathbf{X}=\mathbf{x}}(\theta|\mathbf{x}) d\theta. \end{eqnarray*}\] 적분은 분포의 받침 위에서 수행됩니다. 사후분포는 베이즈 정리(Bayes theorem) 사건 b가 주어졌을 때 사건 a의 조건부 확률을, 사건 a가 주어졌을 때 사건 b의 조건부 확률과 a의 무조건부 확률로 나타내는 확률 법칙로부터 얻어집니다. \[\begin{equation*} f_{\Theta|\mathbf{X}=\mathbf{x}}(\theta) = \frac{f_{\mathbf{X}|\Theta=\theta}(\mathbf{x})\, f_{\Theta}(\theta)}{f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})}. \end{equation*}\] 분자의 첫 번째 함수 \(f_{\mathbf{X}|\Theta=\theta}(\mathbf{x})\)는 가능도함수이고 두 번째 항 \(f_{\Theta}(\theta)\)는 사전분포입니다. 분모 \(f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})\)는 \(n\)개의 손실 \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\)에 대한 결합 밀도함수입니다.

이제 뷜만 모형으로 넘어가겠습니다. \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|\mathbf{x})\)에 대한 뷜만 신뢰도 추정치는 \(\hat{\mu}(\theta)=Z\bar{x}+(1-Z)\mu\)입니다. 이 모형에는 신뢰도 \(Z\)와 집단 평균 \(\mu\)가 필요하며, 분포가 알려져 있다면 이들은 앞서 설명한 베이즈 모형에서 사용된 분포로부터 계산할 수 있습니다.

예제 12.3.1. \(n\), 조건부 밀도함수 \(f_{X|\Theta=\theta}(x|\theta)\), 사전분포 \(f_{\Theta}(\theta)\)을 사용하여 뷜만 신뢰도 추정치 \(\hat{\mu}(\theta)\)의 신뢰도 \(Z\)와 집단 평균 \(\mu\)을 계산하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 집단 평균은 다음과 같습니다. \[\begin{equation*} \mu=\int \int x f_{X|\Theta=\theta}(x|\theta) f_{\Theta}(\theta) dx d\theta. \end{equation*}\] 가설적 평균의 분산(VHM)은 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{eqnarray*} \mu(\theta) &=&\int x f_{X|\Theta=\theta}(x|\theta) dx , \\ \mathrm{VHM}&=&\int (\mu(\theta)-\mu)^{2} f_{\Theta}(\theta) d\theta. \end{eqnarray*}\] 과정 분산의 기댓값(EPV)은 다음과 같이 계산합니다. \[\begin{eqnarray*} \mathrm{Var}_{X}(x|\theta)&=&\int (x-\mu(\theta))^2 f_{X|\Theta=\theta}(x|\theta) dx , \\ \mathrm{EPV} &=&\int \mathrm{Var}_{X}(x|\theta) f_{\Theta}(\theta) d\theta. \end{eqnarray*}\] 신뢰도는 \(Z = n/(n+K)\)이며, 여기서 \(K=EPV/VHM\)입니다.

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12.3.1 베타-이항 모형

베이즈 추론과 모형화(Bayesian Inference and Modeling) 장의 9.3.1절에서는 베타-이항 모형을 분석합니다.

성공 확률 \(q\)를 모르는 \(m\)번의 베르누이 시행에서 성공 횟수 \(x\)는 다음 이항분포로 주어집니다. \[\begin{equation*} p_{X|Q=q}(x) = \binom{m}{x} q^x (1-q)^{m-x}, \quad x \in \{0,1,...,m\}. \end{equation*}\] 성공 확률 \(q\)는 이항분포의 켤레 사전분포, 즉 모수가 \(a\)와 \(b\)인 베타분포로 모형화합니다. 베타분포의 pdf는 \[ f_{Q}(q) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} q^{a-1} (1-q)^{b-1}, \quad q \in [0,1]. \] 입니다. \(m\)번의 베르누이 시행에서 \(x\)번 성공했을 때 \(q\)의 사후분포는 9.3.1에서 보였듯이 \[ f_{Q|X=x}(q) = \frac{\Gamma(a+b+m)}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+m-x)} q^{a+x-1} (1-q)^{b+m-x-1}, \] 이며, 이는 모수가 \(a+x\)와 \(b+m-x\)인 베타분포입니다.

모수가 \(a\)와 \(b\)인 베타분포의 평균은 \(\mathrm{E}(Q)=a/(a+b)\)입니다. 베타-이항 모형에서 \(m\)번의 시행 중 \(x\)번 성공했을 때 사후분포의 평균은 다음과 같습니다. \[\begin{equation*} \mathrm{E}_{Q}(Q|x)=\frac{a+x}{a+b+m}. \end{equation*}\]
다음 예제에서 보듯이 \(\mathrm{E}_{Q}(Q|x)\)에 대한 뷜만 신뢰도 추정치는 베이즈 추정치와 정확히 일치합니다.

예제 12.3.2. 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 \(q\)입니다. 확률 \(q\)의 사전분포는 모수 \(a\)와 \(b\)를 갖는 베타분포입니다. 동전을 \(m\)번 던졌을 때 정확히 \(x\)번 앞면이 나왔습니다. 뷜만 신뢰도를 사용하여 \(q\)의 기댓값을 추정하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. \(j=1,\ldots, m\)에 대하여 \(j^{th}\) 동전 던지기가 앞면이면 \(Y_j=1\), 뒷면이면 \(Y_j=0\)이 되도록 확률변수 \(Y_j\)를 정의합니다. 확률변수 \(Y_j\)는 \(q\)가 주어졌을 때 조건부로 iid이며 Pr\((Y=1|q)=q\), Pr\((Y=0|q)=1-q\)입니다. \(m\)번 던졌을 때 앞면의 수는 확률변수 \(X=Y_1+\cdots+Y_m\)로 나타낼 수 있습니다.

뷸만 신뢰도를 사용하여 \(q=E(Y_j|X=x)\)를 추정하고자 합니다: \(\hat{q} = Z\bar{x} +(1-Z)\mu\). 전체 평균은 \(\mu=\mathrm{E}(\mathrm{E}(Y_j|Q))\) = \(\mathrm{E}(Q)=a/(a+b)\)입니다. 표본평균은 \(\bar{x}=x/m\)입니다.

신뢰도는 \(Z=m/(m+K)\)이고 \(K=EPV/VHM\)입니다. \(\mathrm{Var}(Y_j|q)=q(1-q)\)이므로 \(EPV = \mathrm{E}(\mathrm{Var}[Y_j|Q])\) = \(\mathrm{E}(Q(1-Q)\))이 됩니다. \(\mathrm{E}(Y_j|q)=q\)이므로 \(VHM=\mathrm{Var}((\mathrm{E}(Y_j|Q))=\mathrm{Var}(Q)\)입니다. 베타분포에 대하여 \[ \mathrm{E}(Q)=\frac{a}{a+b}, \mathrm{E}(Q^2)=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}, \textrm{ and } \mathrm{Var}(Q)=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}. \] 모수 \(K=EPV/VHM\)=\([\mathrm{E}(Q)-\mathrm{E}(Q^2)]/\mathrm{Var}(Q)\)입니다. 약간의 대수 계산을 거치면 이는 \(K=a+b\)로 정리됩니다. 뷜만 신뢰도 가중 추정치는 \[\begin{align*} \hat{q} &= \frac{m}{m+a+b}\left(\frac{x}{m}\right)+\left(1-\frac{m}{m+a+b}\right)\frac{a}{a+b} \\ \hat{q} & =\frac{a+x}{a+b+m}\\ \end{align*}\] 이며, 이는 베이즈 사후 평균과 같습니다.

12.3.2 감마-포아송 모형

베이즈 추론과 모형화(Bayesian Inference and Modeling) 장에서는 감마-포아송 켤레 분포족도 분석합니다. 그 결과를 아래에 요약합니다.

\(\mathbf{X} = (X_1, X_2, ..., X_n)\)를 \[ p_{X_i|\Lambda=\lambda}(x_i) = \frac{\lambda^{x_i}\, e^{-\lambda}}{x_i!}, \quad x_i \in \mathbb{R}_+ . \] 인 iid 포아송 확률변수의 표본이라고 합시다. \(\Lambda\)의 사전분포를 모수 \(\alpha\)와 \(\theta\)를 갖는 감마분포로 정의합니다. \[ f_{\Lambda}(\lambda) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^{\alpha}} \lambda^{\alpha-1} \, e^{-\frac{\lambda}{\theta}}, \quad \lambda \in \mathbb{R}_+. \] \(n\)개의 관측값 \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\)로 이루어진 표본이 주어지면 \(\Lambda\)의 사후분포는 \[ f_{\Lambda|\mathbf{X}=\mathbf{x}}(\lambda) = \frac{1}{\Gamma(\alpha+x)\left(\frac{\theta}{n\theta+1} \right)^{\alpha+x}} \lambda^{\alpha+x-1} \, e^{-\frac{\lambda\,(n\theta+1)}{\theta}}, \] 이며, 여기서 \(x = \sum_{i=1}^n x_i\)이고, 이는 모수 \(\alpha+x\)와 \(\tfrac{\theta}{n\theta+1}\)를 갖는 감마분포입니다.

위의 공식에 약간의 변경을 가하겠습니다. 척도모수 \(\theta\) 대신 비율 모수 \(\beta=1/\theta\)를 대입하겠습니다. 사후분포는 \[ f_{\Lambda|\mathbf{X}=\mathbf{x}}(\lambda) = \frac{(\beta+n)^{(\alpha+x)}}{\Gamma(\alpha+x)} \lambda^{\alpha+x-1} \, e^{-\lambda(\beta+n)}. \] 가 됩니다. 사후분포는 감마분포이며, 관측값 \(\mathbf{x}\)가 주어졌을 때 \(\Lambda\)의 기댓값은 쉽게 계산할 수 있습니다: \[\begin{equation*} \mathrm{E}_{\Lambda}(\Lambda|x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha+x}{\beta+n}. \end{equation*}\] 표본을 수집하기 전에는 사전분포의 모수를 사용하여 \(\mathrm{E}(\Lambda)=\alpha/\beta\)입니다.

다음 예제에서 보듯이 뷜만 신뢰도 모형도 같은 결과를 제공합니다.

