8.2 연금

연금의 현재가치 계산

연금은 미래에 지급하거나 수령할 고정된 정기적 지급액의 흐름입니다. 이러한 지급액 흐름의 현재가치나 미래가치는 각 지급액에 화폐의 시간가치 공식을 적용하여 계산할 수 있습니다. 먼저 현재가치를 구하는 것부터 시작하겠습니다.

현재가치를 살펴보기 전에, 지급액 흐름이 시간에 따라 어떻게 변하는지 분석해 보는 것이 도움이 됩니다. 5년 동안 매년 말에 1,000달러를 투자하고, 전 기간에 걸쳐 연 복리 7%를 얻는 프로그램에 참여하기로 약정했다고 가정합시다. 첫해 말까지는 돈을 전혀 투자하지 않더라도, 이 높은 이율은 부분적으로 오늘부터 시작되는 우리의 약정에 근거하여 확정됩니다. 표 8.1에 제시된 타임라인을 참조하십시오.

첫해 말에 우리는 첫 1,000달러를 펀드에 예치합니다. 따라서 이 금액은 아직 이자를 벌어들일 기회를 갖지 못했습니다. 그 아래의 '신규 잔액' 숫자는 펀드에 누적된 금액이며, 이 금액은 다음 해 열의 맨 위로 이월됩니다. 2년 차에는 그 첫 금액이 7%의 이자를 벌어들이며, 2년 차 말에 우리는 두 번째 1,000달러를 추가합니다. 따라서 누적 잔액은 2,070달러가 되며, 이 금액은 3년 차의 맨 위로 이월되어 그해 이자 계산의 기준이 됩니다. 5년 차 말에 투자 약정이 종료되며, 우리는 5,750.74달러를 적립하게 됩니다. 이 중 5,000달러는 우리가 투자한 돈이고, 나머지 750.74달러는 투자한 자금과 과거 기간에 누적된 이자 모두에 대해 발생한 이자입니다.

직관에 어긋나 보일 수 있는 두 가지 중요한 측면에 주목하십시오. (1) 이 계획을 시작할 때 자금을 전혀 예치하지 않았기 때문에 첫해를 '낭비'했으며, 첫 1,000달러는 2년 차가 시작될 때에야 비로소 우리를 위해 일하기 시작합니다. (2) 다섯 번째이자 마지막 투자금은 마지막 해 말에 예치되므로 이자를 전혀 벌어들이지 못합니다. 이 두 가지 문제는 곧 실제 적용의 관점에서 다루겠습니다.

이 예시를 염두에 두고, 먼저 연금의 현재가치를 구하는 데 집중하겠습니다. 지금부터 1년 후를 시작으로 5년 동안 매년 기존 기금에서 $25,000를 받고 싶다고 가정하십시오. 매년 $25,000씩 지급되는 이 흐름이 연금입니다. 첫 지급액을 지금부터 1년 후에 받게 되므로, 이를 특별히 정상연금이라고 부릅니다. 정상연금의 대안은 나중에 살펴보겠습니다. 남은 잔액이 항상 연 8%의 이자를 번다면, 이러한 지급 흐름을 실현하기 위해 오늘 기금에 얼마의 돈이 있어야 합니까? 같은 금액을 주기적으로 인출함에 따라 기금은 점차 줄어들지만, 계좌에 남아 있는 자금은 무엇이든 항상 이자를 벌게 됩니다.

이 금액을 계산하는 공식을 살펴보기 전에, 목표인 이 미래 지급 흐름의 현재가치를 구하는 과정을 수작업이나 Microsoft Excel로 보여 드릴 수 있습니다. $25,000의 지급액 다섯 건을 각각 단순 현재가치 공식을 사용하여 오늘의 가치로 할인할 수 있습니다.

여기서 FV는 미래가치, PV는 현재가치, r은 이자율, n은 기간 수입니다.

예를 들어, 첫 번째 $25,000는 다음과 같이 공식에 따라 할인됩니다.

$23,148.15가 8% 이자로 1년 후 $25,000로 늘어난다는 증명:

이 같은 방법을 5년 각각에 적용하면서 해마다 지수 n을 늘리면, 그 결과는 표 8.2에서 볼 수 있습니다.

표에서 계산한 금액인 $99,818.76에서 시작합니다. 돈을 인출하기 전에 8%로 1년 치 이자가 복리로 계산되어 잔액에 더해집니다. 그런 다음 첫 번째 $25,000가 인출되어 $82,804.26이 남습니다. 이 과정은 5년이 끝날 때까지 계속되며, 그 시점에는 사소한 반올림 차이를 제외하면 기금이 "제 역할을 다하여" 0이 됩니다. 그러나 이를 더 간단하게 만들 수 있습니다. 인출되는(또는 나중에 보겠지만 추가되는) 각 지급액이 동일하므로, 공식을 사용하여 연금의 현재가치를 한 번에 계산할 수 있습니다. 위의 여러 단계 대신 다음 공식을 사용하겠습니다.

