픽의 정리¶

자기 교차가 없는 다각형의 모든 정점이 어떤 2차원 격자에서 정수 좌표를 가지면, 이 다각형을 격자 다각형이라고 합니다. 픽의 정리는 경계 위에 놓인 격자점의 개수와 다각형 내부에 엄격하게 놓인 격자점의 개수를 통해 이 다각형의 넓이를 계산하는 방법을 제공합니다.

공식¶

넓이가 0이 아닌 어떤 격자 다각형이 주어졌다고 합시다.

그 넓이를 $S$, 다각형 내부에 엄밀히 놓인 정수 좌표 점의 개수를 $I$, 다각형의 변 위에 놓인 격자점의 개수를 $B$로 나타냅니다.

그러면 픽의 공식은 다음과 같습니다:

$$S=I+\frac{B}{2}-1$$

특히, 다각형의 $I$와 $B$ 값이 주어지면 정점을 알지 못하더라도 넓이를 $O(1)$에 계산할 수 있습니다.

이 공식은 1899년 오스트리아의 수학자 Georg Alexander Pick이 발견하고 증명했습니다.

증명¶

증명은 여러 단계에 걸쳐 진행되며, 단순 다각형에서 시작하여 임의의 다각형으로 나아갑니다:

단위 정사각형: $S=1, I=0, B=4$이며, 이는 공식을 만족합니다.
변이 좌표축에 평행한 임의의 비퇴화 직사각형: 직사각형의 변의 길이를 $a$와 $b$라고 합시다. 그러면 $S=ab, I=(a-1)(b-1), B=2(a+b)$입니다. 대입해 보면 공식이 성립함을 알 수 있습니다.
직각을 낀 두 변이 축에 평행한 직각삼각형: 이를 증명하려면, 이러한 삼각형은 모두 직사각형을 대각선으로 잘라서 얻을 수 있다는 점에 주목하십시오. 대각선 위에 놓인 정수점의 개수를 $c$로 나타내면, $c$에 관계없이 이 삼각형에 대해 픽의 공식이 성립함을 보일 수 있습니다.
임의의 삼각형: 이러한 삼각형은 모두 직각을 낀 두 변이 축에 평행한 직각삼각형들을 그 변에 붙여서 직사각형으로 만들 수 있다는 점에 주목하십시오(이러한 삼각형은 3개를 넘게 필요하지 않습니다). 여기서부터 임의의 삼각형에 대해 올바른 공식을 얻을 수 있습니다.
임의의 다각형: 이를 증명하려면 다각형을 삼각분할하십시오. 즉, 정점이 정수 좌표를 가지는 삼각형들로 나누십시오. 또한, 삼각형을 공유 간선을 따라 다각형에 붙여도 픽의 정리가 여전히 성립함을 증명할 수 있습니다. 따라서 임의의 다각형에 대해 픽의 공식을 증명하였습니다.

고차원으로의 일반화¶

안타깝게도 이 단순하고 아름다운 공식은 고차원으로 일반화할 수 없습니다.

John Reeve는 1957년에 다음과 같은 정점을 가지는 사면체(Reeve 사면체)를 제시하여 이를 보였습니다:

$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$

여기서 $k$는 임의의 자연수일 수 있습니다. 그러면 임의의 $k$에 대해 사면체 $ABCD$는 내부에 정수 점을 포함하지 않으며, 경계 위에는 $A, B, C, D$의 $4$개 점만 가집니다. 따라서 내부와 경계 위의 점의 개수가 변하지 않는데도 부피와 겉넓이는 달라질 수 있습니다. 그러므로 픽의 정리는 이러한 종류의 직접적인 일반화를 허용하지 않습니다.

하지만 Ehrhart 다항식을 이용한 고차원 일반화가 존재합니다. 다만 이는 더 복잡하며, 내부의 점뿐만 아니라 다포체의 경계에도 의존합니다.

추가 자료¶

픽의 정리에 대한 몇 가지 간단한 예시와 간단한 증명은 여기에서 찾을 수 있습니다.