예제 12.3.3 어떤 위험의 연간 청구 건수 X는 포아송 분포 \(p(x)=\lambda^{x} e^{-\lambda} /x!\)를 따릅니다. 집단 내 각 위험은 일정한 위험모수 \(\lambda\)를 가집니다. 모수 \(\lambda\)는 집단 전체에 걸쳐 pdf가 \(f(\lambda) = \beta^{\alpha}\lambda^{\alpha-1}e^{-\lambda\beta}/\Gamma(\alpha)\)인 감마분포를 따릅니다. 모집단에서 위험 하나를 무작위로 선택하여 \(n\)년 동안 관측했습니다. 청구 건수는 \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)\)였습니다. 뷜만 신뢰도를 사용하여 선택된 위험에 대한 \(\lambda\)의 기댓값을 계산하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 모수가 \(\lambda\)인 포아송 분포의 분산은 \(\lambda\)이므로 \(EPV=\mathrm{E}(\mathrm{Var}(X|\lambda))=\mathrm{E}(\lambda)=\alpha/\beta\)입니다. 이 위험의 연간 평균 청구 건수는 \(\lambda\)이므로 \(VHM=\mathrm{Var}(\mathrm{E}(X|\lambda))\) = \(\mathrm{Var}(\lambda)=\alpha/\beta^2\)입니다. 신뢰도 모수는 \(K=EPV/VHM\) = \((\alpha/\beta)/(\alpha/\beta^2)=\beta\)입니다. 전체 평균은 \(\mathrm{E}(\mathrm{E}(X|\lambda))=\mathrm{E}(\lambda)=\alpha/\beta\)입니다. \(x=\sum_{j=1}^{n}x_j\)로 두면 표본평균은 \(\bar{x}=x/n\)입니다. 해당 위험의 기대 청구 건수에 대한 신뢰도 가중 추정치는 다음과 같습니다. \[ \hat{\mu}=\frac{n}{n+\beta}\bar{x} +\left(1-\frac{n}{n+\beta}\right)\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha+x}{\beta+n}. \]

정규-정규 켤레 분포족에 대한 베이즈 모형과 뷜만 모형의 비교는 독자에게 맡기겠습니다.

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12.3.3 정확 신뢰도

앞 절에서 보였듯이 베타-이항 모형과 감마-포아송 모형에 대한 뷜만 신뢰도 추정치는 베이즈 분석 결과와 정확히 일치합니다. 이러한 경우에 정확 신뢰도(exact credibility) 베이지안 신뢰도 추정치가 뷜만 신뢰도 추정치와 일치하는 상황라는 용어를 사용합니다. \(X_j\)의 확률분포가 선형 지수족에 속하고 사전분포가 켤레 사전분포이면 정확 신뢰도가 성립할 수 있습니다. 이 두 모형 외에도 감마-지수 모형과 정규-정규 모형이 정확 신뢰도의 예에 해당합니다.

조건부 평균 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mu(\theta)|X_1,...,X_n)\)가 관측값의 평균에 대해 선형이면 뷜만 신뢰도 추정치는 베이즈 추정치와 일치합니다. 정확 신뢰도에 대한 자세한 내용은 (Bühlmann and Gisler 2005), (Klugman, Panjer, and Willmot 2012), (Tse 2009)에서 찾아볼 수 있습니다.

12.4 뷜만-스트라우브 신뢰도

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이 절에서는 다음을 학습합니다.

• 뷜만-스트라우브 모형을 사용하여 위험 또는 위험 집단의 기대손실에 대한 신뢰도 가중 추정치를 계산하십시오.
• 관측값에 부여되는 신뢰도 \(Z\)를 결정합니다.
• 과정 분산의 기댓값(\(EPV\)), 가설적 평균의 분산(\(VHM\)), 집합적 평균 \(\mu\)을 포함하여 필요한 값을 계산하십시오.
• 뷜만-스트라우브 모형이 적절한 상황을 파악하십시오.

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앞 절에서 설명한 표준 뷜만 신뢰도에서는 선택된 보험계약자로부터 발생하는 손실 \(X_1,\ldots,X_n\)가 iid라고 가정합니다. 아래첨자가 1년차, 2년차, 그리고 \(n\)년차까지를 나타낸다면, iid 가정은 보험계약자가 매년 동일한 손실 익스포저를 가진다는 것을 의미합니다. 기업보험에서는 이 가정이 자주 위배됩니다.

사업에 차량 플릿을 사용하는 기업 보험계약자를 생각해 봅시다. 1년차에는 플릿에 차량이 \(m_1\)대, 2년차에는 \(m_2\)대, .., \(n\)년차에는 \(m_n\)대가 있습니다. 이 플릿의 소유 및 사용으로 인한 손실 익스포저는 해마다 일정하지 않습니다. 플릿의 연간 손실은 iid가 아닙니다.

\(Y_{jk}\)을 연도 \(j\)에 차량군 내 \(k^{th}\)번째 차량의 손실로 정의합니다. 그러면 연도 \(j\)에 차량군 전체의 총손실은 \(Y_{j1}+\cdots+Y_{jm_j}\)이며, 여기서는 \(m_j\)대의 차량 각각의 손실을 합산합니다. 뷜만-스트라우브 모형에서는 확률변수 \(Y_{jk}\)가 해당 보험계약자의 모든 차량과 연도에 걸쳐 iid라고 가정합니다. 이 가정에 따라 평균 \(\mathrm{E}_{Y}(Y_{jk}|\theta)=\mu(\theta)\)과 분산 \(\mathrm{Var}_{Y}(Y_{jk}|\theta)=\sigma^2(\theta)\)은 모든 차량과 연도에서 동일합니다. 양 \(\mu(\theta)\)는 위험모수가 \(\theta\)인 보험계약자의 차량 한 대에 대한 1년간의 기대손실이고, \(\sigma^2(\theta)\)는 그 손실의 분산입니다.

\(X_j\)가 연도 \(j\)의 익스포저 단위당 평균 손실, 즉 \(X_j=(Y_{j1}+\cdots+Y_{jm_j})/m_j\)이면, 위험모수가 \(\theta\)인 보험계약자에 대해 \(\mathrm{E}_{Y}(X_j|\theta)=\mu(\theta)\)이고 \(\mathrm{Var}_{Y}(X_j|\theta)=\sigma^2(\theta)/m_j\)입니다. 여기서 주어진 보험계약자에 대해 \(Y_{jk}\)이 iid라는 사실을 이용했다는 점에 유의하십시오. \(n\)년 전체 기간에 대한 차량당 평균손실은 \[\begin{equation*} \bar{X}= \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} m_j X_{j} \quad , \quad m=\sum_{j=1}^{n} m_j. \end{equation*}\] 입니다. 따라서 \(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta)=\mu(\theta)\)이고 \(\mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta)=\sigma^2(\theta)/m\)이며, 여기서 \(\mu(\theta)\)와 \(\sigma^2(\theta)\)는 해당 보험계약자의 차량 한 대에 대한 1년간의 평균과 분산입니다.

예제 12.4.1. 위험모수가 \(\theta\)인 위험에 대해 \(\mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta)=\sigma^2(\theta)/m\)임을 증명하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution.
\[\begin{eqnarray*} \mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta)&=&\mathrm{Var}_{Y}\left(\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} m_j X_j|\theta \right)\\ &=&\frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{n} \mathrm{Var}_{Y}(m_j X_{j}|\theta)=\frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{n} m_j^2 \mathrm{Var}_{Y}(X_j|\theta)\\ &=&\frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{n} m_j^2 (\sigma^2(\theta)/m_j)=\frac{\sigma^2(\theta)}{m^2}\sum_{j=1}^{n} m_j=\sigma^2(\theta)/m.\\ \end{eqnarray*}\]

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Buhlmann-Straub 신뢰도(Buhlmann-Straub credibility) 연도별로 익스포저가 달라지는 것을 허용하도록 뷜만 신뢰도 모형을 확장한 모형 추정치는 \[\begin{equation}\hat{\mu}(\theta)=Z\bar{x}+(1-Z)\mu \tag{12.3} \end{equation}\] 이며, 여기서 \[\begin{eqnarray*} \theta&=&\textrm{a risk parameter that identifies a policyholder's risk level}\\ \hat{\mu}(\theta)&=&\textrm{estimated expected loss for one exposure for the policyholder}\\ & & \textrm{with loss experience } \bar{X}\\ \bar{x}&=& \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{n} m_j x_j \textrm{ is the average loss per exposure for $m$ exposures.}\\ & & \textrm{$x_j$ is the average loss per exposure and $m_j$ is the number of exposures in year $j$.} \\ Z&=&\textrm{credibility assigned to $m$ exposures } \\ \mu&=&\textrm{expected loss for one exposure for randomly chosen}\\ & & \textrm{ policyholder from population.}\\ \end{eqnarray*}\]

\(\hat{\mu}(\theta)\)은 익스포저 하나에 대한 기대손실의 추정량이라는 점에 유의하십시오. 보험계약자의 익스포저가 \(m_j\)이면 기대손실은 \(m_j\hat{\mu}(\theta)\)입니다.

예제 12.2.4에서 \(Z=\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}|\theta))/\mathrm{Var}(\bar{X})\)임을 보였으며, 여기서 \(\bar{X}\)는 \(n\)개 관측값의 평균손실입니다. 식 (12.3)에서 \(\bar{X}\)는 \(m\)개 익스포저에 대한 평균손실이며, 동일한 \(Z\) 공식을 사용할 수 있습니다: \[ Z=\frac{\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta))}{\mathrm{Var}(\bar{X})}= \frac{\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta))}{\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta))+\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta))}. \] (\(X_{j}\)는 \(Y_{jk}\)들의 합이고 \(\bar{X}\)는 \(Y_{jk}\)들의 평균이라는 점에 유의하십시오.) 분모는 전분산의 법칙(law of total variance) 확률변수의 분산을 조건부 성분으로 분해하는 것입니다. 구체적으로, 동일한 확률공간 위의 확률변수 x와 y에 대해 var(x) = e[var(y|x)] + var[e(x|y)]가 성립합니다.을 사용하여 전개했습니다. 앞에서 언급했듯이 \(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta)=\mu(\theta)\)이므로 \(\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{Y}(\bar{X}|\theta))=\mathrm{Var}_{\Theta}(\mu(\theta))=VHM\)입니다. \(\mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta)=\sigma^2(\theta)/m\)이므로 \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{Y}(\bar{X}|\theta))=\mathrm{E}_{\Theta}(\sigma^2(\theta))/m\) = \(EPV/m\)이 성립합니다. 이렇게 대입하고 약간의 대수 계산을 하면 다음을 얻습니다. \[\begin{equation} Z=\frac{m}{m+K} \quad , \quad K =\frac{EPV}{VHM}. \tag{12.4} \end{equation}\] 이는 익스포저 수 \(m\)가 연수 또는 관측값 수 \(n\)를 대체한다는 점을 제외하면 뷜만 신뢰도의 경우와 같은 \(Z\)입니다.