여기서 PVa는 연금의 현재가치이고 PYMT는 1회 지급액입니다.

이 예에서 PYMT는 5년 동안 매년 말 $25,000입니다. 기간 수가 많을수록, 그리고/또는 차입 금액이 클수록 큰 반올림 오차가 생길 가능성이 커진다는 점에 유의하십시오. 계산에는 소수점 이하 여섯 자리를 사용했지만, 이자와 시간을 결합한 실제 화폐의 시간가치 계수는 훨씬 더 길 수 있습니다. 따라서 풀이에서는 등호 대신 ≅를 자주 사용합니다.

대입한 다음 올바른 연산 순서를 따르면 다음과 같습니다.

두 경우 모두 소수 전개로 인한 반올림 차이를 제외하면, 방정식을 사용해도 여러 해를 각각 계산할 때와 같은 결과를 얻습니다. 수백만 달러 규모의 기계나 시설에 자금을 조달할 때처럼 승수가 더 큰 경우에는 반올림 차이가 상당해질 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 이 교재에서는 이를 무시하겠습니다.

결론적으로, 25,000달러씩 다섯 번, 즉 총 125,000달러의 지급액은 오늘 99,817.81달러로 마련할 수 있으며, 그 차액은 남은 잔액에 대해 8%로 계속 누적되는 이자에서 얻어집니다. 누적 잔액은 이전 잔액에 대한 해당 연도의 이자를 계산하여 그 잔액에 더한 다음, 연말에 인출되는 25,000달러를 빼서 구합니다. 마지막(다섯 번째) 해에는 다섯 번째 지급을 완료하는 데 필요한 25,000달러가 될 만큼의 이자가 정확히 발생합니다.

PVa가 흔히 사용되는 분야는 거액의 복권입니다. 여러분이 120만 달러짜리 노스다코타 복권에 당첨되었고, 복권 측에서 오늘부터 1년 후부터 시작하여 10년 동안 매년 120,000달러를 지급하겠다고 제안한다고 가정해 보겠습니다. 이 논의와 문제 전반에 걸쳐 세금과 그 밖의 비수학적 고려 사항은 무시하겠습니다. 복권위원회는 아마 다음과 같은 대안을 가지고 여러분에게 연락할 것입니다. 그 지급액 흐름을 받으시겠습니까… 아니면 대신 지금 당장 787,000달러를 일시금으로 받으시겠습니까? 이 대안들에 대해 금전에 기반한 분석을 완료할 수 있습니까? 순전히 금액만을 기준으로 한다면, 할 수 없습니다. 그 이유는 시간의 효과, 즉 화폐의 시간가치를 고려하지 않고서는 미래 금액과 현재 금액을 비교할 수 없기 때문입니다. 따라서 이 대안들을 오늘의 달러, 즉 현재가치로 표현하여 같은 조건에 놓기 위해 할인 요인으로 사용할 수 있는 이자율이 필요합니다. 9%를 사용합시다. 미래의 고정 지급액 흐름(지급액이 동일하고 지금부터 1년 후에 시작되므로 정상연금입니다)을 할인하면, 그 결과를 복권위원회가 대신 제안하는 현금 일시금과 비교할 수 있습니다.

대입한 다음 올바른 연산 순서를 따르면 다음과 같습니다:

다른 모든 조건이 같다면, 120,000달러씩 열 번 지급될 것으로 예상되는 그 미래 지급액 흐름은 오늘 기준으로 약 770,119달러의 가치가 있습니다. 이제 같은 기준의 숫자를 비교할 수 있으며, 787,000달러의 현금 일시금이 할인된 미래 지급액보다 더 가치가 있습니다. 이는 세금, 욕구, 필요, 미래 지급액을 받을 수 있다는 확신, 또는 그 밖의 변수와 같은 측면을 고려하지 않을 때 선택하게 될 대안입니다.