예제 12.4.2. 한 상업용 자동차 보험계약자의 3년간 익스포저와 청구 건수는 다음과 같습니다: \[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Year} & \text{Number of Vehicles} & \text{Number of Claims} \\ \hline 1 & 9 & 5 \\ 2 & 12 & 4 \\ 3 & 15 & 4 \\ \hline \end{array} } \]

• 보험계약자의 차량군에 속한 각 차량의 연간 청구 건수는 동일한 평균(모수) \(\lambda\)을 갖는 포아송 분포를 따릅니다.
• 모수 \(\lambda\)는 모집단의 보험계약자들 사이에서 pdf \(f(\lambda)=6\lambda(1-\lambda)\)(\(0<\lambda<1\))를 따라 분포합니다.

이 보험계약자는 4년차에 차량군에 18대의 차량을 보유하고 있습니다. 뷜만-스트라우브 신뢰도를 사용하여 4년차 보험계약자의 기대 청구 건수를 추정하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 무작위로 선택된 보험계약자의 차량 한 대에 대한 기대 청구 건수는 \(\mu=\mathrm{E}(\lambda)=\int_{0}^{1} \lambda[6\lambda(1-\lambda)] d\lambda=1/2\)입니다. 이 보험계약자의 차량당 평균 청구 건수는 \(\bar{X}\)=13/36입니다. 차량 한 대에 대한 과정 분산의 기댓값은 \(EPV=\mathrm{E}(\lambda)=1/2\)입니다.

보험계약자 간 가설적 평균의 분산은 \(VHM = \mathrm{Var}(\lambda)\) = \(\mathrm{E}(\lambda^2\))-\((\mathrm{E}(\lambda))^2=\int_{0}^{1} \lambda^2[6\lambda(1-\lambda)] d\lambda-(1/2)^2=(3/10)-(1/4)=(6/20)-(5/20)=1/20\)입니다. 따라서 \(K=EPV/VHM\)=(1/2)/(1/20)=10입니다. 경험 기간의 익스포저 수는 \(m=9+12+15=36\)입니다. 신뢰도는 \(Z=36/(36+10)=18/23\)입니다.

차량 한 대의 청구 건수에 대한 신뢰도 가중 추정치는 \(\hat{\mu}(\theta)=Z\bar{X}+(1-Z)\mu\)=(18/23)(13/36)+(5/23)(1/2)=9/23입니다. 4년째에 차량군에 차량이 18대 있으므로 기대 청구 건수는 18(9/23)=162/23=7.04입니다.

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12.5 신뢰도 모수의 추정

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이 절에서는 다음을 배웁니다.

• 뷜만 신뢰도 모형과 뷜만-스트라우브 신뢰도 모형으로 비모수적 추정을 수행하십시오.
• 준모수적 추정이 적절한 상황을 식별합니다.
• 데이터를 사용하여 \(EPV\)와 \(VHM\)를 근사합니다.

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이 장의 예제들에서는 신뢰도 모수를 계산하기 위한 가정이 주어졌습니다. 실제 실무에서 계리사는 현실의 데이터와 판단을 사용하여 신뢰도 모수를 결정해야 합니다.

12.5.1 뷜만 모형과 뷜만-스트라우브 모형의 비모수적 추정

앞서 설명한 베이즈 분석에는 사전분포와 가능도에 대한 가정이 필요합니다. 이러한 가정 없이도 추정값을 산출할 수 있으며, 이러한 방법을 흔히 경험적 베이즈 방법(empirical Bayes methods) 사전분포나 가능도에 대한 가정 없이 경험적 데이터에만 의존하여 신뢰도 가중치를 추정하는 신뢰도 방법라고 부릅니다. 데이터로부터 모수를 추정한 뷜만 신뢰도와 뷜만-스트라우브 신뢰도는 경험적 베이즈 방법의 범주에 포함됩니다.

뷜만 모형. 먼저 더 단순한 뷜만 모형을 다루겠습니다. 모집단에 \(r\)개의 위험이 있다고 가정합니다. 위험모수가 \(\theta_i\)인 위험 \(i\)에 대해 \(n\)개 기간의 손실은 \(X_{i1},\ldots, X_{in}\)입니다. 뷜만 모형에서 가정한 바와 같이, 주어진 위험의 손실은 기간에 걸쳐 iid입니다. 위험 \(i\)에 대해 표본평균은 \(\bar{X}_i=\sum_{j=1}^{n}X_{ij}/n\)이고 불편 표본 과정 분산은 \(s_i^2=\sum_{j=1}^{n}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2/(n-1)\)입니다. \(EPV\)의 불편추정량은 모집단의 \(r\)개 위험에 대한 \(s_i^2\)의 평균을 취하여 계산할 수 있습니다. \[\begin{equation} \widehat{EPV}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{r} s_i^2 = \frac{1}{r(n-1)} \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{n}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2 . \tag{12.5} \end{equation}\] \(i=1,\ldots, r\)에 대한 개별 위험 평균 \(\bar{X}_i\)는 \(VHM\)를 추정하는 데 사용할 수 있습니다. Var(\(\bar{X}_i\))의 불편추정량은 \[\begin{equation*} \widehat{\mathrm{Var}}(\bar{X}_i)=\frac{1}{r-1} \sum_{i=1}^{r}(\bar{X}_i-\bar{X})^2 \textrm{ and } \bar{X}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{r} \bar{X}_i, \end{equation*}\] 이지만, Var(\(\bar{X}_i\))는 \(VHM\)가 아닙니다. 전체 분산 공식, 즉 무조건부 분산 공식은 \[ \mathrm{Var}(\bar{X}_i)=\mathrm{E}_{X}(\mathrm{Var}_{\Theta}(\bar{X}_i|\theta_i))+\mathrm{Var}_{\Theta}(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}_i|\theta_i)). \] 입니다. \(\mu(\theta_i)=\mathrm{E}_{X}(\bar{X}_i|\theta_i)\)가 위험 \(i\)의 가설적 평균이므로 \(VHM\)는 우변의 두 번째 항입니다. 따라서 \[\begin{equation*} VHM= \mathrm{Var}(\bar{X}_i) - \mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}(\bar{X}_i|\theta_i)). \end{equation*}\] 입니다. 앞서 12.2.2절에서 논의한 바와 같이 \(EPV/n\) = \(\mathrm{E}_{\Theta}(\mathrm{Var}_{X}[\bar{X}_i|\theta_i])\)이며, 위의 추정량들을 사용하면 \(VHM\)의 추정량을 얻습니다. \[\begin{equation} \widehat{VHM} = \frac{1}{r-1} \sum_{i=1}^{r}(\bar{X}_i-\bar{X})^2 - \frac{\widehat{EPV}}{n} . \tag{12.6} \end{equation}\] 모수가 \(\theta_i\)인 위험의 기대손실은 \(\mu(\theta_i)\)=\(\mathrm{E}_{X}(\bar{X}_i|\theta_i\))이지만, 표본평균 \(\bar{X}_i\)의 분산은 가설적 평균의 분산보다 크거나 같습니다: \(\mathrm{Var}(\bar{X}_i)\geq\mathrm{Var}(\mu(\theta_i)\)). 표본평균의 분산 \(\mathrm{Var}(\bar{X}_i\))에는 가설적 평균의 분산과 과정 분산 항이 함께 포함됩니다.

경우에 따라 공식 (12.6)은 \(\widehat{EPV}/n\)를 빼기 때문에 \(\widehat{VHM}\)에 대해 음수 값을 산출할 수 있지만, 분산은 음수가 될 수 없습니다. 위험 내 과정 분산이 너무 커서 위험 간 평균의 분산 측정을 압도합니다. 이 경우에는 이 방법을 사용하여 뷜만 신뢰도에 필요한 값을 결정할 수 없습니다.

예제 12.5.1. 두 보험계약자가 아래 표와 같이 3년 동안 청구를 했습니다. 뷜만 신뢰도를 사용하고 필요한 모수를 데이터로부터 계산하여 각 보험계약자의 기대 청구 건수를 추정하십시오. \[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Year} & \text{Risk A} & \text{Risk B} \\ \hline 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\bar{x}_A=\frac{1}{3}(0+1+0)=\frac{1}{3}\), \(\bar{x}_B=\frac{1}{3}(2+1+2)=\frac{5}{3}\)

\(\bar{x}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{5}{3})=1\)

\(s_A^2=\frac{1}{3-1}\left[(0-\frac{1}{3})^2+(1-\frac{1}{3})^2+(0-\frac{1}{3})^2\right]=\frac{1}{3}\)

\(s_B^2=\frac{1}{3-1}\left[(2-\frac{5}{3})^2+(1-\frac{5}{3})^2+(2-\frac{5}{3})^2\right]=\frac{1}{3}\)

\(\widehat{EPV}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\)

\(\widehat{VHM}=\frac{1}{2-1}\left[(\frac{1}{3}-1)^2+(\frac{5}{3}-1)^2\right]-\frac{1/3}{3}=\frac{7}{9}\)

\(K=\frac{1/3}{7/9}=\frac{3}{7}\)

\(Z=\frac{3}{3+(3/7))}=\frac{7}{8}\)

\(\hat{\mu}_A=\frac{7}{8}\left(\frac{1}{3}\right)+(1-\frac{7}{8})1=\frac{5}{12}\)

\(\hat{\mu}_B=\frac{7}{8}\left(\frac{5}{3}\right)+(1-\frac{7}{8})1=\frac{19}{12}\)

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예제 12.5.2. 두 보험계약자가 아래 표와 같이 3년 동안 청구를 했습니다. \(VHM\)의 비모수적 추정값을 계산하십시오.

\[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Year} & \text{Risk A} & \text{Risk B} \\ \hline 1 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\bar{x}_A=\frac{1}{3}(3+0+0)=1\), \(\bar{x}_B=\frac{1}{3}(3+0+3)=2\)

\(\bar{x}=\frac{1}{2}(1+2)=\frac{3}{2}\)

\(s_A^2=\frac{1}{3-1}\left[(3-1)^2+(0-1)^2+(0-1)^2\right]=3\)

\(s_B^2=\frac{1}{3-1}\left[(3-2)^2+(0-2)^2+(3-2)^2\right]=3\)

\(\widehat{EPV}=\frac{1}{2}(3+3)=3\)

\(\widehat{VHM}=\frac{1}{2-1}\left[(1-\frac{3}{2})^2+(2-\frac{3}{2})^2\right]-\frac{3}{3}=-\frac{1}{2}.\)

과정 분산이 너무 커서 \(VHM\)를 추정할 수 없습니다.

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뷜만-스트라우브 모형 뷜만-스트라우브 모형에서 \(EPV\)와 \(VHM\)에 대한 경험적 공식은 위험의 익스포저 수가 기간마다 달라질 수 있기 때문에 더 복잡합니다. 또한 경험 기간의 수가 모집단 전체에서 일정할 필요도 없습니다. 먼저 몇 가지 정의를 살펴보겠습니다.

• \(X_{ij}\)는 기간 \(j\)에서 위험 \(i\)의 익스포저당 손실입니다. 손실은 청구 건수를 의미할 수도 있고 손실 금액을 의미할 수도 있습니다. 위험이 \(r\)개 있으므로 \(i=1,\ldots,r\)입니다.
• \(n_i\)은 위험 \(i\)의 관찰 기간 수입니다
• \(m_{ij}\)는 \(j=1,\ldots,n_i\)에 대해 기간 \(j\)에서 위험 \(i\)의 익스포저 수입니다

위험모수가 \(\theta_i\)인 위험 \(i\)은 기간 \(j\)에 \(m_{ij}\)개의 익스포저를 가지며, 이는 익스포저당 손실 확률변수를 \(X_{ij}=(Y_{i1}+\cdots+Y_{im_{ij}})/m_{ij}\)로 쓸 수 있음을 의미합니다. 확률변수 \(Y_{ik}\)는 익스포저 하나에 대한 손실입니다. 위험 \(i\)에 대해 손실 \(Y_{ik}\)는 평균이 \(\mathrm{E}_{Y}(Y_{ik}|\theta_{i})=\mu(\theta_i)\)이고 과정 분산이 \(\mathrm{Var}_{Y}(Y_{ik}|\theta_{i}) =\sigma^2(\theta_{i})\)인 iid입니다. 따라서 \(\mathrm{Var}_{Y}(X_{ij}|\theta_{i})\) = \(\sigma^2(\theta_i)/m_{ij}\)입니다.

중요한 정의가 두 가지 더 있습니다.

• \(\bar{X}_i=\frac{1}{m_i}\sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}X_{ij}\) 단, \(m_i = \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}\). \(\bar{X}_i\)는 모든 관찰 기간을 합한 위험 \(i\)의 익스포저당 평균 손실입니다.
• \(\bar{X}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{r} m_i \bar{X}_i\) 단, \(m=\sum_{i=1}^r m_i\). \(\bar{X}\)는 모든 관찰 기간을 합한 모든 위험의 익스포저당 평균 손실입니다.

위험 \(i\)의 익스포저 하나에 대한 과정 분산 \(\sigma^2(\theta_i)\)의 불편추정량은 \[\begin{equation*} {s_i}^2=\frac{\sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2}{n_i-1}. \end{equation*}\] 입니다. \(X_{ij}\)는 \(m_{ij}\)개 익스포저의 평균이므로 제곱 차이에 가중치 \(m_{ij}\)를 적용합니다. 모집단 내 각 위험 \(i\)의 표본분산 \({s_i}^2\)을 \((n_i-1)\)개 관찰 기간의 수에 비례하는 가중치로 가중평균하면 과정 분산의 기댓값(\(EPV\)) 추정값 \[\begin{equation*} \widehat{EPV}=\frac{\sum_{i=1}^r (n_i-1){s_i}^2}{\sum_{i=1}^r (n_i-1)}=\frac{\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2}{\sum_{i=1}^r (n_i-1)}. \end{equation*}\] 이 산출됩니다. 수량 \(\widehat{EPV}\)은 모집단에서 무작위로 선택한 위험의 익스포저 하나에 대한 과정 분산의 기댓값의 불편추정량입니다.

가설적 평균의 분산(\(VHM\))에 대한 추정량을 계산하기 위해 개별 위험 표본평균 \(\bar{X}_i\)과 모집단 평균 \(\bar{X}\)의 차이의 제곱을 사용합니다. \(VHM\)의 불편추정량은 \[\begin{equation*} \widehat{VHM}=\frac{\sum_{i=1}^r m_i(\bar{X}_i-\bar{X})^2 - (r-1)\widehat{EPV}}{m-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^r m_i^2}. \end{equation*}\] 입니다. 익스포저 수가 달라지기 때문에 이처럼 복잡한 공식이 필요합니다. 위에 제시한 \(EPV\) 및 \(VHM\) 추정량이 불편추정량이라는 증명은 (Bühlmann and Gisler 2005), (Klugman, Panjer, and Willmot 2012), (Tse 2009)를 비롯하여 이 장의 끝에 언급된 여러 참고문헌에서 찾아볼 수 있습니다.

예제 12.5.3. 두 보험계약자의 청구는 아래 표와 같습니다. 뷜만-스트라우브 신뢰도를 사용하고 모수를 데이터로부터 계산하여 각 보험계약자의 차량당 기대 청구 건수를 추정하십시오.

\[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Policyholder} & & \text{Year 1} & \text{Year 2} & \text{Year 3} & \text{Year 4} \\ \hline \text{A} & \text{Number of claims} & 0 & 2 & 2 & 3 \\ \hline \text{A} & \text{Insured vehicles} & 1 & 2 & 2 & 2\\ \hline & & & & & \\ \hline \text{B} & \text{Number of claims} & 0 & 0 & 1 & 2\\ \hline \text{B} & \text{Insured vehicles} & 0 & 2 & 3 & 4\\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\bar{x}_A=\frac{0+2+2+3}{1+2+2+2}=1\)

\(\bar{x}_B=\frac{0+1+2}{2+3+4}=\frac{1}{3}\)

\(\bar{x}=\frac{7(1)+9(1/3)}{7+9}=\frac{5}{8}\)

\(s_A^2=\frac{1}{4-1}\left[1(0-1)^2+2(1-1)^2+2(1-1)^2+2(\frac{3}{2}-1)^2\right]=\frac{1}{2 }\)

\(s_B^2=\frac{1}{3-1}\left[2(0-\frac{1}{3})^2+3(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})^2+4(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})^2\right]=\frac{1}{6}\)

\(\widehat{EPV}=\left[3\left(\frac{1}{2}\right)+2\left(\frac{1}{6}\right)\right]/(3+2)=\frac{11}{30}=0.3667\)

\(\widehat{VHM}=\left[(7(1-\frac{5}{8})^2+9(\frac{1}{3}-\frac{5}{8})^2-(2-1)\frac{11}{30}\right]/\left[16-\left(\frac{1}{16}\right)(7^2+9^2)\right]=0.1757\)

\(K=\frac{0.3667}{0.1757}=2.0871\)

\(m_A=7\), \(m_B=9\)

\(Z_A=\frac{7}{7+2.0871}=0.7703\), \(Z_B=\frac{9}{9+2.0871}=0.8118\)

\(\hat{\mu}_A=0.7703(1)+(1-0.7703)(5/8)=0.9139\)

\(\hat{\mu}_B=0.8118(1/3)+(1-0.8118)(5/8)=0.3882 .\)

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12.5.2 뷜만 및 뷜만-스트라우브 모형의 준모수적 추정

비모수적 추정(nonparametric estimation) 데이터에 적합한 함수 형태에 대해 사전분포, 제약 조건, 모수를 전혀 가정하지 않는 통계적 방법에 관한 앞 절에서는 익스포저당 손실 \(X_{ij}\)의 분포에 대해 아무런 가정도 하지 않았습니다. \(X_{ij}\)가 특정 분포를 따른다고 가정하고, 그 분포의 성질을 데이터와 함께 사용하여 신뢰도 모수를 결정하는 것을 준모수적 추정(semiparametric estimation) 익스포저당 손실 확률변수에 대해서는 분포를 가정하고, 그 외에는 경험적 데이터를 사용하는 신뢰도 방법이라고 합니다.

준모수적 추정의 예로는 청구 빈도를 추정할 때 포아송 분포를 가정하는 것을 들 수 있습니다. 포아송 분포는 평균과 분산이 같다는 성질을 가지며, 이 성질은 계산을 단순화할 수 있습니다. 다음의 간단한 예제는 앞 절에서 가져온 것이지만, 이번에는 청구 빈도에 대한 포아송 가정을 포함합니다.

예제 12.5.4. 두 보험계약자는 아래 표와 같이 3년 동안 청구가 발생했습니다. 각 위험의 청구 건수가 포아송 분포를 따른다고 가정하십시오. 뷜만 신뢰도를 사용하고 필요한 모수를 데이터로부터 계산하여 각 보험계약자의 기대 청구 건수를 추정하십시오. \[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Year} & \text{Risk A} & \text{Risk B} \\ \hline 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\bar{x}_A=\frac{1}{3}(0+1+0)=\frac{1}{3}\), \(\bar{x}_B=\frac{1}{3}(2+1+2)=\frac{5}{3}\)

\(\bar{x}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{5}{3})=1\)

포아송 가정 하에서 위험 A의 추정 분산은 \(\hat\sigma_A^2=\bar{x}_A=\frac{1}{3}\)입니다

마찬가지로, \(\hat\sigma_B^2=\bar{x}_B=\frac{5}{3}\)입니다

\(\widehat{EPV}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{5}{3})=1\). 포아송 가정에 의해 이것은 또한 \(\bar{x}\)입니다.