기초연금의 현재가치 계산

앞에서 우리는 정상연금.을 정의했습니다. 그 변형이 기초연금입니다. 둘 사이의 차이는 한 기간입니다. 그것이 전부입니다—단지 한 기간의 이자가 추가될 뿐입니다. 정상연금은 지급액 흐름의 시작과 실제 첫 지급 사이에 한 기간의 시차가 있다고 가정합니다. 이와 대조적으로, 기초연금은 위의 복권 예시에서처럼 지급이 즉시 시작된다고 가정합니다. 여러분이 첫 번째 연간 복권 수표 120,000달러를 1년 후가 아니라 즉시 받는다고 가정하는 것입니다. 요약하면, 기초연금의 미래가치(다음 절에서 다룹니다)를 계산하든 현재가치를 계산하든, 1년의 시차가 제거되고 즉시 시작합니다.

차이는 단지 한 기간이 추가된다는 것뿐이므로, 정상연금 공식에 한 기간을 더 곱하면 쉽게 조정할 수 있습니다. 물론 한 기간은 (1 + i)입니다. 화폐의 시간가치 I에서 복리 계산 공식이 (1 + i)^N이었음을 떠올려 보십시오. 여기서 i는 이자율이고 N은 기간 수입니다. 위 첨자 N은 추가되는 한 기간을 나타내는 1이므로 적용되지 않으며, 1제곱은 무시할 수 있습니다. 따라서 기초연금 문제를 풀 때는 정상연금인 것처럼 계산하되, (1 + i)를 한 번 더 곱합니다.

이 절의 처음 예제에서 우리는 지금 조성할 기금에서 5년 동안 매년 $25,000를 인출하고자 했습니다. 첫 지급액을 지금부터 1년 후에 받는다고 할 때 그 기금이 오늘 얼마의 가치를 가져야 하는지 구했습니다. 이 기금은 존속 기간 내내 연 8%의 수익을 올립니다. 이번에는 첫 지급액을 시점 0에서 즉시 인출한다고 가정하겠습니다. 그러면 이는 기초연금이 됩니다. 우리는 기초 잔액이 얼마여야 하는지 구하려는 것이므로, 더 큰 금액으로 시작해야 한다는 것은 당연합니다. 왜 그렇습니까? 첫 지급액을 즉시 인출하므로, 계획한 다섯 번의 지급액을 모두 충당하는 데 필요한 금액까지 복리로 불어나기 시작할 돈이 더 적게 남기 때문입니다! 이 규칙은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

현재가치를 계산하든 미래가치를 계산하든, 다른 모든 조건이 동일하다면 기초연금의 결과는 항상 정상연금의 결과보다 커야 합니다. 다음은 위 예제의 풀이 과정입니다. 다만 동일한 연산 순서에 따라 한 기간을 추가하는 (1 + i)를 곱한다는 점에 유의하십시오:

이것이 이자를 얻거나 돈을 인출하기 전에, 오늘 기금을 시작해야 하는 금액입니다. 이 금액은 정상연금에 필요한 $99,817.81보다 크다는 점에 주목하십시오. 즉시 인출함으로써 복리의 힘이 줄어들게 되므로 더 큰 금액으로 시작해야 하기 때문에, 반드시 그래야 합니다.

몇 가지 사항을 알 수 있습니다:

1. 연간 이자를 계산하기 전에 연간 지급액이 먼저 차감되므로 공식이 달라져야 합니다.
2. 사소한 반올림 차이를 제외하면 동일한 결과를 얻습니다. 즉, 마지막 지급액이 인출되면 기금이 소진됩니다.
3. 마지막 지급액은 마지막 해의 마지막 날이 아니라 첫날에 인출됩니다. 따라서 다섯 번째이자 마지막 해 동안에는 이자가 발생하지 않습니다.

이를 확실히 하기 위해, 앞의 복권 예제에도 같은 방법을 적용해 봅시다. 사실관계를 다시 살펴보면, 여러분은 $1.2 million의 당첨금을 각각 $120,000씩 10회에 걸쳐 매년 받는 방법을 선택할 수 있으며, 할인율은 9%입니다. 유일한 차이점은 이번에는 첫 $120,000를 즉시 받을 수 있어서 1년을 기다릴 필요가 없다는 것입니다. 이제 이는 기초연금입니다. 이자 기간 하나에 해당하는 (1 + i)를 추가로 곱한다는 점을 제외하면 앞에서와 똑같이 풉니다:

이번에도 이 결과는 정상연금으로 계산했을 때 구한 금액보다 커야 합니다.

정상연금과 기초연금의 현재가치를 나타내는 위의 계산은 연 단위를 기준으로 제시되었습니다. 화폐의 시간가치 I에서 우리는 복리 계산과 할인 계산이 분기별 또는 월별 복리 계산 및 할인처럼 연 단위가 아닌 기간을 기준으로도 이루어질 수 있음을 살펴보았습니다. 정기 지급액 계산에서 상당히 흔한 이 측면은 이 장의 뒷부분에서 살펴보겠습니다.