\(\widehat{VHM}=\frac{1}{2-1}\left[(\frac{1}{3}-1)^2+(\frac{5}{3}-1)^2\right]-\frac{1}{3}=\frac{5}{9}\)

\(K=\frac{1}{5/9}=\frac{9}{5}\)

\(Z_A=Z_B=\frac{3}{3+(9/5)}=\frac{5}{8}\)

\(\hat{\mu}_A=\frac{5}{8}\left(\frac{1}{3}\right)+(1-\frac{5}{8})1=\frac{7}{12}\)

\(\hat{\mu}_B=\frac{5}{8}\left(\frac{5}{3}\right)+(1-\frac{5}{8})1=\frac{17}{12}.\)

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앞의 예제에서는 각 위험의 청구 건수가 포아송 분포를 따른다고 가정했지만, 비모수적 추정을 사용할 수 있을 만큼 정보가 충분했으므로 이 추가 가정은 필요하지 않았습니다. 실제로 위험 B의 경우 표본평균이 표본분산과 같지 않으므로 포아송 가정이 적절하지 않을 수 있습니다: \(\bar{x}_B=\frac{5}{3}\neq s_B^2=\frac{1}{3}\).

다음 예제는 준모수적 추정이 필요한 상황을 보여 주기 위해 흔히 사용됩니다. 비모수적 추정을 하기에는 정보가 불충분하지만, 포아송 가정을 하면 추정값을 계산할 수 있습니다.

예제 12.5.5. 2,000명의 보험계약자로 구성된 포트폴리오에서 5년 동안 다음과 같은 청구 분포가 발생했습니다: \[ \small{ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Number of Claims} & \\ \text{In 5 Years} & \text{Number of policies}\\ \hline 0 & 923 \\ 1 & 682 \\ 2 & 249 \\ 3 & 70 \\ 4 & 51 \\ 5 & 25 \\ \hline \end{array} } \]

모형에서 각 보험계약자의 청구 건수는 포아송 분포를 따르며, 보험계약자의 기대 청구 건수는 시간에 따라 일정하다고 가정합니다. 뷜만 신뢰도를 사용하여 5년 동안 3건의 청구가 있었던 보험계약자의 연간 기대 청구 건수를 추정하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. \(\theta_i\)를 평균이 \(\mu(\theta_i)\)이고 분산이 \(\sigma^2(\theta_i)\)인 포트폴리오 내 \(i^{th}\) 위험의 위험모수라고 합시다. 포아송 가정 하에서 \(\mu(\theta_i)=\sigma^2(\theta_i)\)입니다. 과정 분산의 기댓값은 \(EPV=\mathrm{E}(\sigma^2(\theta_i)\))이며, 여기서 기댓값은 모집단의 모든 위험에 걸쳐 취해집니다. 모든 위험에 대한 포아송 가정에 의해 \(EPV=\mathrm{E}(\sigma^2(\theta_i))\) = \(\mathrm{E}(\mu(\theta_i))\)가 성립합니다. 연간 기대 청구 건수의 추정값은 \(\hat{\mu}(\theta_i)\)= (관측된 청구 건수)/5입니다. 이는 한 위험에 대한 과정 분산의 기댓값의 추정값으로도 사용할 수 있습니다. 과정 분산 추정값(또는 평균)에 각 그룹의 보험계약 수로 가중치를 주면 추정량 \[\begin{equation*} \widehat{EPV}=\bar{x}=\frac{923(0)+682(1)+249(2)+70(3)+51(4)+25(5)}{(5)(2000)}=0.1719. \end{equation*}\] 를 얻습니다. 식 ((12.6))을 사용하면 \(VHM\) 추정량은 다음과 같습니다 \[\begin{eqnarray*} \widehat{VHM}&=&\frac{1}{2000-1}[923(0-0.1719)^2+682(0.20-0.1719)^2+249(0.40-0.1719)^2\\ & &+70(0.60-0.1719)^2+51(0.80-0.1719)^2+25(1-0.1719)^2]-\frac{0.1719}{5}\\ &=& 0.0111\\ \hat{K} &=& \widehat{EPV}/\widehat{VHM}=0.1719/0.0111=15.49\\ \hat{Z} &=& \frac{5}{5+15.49}=0.2440\\ \hat{\mu}_{3 \textrm{ claims}}& = & 0.2440(3/5)+(1-0.2440)0.1719=0.2764 .\\ \end{eqnarray*}\]

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12.6 제한 변동 신뢰도

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이 절에서는 다음을 학습합니다:

• 청구 건수, 평균 청구 규모, 총손실에 대한 완전 신뢰도 기준을 계산합니다.
• 기저 분포의 평균과 분산 사이의 관계가 완전 신뢰도 기준에 어떤 영향을 미치는지 학습합니다.
• 제곱근 부분 신뢰도 공식을 사용하여 신뢰도 가중치 \(Z\)를 결정합니다.

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제한변동 신뢰도(Limited fluctuation credibility) 추정치의 변동을 제한하고자 하는 신뢰도 방법, “고전적 신뢰도(classical credibility)” 및 “미국식 신뢰도(American credibility)”라고도 불리며, 이 방법이 청구 빈도, 심도 또는 손실 추정값의 변동을 명시적으로 제한하려 하기 때문에 이러한 이름이 붙었습니다. 예를 들어, 보험 요율 등급에 속한 위험 집단의 기대 청구 건수 \(N\)를 추정하려 한다고 가정하십시오. 추정값이 지정된 수준의 정확도를 달성하도록 보장하려면 해당 등급에 몇 개의 위험이 필요하겠습니까? 먼저 몇 건의 청구가 필요한지의 관점에서 이 질문을 살펴보겠습니다.

12.6.1 청구 빈도에 대한 완전 신뢰도

\(N\)을 위험 집단, 예를 들어 특정 요율 분류 내 위험들의 청구 건수를 나타내는 확률변수라고 합시다. 관측된 청구 건수는 기대 청구 건수인 \(\mu_N=\mathrm{E}[N]\)을 추정하는 데 사용됩니다. 좋은 추정값을 얻으려면 \(\mu_N\)이 얼마나 커야 합니까? 추정의 정확도를 정량화하는 한 가지 방법은 ``\(N\)의 관측값이 최소 90\(\%\)의 확률로 \(\mu_N\)의 5\(\%\) 이내에 있어야 합니다.”와 같은 진술을 사용하는 것입니다. 이를 수식으로 표현하면 \(\Pr[0.95 \mu_N \leq N \leq 1.05 \mu_N] \geq 0.90\)입니다. 범위 모수 \(k\)로 5\(\%\)를 대체하고 확률 수준 \(p\)로 0.90을 대체하여 이 진술을 일반화하면 다음 식을 얻습니다. \[\begin{equation} \Pr[(1-k) \mu_N \leq N \leq (1+k) \mu_N] \geq p . \tag{12.7} \end{equation}\] (12.7)의 좌변에 있는 확률이 \(p\)와 같아지는 데 필요한 기대 청구 건수를 완전 신뢰도 기준(full credibility standard) 피보험자 자신의 경험에 100% 신뢰도를 부여하는 데 필요한 경험량의 기준치이라고 합니다.

기대 청구 건수가 완전 신뢰도 기준 이상이면 데이터에 완전 신뢰도를 부여할 수 있으므로 \(Z=1\)이 됩니다. 일반적으로 기댓값 \(\mu_N\)은 알려져 있지 않으므로, 실제로 관측된 청구 건수 \(n\)이 완전 신뢰도 기준 이상이면 데이터에 완전 신뢰도를 부여합니다. \(k\)와 \(p\) 값은 선택해야 하며, 계리사는 이를 선택할 때 경험, 판단 및 기타 요인에 의존할 수 있습니다.

(12.7)의 각 항에서 \(\mu_N\)을 빼고 \(N\)의 표준편차 \(\sigma_N\)으로 나누면 다음을 얻습니다. \[\begin{equation} \Pr\left[\frac{-k\mu_N}{\sigma_N}\leq \frac{N-\mu_N}{\sigma_N} \leq \frac{k\mu_N}{\sigma_N}\right] \geq p. \tag{12.8} \end{equation}\] 제한 변동 신뢰도에서는 \((N-\mu_N)/\sigma_N\)의 분포를 근사하기 위해 표준정규분포를 사용합니다. \(N\)이 유사한 위험들로 이루어진 큰 집단에서 발생한 많은 청구의 합이고 각 청구가 독립이라면, 이 근사는 타당할 수 있습니다.

\(y_p\)를 다음을 만족하는 값이라고 합시다. \[ \Pr[-y_p\leq \frac{N-\mu_N}{\sigma_N} \leq y_p]=\Phi(y_p)-\Phi(-y_p)=p \] 여기서 \(\Phi( )\)는 표준정규분포의 누적분포함수(cumulative distribution function of the standard normal) 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포의 누적밀도함수입니다. \(\Phi(-y_p)=1-\Phi(y_p)\)이므로, 이 등식은 \(2\Phi(y_p)-1=p\)로 다시 쓸 수 있습니다. \(y_p\)에 대해 풀면 \(y_p=\Phi^{-1}((p+1)/2)\)를 얻으며, 여기서 \(\Phi^{-1}( )\)는 \(\Phi( )\)의 역함수입니다.

정규근사를 가정하면 \(k\mu_N/\sigma_N \geq y_p\)일 때 식 (12.8)이 성립합니다. 먼저 \(N\)이 포아송 분포 \(\Pr[N=n] = \lambda^n\textrm{e}^{-\lambda}/n!\)를 따르는 경우에 대해 이 부등식을 살펴보겠습니다. 포아송 분포에서는 \(\lambda=\mu_N=\sigma_N^2\)이므로, 제곱근을 취하면 \(\mu_N^{1/2}=\sigma_N\)을 얻습니다. 따라서 \(k\mu_N/\mu_N^{1/2} \geq y_p\)이며, 이는 \(\mu_N \geq (y_p/k)^2\)과 동치입니다. 등호가 성립하는 \(\mu_N\)의 값을 \(\lambda_{kp}\)로 정의합시다. 그러면 포아송 분포에 대한 완전 신뢰도 기준은 다음과 같습니다. \[\begin{equation} \lambda_{kp} = \left(\frac{y_p}{k}\right)^2 \textrm{with } y_p=\Phi^{-1}((p+1)/2). \tag{12.9} \end{equation}\] 기대 청구 건수 \(\mu_N\)이 \(\lambda_{kp}\) 이상이면 식 (12.7)이 성립한다고 가정하며, 데이터에 완전 신뢰도를 부여할 수 있습니다. 앞서 언급했듯이 \(\mu_N\)은 일반적으로 알려져 있지 않으므로, 관측된 청구 건수 \(n\)이 \(n \geq \lambda_{kp}.\)를 만족하면 완전 신뢰도를 부여합니다.

예제 12.6.1. 관측된 청구 건수가 확률 \(p=0.95\)로 기댓값의 5% 이내에 있도록 완전 신뢰도 기준을 설정합니다. 청구 건수가 포아송 분포를 따른다면, 완전 신뢰도에 필요한 청구 건수를 구하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 표준정규분포표를 참조하면 \(y_p=\Phi^{-1}((p+1)/2)=\Phi^{-1}((0.95+1)/2)\)=\(\Phi^{-1}(0.975)=1.960\)입니다. 이 값과 \(k=.05\)를 사용하면 \(\lambda_{kp} = (y_p/k)^{2}=(1.960/0.05)^{2}=1,536.64\)입니다. 올림하면 완전 신뢰도 기준은 1,537입니다.

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청구가 포아송 분포를 따르지 않으면, 식 (12.8)이 (12.9)을 함의하지 않습니다. (12.8)에서 \((N-\mu_N)/\sigma_N\)의 상한을 \(y_p\)와 같게 놓으면 \(k\mu_N/\sigma_N=y_p\)를 얻습니다. 양변을 제곱하고 \(\mu_N\) 하나를 제외한 모든 것을 우변으로 옮기면 \(\mu_N=(y_p/k)^2(\sigma_N^2/\mu_N)\)을 얻습니다. 이것이 빈도에 대한 완전 신뢰도 기준이며, \(n_f\)로 나타냅니다. \[\begin{equation} n_f=\left(\frac{y_p}{k}\right)^2\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}\right)=\lambda_{kp}\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}\right). \tag{12.10} \end{equation}\] 이 식은 \((\sigma_N^2/\mu_N)\) 승수를 제외하면 포아송 완전 신뢰도 기준과 같은 식입니다. 청구 분포가 포아송 분포이면 분산이 평균과 같으므로 이 추가 항은 1이 됩니다.

예제 12.6.2. 완전 신뢰도 기준은 총 청구 건수가 확률 \(p=0.95\)로 관측값의 5\(\%\) 이내에 있도록 설정됩니다. 청구 건수는 음이항 분포 \[ \Pr(N=x)={x+r-1\choose x} \left(\frac{1}{1+\beta}\right)^r \left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^x , \] 를 따르며, \(\beta=1\)입니다. 완전 신뢰도 기준을 계산하십시오.

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Example Solution. 앞의 예제로부터 \(\lambda_{kp} =1,536.64\)입니다. 음이항 분포의 평균과 분산은 \(\mathrm{E}(N)=r\beta\)와 \(\mathrm{Var}(N)=r\beta(1+\beta)\)이므로 \((\sigma_N^2/\mu_N)=(r\beta(1+\beta)/(r\beta))=1+\beta\)이며, 이는 \(\beta=1\)일 때 2와 같습니다. 따라서 \(n_f=\lambda_{kp}(\sigma_N^2/\mu_N)=1,536.64(2)=3,073.28\)이고, 올림하면 완전 신뢰도 기준은 3,074가 됩니다.

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\((\sigma_N^2/\mu_N)>1\)인 음이항 분포는 동일한 \(k\) 및 \(p\) 값에 대하여 포아송 분포보다 완전 신뢰도를 위해 더 많은 청구 건수를 필요로 함을 알 수 있습니다. 다음 예제는 \((\sigma_N^2/\mu_N)<1\)인 이항분포가 완전 신뢰도를 위해 더 적은 청구를 필요로 한다는 것을 보여 줍니다.

예제 12.6.3. 완전 신뢰도 기준은 총 청구 건수가 확률 \(p=0.95\)로 관측값의 5\(\%\) 이내에 있도록 설정됩니다. 청구 건수는 이항분포 \[ \Pr(N=x)={m\choose x}q^x(1-q)^{m-x}. \] 를 따릅니다. \(q=1/4\)에 대한 완전 신뢰도 기준을 계산하십시오.

예제 풀이 보기

Example Solution. 이 절의 첫 번째 예제로부터 \(\lambda_{kp} =1,536.64\)입니다. 이항 분포의 평균과 분산은 \(\mathrm{E}(N)=mq\)와 \(\mathrm{Var}(N)=mq(1-q)\)이므로 \((\sigma_N^2/\mu_N)=(mq(1-q)/(mq))=1-q\)이며, 이는 \(q=1/4\)일 때 3/4과 같습니다. 따라서 \(n_f=\lambda_{kp}(\sigma_N^2/\mu_N)=1,536.64(3/4)=1,152.48\)이고, 올림하면 완전 신뢰도 기준은 1,153이 됩니다.

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완전 신뢰도 기준을 정의할 때 기대 청구 건수를 사용하는 대신, 익스포저 수를 완전 신뢰도 기준으로 사용할 수 있습니다. 익스포저는 위험의 척도입니다. 예를 들어, 1년 내내 보험에 가입된 자동차 한 대는 1 차량-연(car-year)이 됩니다. 각각 정확히 반년씩 보험에 가입된 자동차 두 대 역시 1 차량-연이 됩니다. 차량-연은 손실에 대한 익스포저를 정량화하려는 것입니다. 차량들의 손실 위험이 동일하다면, 2 차량-연은 1 차량-연보다 두 배 많은 청구를 발생시킬 것으로 기대됩니다. 청구 건수 단위로 표시된 완전 신뢰도 기준을 익스포저 단위로 표시된 완전 신뢰도 기준으로 변환하려면 익스포저당 기대 청구 건수에 대한 합리적인 추정치가 필요합니다.

예제 12.6.4. 완전 신뢰도 기준은 관측된 청구 건수가 확률 \(p=0.95\)로 기댓값의 5\(\%\) 이내에 있도록 선택되어야 합니다. 청구 건수는 포아송 분포를 따릅니다. 익스포저 하나당 연간 약 0.20건의 청구가 기대된다면, 완전 신뢰도에 필요한 익스포저 수를 구하십시오.

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Example Solution. \(p=0.95\)이고 \(k=.05\)일 때, 완전 신뢰도를 위해서는 \(\lambda_{kp} = (y_p/k)^{2}=(1.960/0.05)^{2}=1,536.64\)건의 청구가 필요합니다. 청구 빈도율은 익스포저당 0.20건입니다. 완전 신뢰도 기준을 익스포저 단위로 표시된 기준으로 변환하는 계산은 다음과 같습니다: (1,536.64 청구)/(0.20 청구/익스포저) = 7,683.20 익스포저. 이를 올림하면 7,684가 됩니다.

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빈도는 익스포저당 청구 건수로 정의할 수 있습니다. \(m\)이 익스포저 수를 나타낸다고 합시다. 그러면 관측된 청구 빈도 \(N/m\)를 \(\mathrm{E}(N/m)\)를 추정하는 데 사용하는 경우 다음과 같습니다:
\[ \Pr[(1-k)\mathrm{E}(N/m)\leq N/m \leq(1+k)\mathrm{E}(N/m)] \geq p. \] 익스포저 수는 확률변수가 아니므로 \(\mathrm{E}(N/m)=\mathrm{E}(N)/m=\mu_N/m\)이고, 앞의 식은 \[ \Pr\left[(1-k)\frac{\mu_N}{m}\leq \frac{N}{m} \leq(1+k)\frac{\mu_N}{m}\right] \geq p. \] 가 됩니다. 양변에 \(m\)를 곱하면 이 절의 처음에 나온 식 (12.7)이 됩니다. 기대 청구 건수를 추정하기 위해 개발된 완전 신뢰도 기준은 빈도에도 적용됩니다.

12.6.2 총손실과 순보험료에 대한 완전 신뢰도

총손실은 한 위험 또는 위험 집단의 모든 손실 금액의 합계입니다. \(S\)가 총손실을 나타낸다고 하면 \[ S=X_1+X_2+\cdots+X_N. \] 확률변수 \(N\)은 손실 건수를 나타내고 확률변수 \(X_1, X_2,\ldots,X_N\)는 개별 손실 금액입니다. 이 절에서는 \(N\)이 손실 금액과 독립이며 \(X_1, X_2,\ldots,X_N\)가 iid(iid) 독립적이고 동일하게 분포된라고 가정합니다.

\(S\)의 평균과 분산은 \[ \mu_S=\mathrm{E}(S)=\mathrm{E}(N)\mathrm{E}(X)=\mu_N\mu_X \] 와 \[ \sigma^{2}_S=\mathrm{Var}(S)=\mathrm{E}(N)\mathrm{Var}(X)+[\mathrm{E}(X)]^{2}\mathrm{Var}(N)=\mu_N\sigma^{2}_X+\mu^{2}_X\sigma^{2}_N , \] 이며, 여기서 \(X\)는 단일 손실의 금액입니다. 이 체계에 대한 더 자세한 논의는 7.3절의 집합적 위험 모형에 관한 논의를 참조하십시오.

관측 손실 \(S\)를 사용하여 기대손실 \(\mu_S=\mathrm{E}(S)\)를 추정합니다. 앞 절의 빈도 모형과 마찬가지로, 관측 손실은 식 \[ \Pr[(1-k)\mu_S\leq S \leq(1+k)\mu_S] \geq p. \] 로 정량화한 바와 같이 기대손실에 가까워야 합니다. 평균을 빼고 표준편차로 나누면 \[ \Pr\left[\frac{-k\mu_S}{\sigma_S}\leq (S-\mu_S)/\sigma_S \leq \frac{k\mu_S}{\sigma_S}\right] \geq p . \] 앞 절에서와 같이 \((S-\mu_S)/\sigma_S\)의 분포는 표준정규분포로 가정하고 \(k\mu_S/\sigma_S=y_p=\Phi^{-1}((p+1)/2)\)입니다. 이 식은 \(\mu_S^2=(y_p/k)^2\sigma_S^2\)로 다시 쓸 수 있습니다. \(\mu_S\)와 \(\sigma_{S}^2\)에 대한 앞의 공식을 사용하면 \((\mu_N\mu_X)^2=(y_p/k)^2(\mu_N\sigma^{2}_X+\mu^{2}_X\sigma^{2}_N)\)를 얻습니다. 양변을 \(\mu_N\mu_X^2\)로 나누고 우변의 항을 재배열하면 총손실에 대한 완전 신뢰도 기준 \(n_S\)를 얻습니다. \[\begin{equation} n_S=\left(\frac{y_p}{k}\right)^2\left[\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}\right)+\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2\right]=\lambda_{kp}\left[\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}\right)+\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2\right]. \tag{12.11} \end{equation}\]

예제 12.6.5. 청구 건수는 포아송 분포를 따릅니다. 개별 손실 금액은 서로 독립이며 파레토 분포 \(F(x)=1-[\theta/(x+\theta)]^{\alpha}\)를 따르도록 동일하게 분포된 확률변수입니다. 청구 건수와 손실 금액은 독립입니다. 관측된 총손실이 확률 \(p=0.95\)로 기댓값의 5\(\%\) 이내에 있어야 한다면, 완전 신뢰도를 위해 필요한 손실 건수는 얼마입니까?