구조화 합의금에 사용되는 연금 계산

연금 계산은 복권 당첨금 지급 외에도 변호사들이 구조화 합의금에서 자주 사용합니다. 보험금 청구 소송에서 $450,000의 합의금을 받게 되면, 상대방은 일시금 현금 대신 분할하여 지급할 수 있도록 연금을 받아들일 것을 요청할 수 있습니다. 연도별로 공정한 현금 분배란 무엇을 의미하겠습니까? 선호하는 할인율(화폐의 시간가치를 계산하기 위해 우리 모두가 알아야 하는 백분율)이 6%이고, 지금으로부터 1년 후부터 시작하여 10년 동안 $45,000씩 균등하게 분배받을 것으로 예상한다면, 연금의 현재가치 공식을 사용하여 대안들을 비교할 수 있습니다.

대입하면 다음과 같습니다.

다른 모든 조건이 같다면, 상대측 변호사가 그보다 적은 일시금 현금을 제안할 경우 여러분은 이를 거절할 것이고, 일시금이 그보다 많다면 아마도 받아들일 것입니다.

첫 번째 지급을 즉시 받도록 협상하여 이 정상연금을 기초연금으로 바꾼다면 어떻게 되겠습니까? 앞서 언급했듯이, 추가로 한 기간의 이자인 (1 + 0.06)을 곱하기만 하면 됩니다. 위 풀이의 마지막 단계를 반복한 다음 (1 + 0.06)을 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

제안된 지급 흐름을 받아들이는 것을 고려하기 전에, 여러분은 그 금액을 절대적인 최소 금액으로 고수할 것입니다.

연금 계수를 지급액에 적용하기 전에 풀이에 한 기간 분의 이자를 추가로 곱함으로써 정상연금을 기초연금으로 전환할 수 있음을 추가로 검증하기 위해, 두 결과의 차이를 원래 연금의 가치로 나눌 수 있습니다. 그 결과를 백분율로 나타내면, 연금 계산에 사용된 이자율과 같아야 합니다. 8%로 $25,000를 다섯 번 지급하는 연금의 예를 사용하여, 정상연금의 현재가치 $99,817.81과 기초연금의 현재가치 $107,803.24를 비교합니다.

그 결과는 기초연금의 현재가치가 정상연금의 현재가치보다 8% 더 높다는 것을 보여줍니다.

연금의 미래가치 계산

앞 절에서는 주기적인 지급 흐름을 미래에서 현재로 할인하는 방법을 다루었습니다. 우리는 또한 일련의 지급액의 미래가치를 추정하는 방법에도 관심이 있습니다. 이 경우, 투자는 주기적으로 이루어질 수 있습니다. 연금의 정의에 따라 주기적인 투자 금액이 항상 같다면, 아래에 제시된 공식을 사용하여 그 흐름의 미래가치를 한 번에 계산하는 지름길을 택할 수 있습니다.

여기서 FVa는 연금의 미래가치, PYMT는 일련의 지급 또는 수령 중 1회분, r은 이자율, n은 기간 수입니다.

연금의 현재가치를 다룬 절에서와 마찬가지로, 정상연금부터 시작한 다음 기초연금으로 넘어가겠습니다.

연 4%의 투자 기회에 대한 계약을 확정했지만, 지금으로부터 1년 후까지는 첫 투자를 할 수 없다고 가정해 봅시다. 이는 투자자에게 다소 직관에 반하는 것일 수 있지만, 정상연금의 공식과 절차의 기초가 되므로 이 가정을 받아들이겠습니다. 여러분은 매년 말에 $3,000를 투자할 계획입니다. 5년이 끝날 때 여러분은 얼마의 돈을 갖게 되겠습니까?

이 장의 앞부분에 나온 것과 같은 시간선 위에 이를 배치하는 것부터 시작합시다(표 8.3 참조).

앞서 정상연금을 설명할 때 언급했듯이, 1년 차 납입금은 그해 마지막 날에야 투자되므로 1년 차는 복리 효과를 얻을 기회로 활용되지 못하고 낭비됩니다. 따라서 그 금액은 5년이 아니라 4년 동안만 복리로 불어납니다. 또한 다섯 번째 납입금은 5년 차 계약의 마지막 날에야 납입되므로 복리로 불어난 미래가치를 얻을 기회가 전혀 없습니다. 투자자는 양쪽 끝에서 모두 손해를 본 셈입니다. 위 표에서는 다섯 번의 계산을 했는데, 10년, 25년, 40년과 같은 더 긴 기간의 계약이라면 이 작업은 매우 번거로울 것입니다. 다행히 현재가치의 경우와 마찬가지로, 모든 납입금이 동일하므로 이 정상연금은 한 번에 풀 수 있습니다.