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Example Solution. 청구 건수가 포아송 분포를 따르므로 \((\sigma_N^2/\mu_N)=1\)입니다. 파레토 분포의 평균은 \(\mu_X=\theta/(\alpha-1)\)이고 분산은 \(\sigma_X^2=\theta^{2}\alpha/[(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)]\)이므로 \((\sigma_X/\mu_X)^2=\alpha/(\alpha-2)\)입니다. 빈도 항과 심도 항을 결합하면 \([(\sigma_N^2/\mu_N)+(\sigma_X/\mu_X)^2]=2(\alpha-1)/(\alpha-2)\)를 얻습니다. 표준정규분포표에서 \(y_p=\Phi^{-1}((0.95+1)/2)=1.960\)입니다. 완전 신뢰도 기준은 \(n_S=(1.96/0.05)^{2}[2(\alpha-1)/(\alpha-2)]=3,073.28(\alpha-1)/(\alpha-2)\)입니다. \(\alpha=3\)라고 하면 \(n_S=6,146.56\)이므로 완전 신뢰도 기준은 6,147입니다. 총손실에 대한 완전 신뢰도를 위해서는 빈도만 고려할 때보다 상당히 많은 청구 건수가 필요하다는 점에 유의하십시오.

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청구 건수가 포아송 분포를 따르면 \((\sigma_N^2/\mu_N)=1\)를 사용하여 식 (12.11)을 단순화할 수 있습니다. 관계식 \(\mu_X^2+\sigma_X^2=\mathrm{E}(X^2)\)를 사용하면 \[ [(\sigma_N^2/\mu_N)+(\sigma_X/\mu_X)^2]=[1+(\sigma_X/\mu_X)^2]=[(\mu_X^2+\sigma_X^2)/\mu_X^2]=\mathrm{E}(X^2)/\mathrm{E}(X)^2 \] 가 성립합니다. 완전 신뢰도 기준은 \(n_S=\lambda_{kp}~\mathrm{E}(X^2)/\mathrm{E}(X)^2\)입니다.

순보험료 \(PP\)는 총손실 \(S\)을 익스포저 \(m\)로 나눈 값과 같습니다: \(PP=S/m\). 순보험료에 대한 완전 신뢰도 기준은 다음을 요구합니다. \[ \Pr\left[(1-k)\mu_{PP}\leq PP \leq(1+k)\mu_{PP}\right] \geq p. \] 익스포저 수 \(m\)는 확률변수가 아니라 고정된 값으로 가정하므로 \(\mu_{PP}=\mathrm{E}(S/m)=\mathrm{E}(S)/m=\mu_S/m\)입니다. \[ \Pr\left[(1-k)\left(\frac{\mu_S}{m}\right)\leq \left(\frac{S}{m}\right) \leq(1+k)\left(\frac{\mu_S}{m}\right)\right] \geq p. \] 양변에 \(m\)를 곱하면 손실에 대한 범위가 다시 얻어집니다. \[ \Pr[(1-k)\mu_S\leq S \leq(1+k)\mu_S] \geq p. \] 이는 순보험료에 대한 완전 신뢰도 기준 \(n_{PP}\)이 총손실에 대한 기준과 같다는 것을 의미합니다. \[ n_{PP}=n_S=\lambda_{kp}\left[\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_n}\right)+\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2\right]. \]

12.6.3 심도에 대한 완전 신뢰도

\(X\)를 청구 한 건의 크기를 나타내는 확률변수라고 합시다. 청구 심도는 \(\mu_X=\mathrm{E}(X)\)입니다. \({X_1,X_2, \ldots, X_n}\)가 청구 심도 \(\mu_X\)를 추정하는 데 사용될 \(n\)건의 청구로 이루어진 확률표본이라고 가정합시다. 청구들은 iid라고 가정합니다. 표본의 평균값은 \[ \bar{X}=\frac{1}{n}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right). \] 입니다. 좋은 추정치를 얻으려면 \(n\)는 얼마나 커야 합니까? 총손실 모형에서와 달리 여기서 \(n\)는 확률변수가 아니라는 점에 유의하십시오.

12.6.1절에서는 청구 건수가 지정된 확률로 평균 청구 건수 주위의 지정된 구간 안에 놓이도록 요구함으로써 빈도 추정량의 정확도를 정의했습니다. 심도의 경우 이 요구 조건은 \[ \Pr[(1-k)\mu_X\leq \bar{X} \leq(1+k)\mu_X ]\geq p , \] 이며, 여기서 \(k\)와 \(p\)는 지정되어야 합니다. 12.6.1절의 단계를 따라 각 항에서 평균 청구 심도 \(\mu_X\)를 빼고 각 항을 청구 심도 추정량의 표준편차 \(\sigma_{\bar{X}}\)로 나누면 다음을 얻습니다. \[ \Pr\left[\frac{-k~\mu_X}{\sigma_{\bar{X}}}\leq (\bar{X}-\mu_X)/\sigma_{\bar{X}} \leq \frac{k~\mu_X}{\sigma_{\bar{X}}}\right] \geq p . \] 앞 절들에서와 마찬가지로 \((\bar{X}-\mu_X)/\sigma_{\bar{X}}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다고 가정하며, \(y_p=\Phi^{-1}((p+1)/2)\)일 때 \(k\mu_X/\sigma_{\bar{X}}\geq y_p\)이면 앞의 식이 만족됩니다. \(\bar{X}\)는 개별 청구 \(X_1, X_2,\dots, X_n\)의 평균이므로, 그 표준편차는 개별 청구의 표준편차를 \(\sqrt{n}\)로 나눈 값과 같습니다: \(\sigma_{\bar{X}}=\sigma_X/\sqrt{n}\). 따라서 \(k\mu_X/(\sigma_X/\sqrt{n})\geq y_p\)이며, 약간의 대수 계산을 통해 이를 \(n \geq (y_p/k)^2(\sigma_X/\mu_X)^2\)로 다시 쓸 수 있습니다. 심도에 대한 완전 신뢰도 기준은 다음과 같습니다. \[\begin{equation} n_X=\left(\frac{y_p}{k}\right)^2\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2=\lambda_{kp}\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2. \tag{12.12} \end{equation}\] 항 \(\sigma_X/\mu_X\)는 개별 청구에 대한 변동계수(coefficient of variation) 표준편차를 분포의 평균으로 나눈 값으로, 평균 단위로 변동성을 측정합니다라는 점에 유의하십시오. \(\lambda_{kp}\)는 포아송 분포가 주어졌을 때 빈도에 대한 완전 신뢰도 기준이지만, 청구 건수의 분포에 대해서는 아무런 가정도 하지 않습니다.

예제 12.6.6. 개별 손실 금액은 서로 독립이며 제2종 파레토 분포 \(F(x)=1-[\theta/(x+\theta)]^{\alpha}\)를 따르도록 동일하게 분포된 확률변수입니다. 관측된 청구의 평균 심도가 확률 \(p=0.95\)로 기대 심도의 5\(\%\) 이내에 있으려면 몇 건의 청구가 필요합니까?

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Example Solution. 파레토 분포의 평균은 \(\mu_X=\theta/(\alpha-1)\)이고 분산은 \(\sigma_X^2=\theta^{2}\alpha/[(\alpha-1)^{2}(\alpha-2)]\)이므로 \((\sigma_X/\mu_X)^2=\alpha/(\alpha-2)\)입니다. 표준정규분포표로부터 \(y_p=\Phi^{-1}((0.95+1)/2)=1.960\)입니다. 완전 신뢰도 기준은 \(n_X=(1.96/0.05)^{2}[\alpha/(\alpha-2)]=1,536.64\alpha/(\alpha-2)\)입니다. \(\alpha=3\)라고 가정하면 \(n_X=4,609.92\)이므로 완전 신뢰도 기준은 4,610입니다.

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12.6.4 부분 신뢰도

앞 절들에서는 빈도(\(n_f\)), 순보험료(\(n_{PP}\)), 심도(\(n_X\))를 추정하기 위한 완전 신뢰도 기준을 계산했습니다. 이 절에서는 이러한 완전 신뢰도 기준을 \(n_{0}\)로 표기합니다. 각 경우에 완전 신뢰도 기준은 경험 데이터를 사용하여 기댓값을 추정할 때 정해진 수준의 정확도를 달성하는 데 필요한 기대 청구 건수였습니다. 관측된 청구 건수가 완전 신뢰도 기준보다 크거나 같으면 데이터에 완전 신뢰도 가중치 \(Z=1\)를 부여합니다.

제한 변동 신뢰도에서 데이터에 부여되는 신뢰도 가중치 \(Z\)는 다음과 같습니다. \[ Z= \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{n /n_{0}} &\textrm{if } n < n_{0} \\ 1 & \textrm{if } n \ge n_{0} , \end{array} \right. \]

여기서 \(n_0\)는 완전 신뢰도 기준입니다. 값 \(n\)는 기대 빈도, 심도 또는 순보험료를 추정하는 데 사용되는 데이터의 청구 건수입니다.

예제 12.6.7. 청구 건수는 포아송 분포를 따릅니다. 개별 손실 금액은 제2종 파레토 분포 \(F(x)=1-[\theta/(x+\theta)]^{\alpha}\)를 따르며 서로 독립이고 동일하게 분포된 확률변수입니다. \(\alpha=3\)이라고 가정합니다. 청구 건수와 손실 금액은 서로 독립입니다. 완전 신뢰도 기준은 관측된 순보험료가 확률 \(p=0.95\)로 기댓값의 5\(\%\) 이내에 있어야 한다는 것입니다. 1,000건의 청구로부터 계산된 순보험료에 부여되는 신뢰도 \(Z\)는 얼마입니까?

예제 풀이 보기

Example Solution. 청구 건수가 포아송 분포를 따르므로 \[ \frac{\mathrm{E}(X^2)}{[\mathrm{E}~(X)]^2} =\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}+\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2. \] 파레토 분포의 평균은 \(\mu_X=\theta/(\alpha-1)\)이고 2차 적률은 \(\mathrm{E}(X^2)=2\theta^{2}/[(\alpha-1)(\alpha-2)]\)이므로 \(\mathrm{E}(X^2)/[\mathrm{E}~(X)]^2=2(\alpha-1)/(\alpha-2)\)입니다. 표준정규분포표로부터 \(y_p=\Phi^{-1}((0.95+1)/2)=1.960\)입니다. 완전 신뢰도 기준은 \[ n_{PP}=(1.96/0.05)^{2}[2(\alpha-1)/(\alpha-2)]=3,073.28(\alpha-1)/(\alpha-2) \] 이며, \(\alpha=3\)이면 \(n_0=n_{PP}=6,146.56\), 즉 올림하면 6,147입니다. 1,000건의 청구에 부여되는 신뢰도는 \(Z=(1,000/6,147)^{1/2}=0.40\)입니다.

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제한 변동 신뢰도는 공식 \(Z=\sqrt{n/n_0}\)을 사용하여 신뢰도 가중 추정치의 변동을 제한함으로써, 기대 청구 건수가 완전 신뢰도 기준에 해당하는 데이터에 허용되는 변동과 일치하도록 합니다. 변동의 척도로는 분산 또는 표준편차를 사용합니다. 다음으로 제곱근 공식을 사용하는 이유를 설명하기 위한 예를 보이겠습니다.

평균 청구 심도를 완전 신뢰도 기준 \(n_0=n_X\)보다 작은 크기 \(n\)의 표본으로부터 추정한다고 가정합니다. 신뢰도 이론을 적용하면 추정치 \(\hat{\mu}_X\)는 \[ \hat{\mu}_X=Z\bar{X}+(1-Z)M_X , \] 이 되며, 여기서 \(\bar{X}=(X_1+X_2+\cdots+X_n)/n\)이고 \(iid\) 확률변수 \(X_i\)는 개별 청구의 크기를 나타냅니다. 신뢰도 보완은 \(M_X\)에 적용됩니다. 이는 인플레이션을 반영하여 조정한 작년의 추정 평균 심도일 수도 있고, 훨씬 더 큰 위험 집단의 평균 심도일 수도 있으며, 계리사가 선택한 다른 적절한 값일 수도 있습니다. \(M_X\)의 분산은 0이거나 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정합니다. 이 가정하에서 \[ \mathrm{Var}(\hat{\mu}_X)=\mathrm{Var}(Z\bar{X})=Z^2\mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{n}{n_0}\mathrm{Var}(\bar{X}). \] \(\bar{X}=(X_1+X_2+\cdots+X_n)/n\)이므로 \(\mathrm{Var}(\bar{X})=\mathrm{Var}(X_i)/n\)이 성립하며, 여기서 확률변수 \(X_i\)는 하나의 청구입니다. 따라서 \[ \mathrm{Var}(\hat{\mu}_X)=\frac{n}{n_0}\mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{n}{n_0}\frac{\mathrm{Var}(X_i)}{n}=\frac{\mathrm{Var}(X_i)}{n_0}. \] 마지막 항은 표본 크기가 완전 신뢰도 기준 \(n_0=n_X\)와 같을 때의 표본평균 \(\bar{X}\)의 분산과 정확히 같습니다.

12.6.5 제한 변동 신뢰도의 완전 신뢰도 기준

제한 변동 신뢰도에는 완전 신뢰도 기준이 필요합니다. 공식 (12.11)에서 얻은 바와 같이, 총손실 또는 순보험료에 대한 일반 공식은 \[ n_S=\left(\frac{y_p}{k}\right)^2\left[\left(\frac{\sigma_N^2}{\mu_N}\right)+\left(\frac{\sigma_X}{\mu_X}\right)^2\right] , \] 이며, 여기서 \(N\)은 청구 건수를, \(X\)는 청구의 크기를 나타냅니다. \(\sigma_X=0\)이라고 가정하면 빈도에 대한 완전 신뢰도 기준이 도출됩니다. \(\sigma_N=0\)이면 심도에 대한 완전 신뢰도 공식이 도출됩니다. 확률 \(p\)와 \(k\) 값은 흔히 판단과 경험에 따라 선택됩니다.

실무에서는 청구 건수가 포아송 분포를 따른다고 가정하여 \(\sigma_N^2/\mu_N=1\)로 두는 경우가 많습니다. 이 경우 공식은 \[\begin{equation*} n_S=\left(\frac{y_p}{k}\right)^2\left[\frac{\mathrm{E}(X^2)}{(\mathrm{E}(X))^2}\right]. \end{equation*}\] 로 단순화할 수 있습니다. 개별 청구 손실 크기의 경험적 평균과 2차 적률은 과거 데이터가 있다면 이로부터 계산할 수 있습니다.

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12.7 신뢰도 추정량의 균형 맞추기

신뢰도 가중 모형 \(\hat{\mu}(\theta_i)=Z_i\bar{X}_i+(1-Z_i)\bar{X}\)은 위험 \(i\)의 기대손실을 추정하는 데 사용할 수 있습니다. 여기서 \(\bar{X}_i\)는 위험 \(i\)의 익스포저당 손실이고, \(\bar{X}\)는 모집단의 익스포저당 손실입니다. 전체 평균은 \(\bar{X}=\sum_{i=1}^r(m_i/m) \bar{X}_i\)이며, 여기서 \(m_i\)와 \(m\)은 각각 위험 \(i\)과 모집단의 익스포저 수입니다.

신뢰도 가중 추정량이 균형을 이루려면 \[ \bar{X}=\sum_{i=1}^r(m_i/m) \bar{X}_i=\sum_{i=1}^r(m_i/m) \hat{\mu}(\theta_i). \] 가 성립해야 합니다. 이 등식이 성립하면 각 위험에 대한 추정 손실의 합이 모집단 전체 손실과 같아지며, 이는 요율 산정에서 중요한 목표입니다. 그러나 신뢰도 보완을 \(\bar{X}\)에 적용하면 이 등식이 성립하지 않을 수 있습니다.

균형을 이루기 위해 신뢰도 보완에 적용되는 값을 \(\hat{M}_X\)로 두고 다음 등식을 분석합니다. \[ \sum_{i=1}^r(m_i/m) \bar{X}_i=\sum_{i=1}^r(m_i/m) \left\{Z_i\bar{X}_i+(1-Z_i) \cdot \hat{M}_X\right\} . \] 간단한 대수 계산을 거치면 \[ \sum_{i=1}^r m_i \bar{X}_i=\sum_{i=1}^r m_i Z_i\bar{X}_i + \hat{M}_X\sum_{i=1}^r m_i(1-Z_i), \] 와 \[ \hat{M}_X=\frac{\sum_{i=1}^r m_i(1-Z_i)\bar{X}_i}{\sum_{i=1}^r m_i(1-Z_i)}. \] 를 얻습니다. \(\hat{M}_X\)에 이 값을 사용하면 신뢰도 가중 추정량이 균형을 이룹니다.

신뢰도 \(Z_i\)를 뷜만-스트라우브 모형으로 계산하였다면 \(Z_i=m_i/(m_i+K)\)입니다. 앞의 공식은 다음 관계 \[ m_i(1-Z_i)=m_i\left(1-\frac{m_i}{m_i+K}\right)=m_i\left(\frac{(m_i+K)-m_i}{m_i+K}\right)=KZ_i . \] 를 이용하여 단순화할 수 있습니다. 따라서 신뢰도 보완에 적용하였을 때 신뢰도 가중 추정량이 익스포저당 전체 평균 손실과 균형을 이루게 하는 값은 다음과 같습니다. \[ \hat{M}_X=\frac{\sum_{i=1}^r Z_i \bar{X}_i}{\sum_{i=1}^r Z_i}. \]

예제 12.7.1. 비모수적 뷜만-스트라우브 절의 예제에서는 두 위험에 대해 다음과 같은 데이터가 주어졌습니다. 균형을 이루는 신뢰도 가중 추정치를 산출하는 신뢰도 보완 값 \(\hat{M}_X\)를 구하십시오. \[ \small{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Policyholder} & & \text{Year 1} & \text{Year 2} & \text{Year 3} & \text{Year 4} \\ \hline \text{A} & \text{Number of claims} & 0 & 2 & 2 & 3 \\ \hline \text{A} & \text{Insured vehicles} & 1 & 2 & 2 & 2\\ \hline & & & & & \\ \hline \text{B} & \text{Number of claims} & 0 & 0 & 1 & 2\\ \hline \text{B} & \text{Insured vehicles} & 0 & 2 & 3 & 4\\ \hline \end{array} } \]

예제 풀이 보기

Example Solution. 앞의 예제에서 구한 신뢰도는 \(Z_A=\frac{7}{7+2.0871}=0.7703\)와 \(Z_B=\frac{9}{9+2.0871}=0.8118\)입니다. 표본평균은 \(\bar{x}_A=1\)와 \(\bar{x}_B=1/3\)입니다. 균형을 이루는 신뢰도 보완은 \[ \hat{M}_X=\frac{0.7703(1)+0.8118(1/3)}{0.7703+0.8118}=0.6579. \] 입니다. 갱신된 신뢰도 추정치는 \(\hat{M}_{X_A}=0.7703(1)+(1-0.7703)(.6579)=0.9214\)(이전 값 0.9139)와 \(\hat{M}_{X_B}=0.8118(1/3)+(1-0.8118)(.6579)=0.3944\)(이전 값 0.3882)입니다. 새 추정량의 균형을 확인하면 다음과 같습니다. (7/16)(0.9214)+(9/16)(0.3944)=0.6250. 이는 \(\bar{X}=10/16=0.6250\)와 정확히 일치합니다.

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12.8 추가 자료 및 기여자

기여자

• 볼 주립대학교(Ball State University)의 Gary Dean이 이 장의 초판을 집필했습니다. 이 장에 대한 의견이나 개선 제안은 cgdean@bsu.edu로 이메일을 보내 주십시오.
• 이 장의 검토자는 Liang (Jason) Hong, Ambrose Lo, Ranee Thiagarajah, Hongjuan Zhou입니다.