공식을 다시 쓴 다음 값을 대입하면 다음과 같습니다.

이 증명은 납입이 즉시 이루어지지 않고 1년 차 마지막 날에 이루어지기 때문에 1년 차에는 복리가 전혀 발생하지 않아 낭비된다는 점을 강조합니다. 이 정상연금에서는 또 다른 방식으로도 복리 효과를 잃습니다. 5년 차 투자금은 이 5년 계약의 마지막 날에 이루어지므로 이자가 쌓일 기회가 전혀 없습니다. 더 직관적인 방법은 첫 납입을 즉시 할 수 있도록 기초연금 계약을 맺는 것입니다. 이렇게 하면 첫해를 낭비하지 않으며, 다섯 번의 납입금 모두가 5년 차에도 계속 효과를 발휘합니다. 앞서 말했듯이, 이는 할인하는 경우(PVa)든 복리 계산하는 경우(FVa)든 기초연금이 정상연금보다 더 큰 결과를 낳는다는 뜻입니다.

이 5년 계약을 확정하는 즉시 시작하여 매년 초에 투자한다는 점을 제외하고는, 앞의 예와 모든 사실을 동일하게 유지해 봅시다. 현재가치 절에서와 같은 기법을 따릅니다. 즉, 한 기간을 추가로 곱하여 이 정상연금 계수를 기초연금 계수로 변환합니다. 미래가치를 구하든 현재가치를 구하든, 기초연금의 결과는 항상 정상연금보다 커야 합니다. 미래가치의 경우 즉시 투자를 시작하므로, 한 기간이 지나기를 기다렸을 때보다 결과가 더 커집니다. 현재가치의 경우 첫해 동안 자금을 운용되도록 두지 않고 즉시 인출하기 시작하므로, 논리적으로 더 많은 금액으로 시작해야 합니다.

예를 이어 가되 기초연금으로 변환하기 위해 한 기간, 즉 (1 + i)를 추가로 곱하겠습니다. 나머지는 모두 동일합니다.

각각에 대해 예를 하나씩 더 들어 보겠습니다. 연 복리 8%의 수익을 올리며 10년 동안 매년 15,000달러를 투자할 기회가 있다고 가정하십시오. 10년 후에는 얼마를 갖게 되겠습니까? 첫 납입을 각 연도 말에만 할 수 있다면, 최종 가치는 다음과 같습니다.

그러나 첫 납입을 즉시 하고 이후 납입을 매 다음 연도 초에 할 수 있다면, 연간 납입금에 한 기간을 추가로 곱하여 위 공식을 수정합니다.

은퇴 설계에 연금이 활용되는 방법

마지막으로, 연금은 은퇴 설계에 어떻게 활용될 수 있습니까? 어떤 사람이 투자로부터 일시금으로 뜻밖의 수입을 얻을 수 있으며, 그 수익금을 그대로 받는 대신 그 금액을 (세금은 무시하고) 연금에 투자하기로 결정할 수 있습니다. 그들의 의도는 이렇게 투자된 금액이 매년 분배금을 만들어 내어 사회보장 급여를 보충하도록 하는 것입니다. 이번에도 세금 효과를 무시하고, 수령인이 방금 $75,000를 받았다고 가정합시다. 그들은 향후 5년 동안 매년 말에 분배금을 지급하는 연금에 투자할 기회가 있으며, 그 연금 계약은 연 3%의 이자를 제공합니다. 첫 번째 수령은 지금으로부터 1년 후에 이루어집니다. 이는 정상연금입니다.

다른 변수들이 주어졌을 때 지급액을 구할 수도 있으며, 이는 재무 분석의 중요한 측면입니다. $75,000의 뜻밖의 수입을 얻은 사람이 이 자금을 5년 동안 유지하기를 원하고 3%의 수익을 얻을 수 있다면, 매년 이 자금에서 얼마를 인출할 수 있습니까? 이 문제를 풀기 위해 연금의 현재가치 공식을 적용할 수 있습니다. 이번에는 지급액(PYMT)이 미지수이며, PVa, 즉 그들이 현재 보유하고 있는 현재가치가 $75,000라는 것을 알고 있습니다:

이 사람은 지금으로부터 1년 후부터 매년 이 금액을 인출할 수 있으며, 마지막 지급액이 인출되면 자금은 소진됩니다. 매년 기초 잔액에 대해 이자가 발생하고, 그런 다음 매년 말에 $16,376.60가 인출됩니다.