뉴턴에서 아인슈타인으로, 그리고 다시 뉴턴으로

2016년 2월 1일 · 태그: physics, relativity, mathematics · 원문 · 한국어 번역(원문에서 변경됨)

학부 물리학에서 제가 가장 좋아하는 증명 중 하나는 아인슈타인의 에너지-운동량 관계식으로부터 고전적인 운동 에너지 공식을 유도하는 것입니다. 구체적으로, 속도가 빛의 속도 $c$보다 훨씬 작을 때 고전적인 운동 에너지 표현식이 상대론적 에너지 방정식의 1차 테일러 근사로서 어떻게 나타나는지 살펴보겠습니다.

아인슈타인의 상대성 이론에 따르면, 정지 질량이 $m_0$인 입자의 총 에너지 $E$는 다음과 같이 주어집니다:

$$E=\gamma m_0{c}^2,$$

여기서 로런츠 인자 $\gamma$는 다음과 같이 정의됩니다:

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

여기서 $v$는 입자의 속도이고 $c$는 진공에서의 빛의 속도입니다. 속도가 $c$보다 훨씬 작을 때 이 관계식은 상당히 단순해집니다.

입자의 운동 에너지 $K$는 총 에너지와 정지 에너지의 차이로 정의됩니다:

$$K=E-E_0,$$

여기서 $E_0=m_0{c}^2$는 입자의 정지 에너지입니다. $E$에 대한 표현식을 대입하면 다음과 같습니다:

$$K=\gamma m_0{c}^2-m_0{c}^2=(\gamma -1)m_0{c}^2.$$

이제 작은 $v$에 대해 $\gamma$를 단순화해야 합니다.

1차 근사를 얻기 위해 $v=0$ 근방에서 테일러 급수를 사용하여 $\gamma$를 전개할 수 있습니다. $v=0$에서 $\gamma$의 테일러 전개는 다음과 같이 주어집니다:

$$\gamma (v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\text{higher order terms}.$$

여기서는 1차 근사에 관심이 있으므로, $\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$ 항을 무시하고 상수항만 남길 수 있습니다:

$$\gamma (v)\approx 1.$$

따라서 운동 에너지 표현식은 다음과 같이 단순해집니다:

$$K\approx \left(1-1\right)m_0{c}^2=0+\frac{1}{2}{m}_0\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{2}{m}_0{v}^2.$$

이제 작은 속도에 대한 운동 에너지 $K$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$K\approx \frac{1}{2}{m}_0{v}^2$$

이는 정확히 물체의 운동 에너지에 대한 고전적인 공식입니다. 더 일반적으로, 아인슈타인의 장 방정식으로부터 뉴턴의 방정식을 유도할 수 있으며, 이를 위해 일반 상대성 이론의 약한 장, 느린 운동 극한을 고려합니다. 약한 장 극한에서는 시공간이 거의 평탄하며 중력으로 인한 작은 섭동만 존재한다고 가정합니다. 계량은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$$

여기서 $\eta \ast \mu \nu$는 평탄한 시공간의 민코프스키 계량이고, $h\ast \mu \nu$는 작은 섭동입니다. 아인슈타인 장 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$

여기서 $G\ast \mu \nu$는 아인슈타인 텐서, $\Lambda$는 우주 상수, $g\ast \mu \nu$는 계량 텐서, $T_{\mu \nu }$는 에너지-운동량 텐서이며, $\kappa =8\pi G/c^4$는 아인슈타인 중력 상수입니다. 이 방정식들을 단순화하여 뉴턴의 법칙을 복원하려면 몇 가지 핵심적인 가정을 세워야 합니다. 첫째, 우주 상수를 무시하여 $\Lambda =0$으로 둡니다. $\Lambda$는 우주의 가속 팽창을 설명하는 우주론적 규모에서만 중요해지므로, 국소적인 중력 현상에 대해서는 이 가정이 타당합니다.

둘째, 정적이고 약한 중력장만 고려합니다. “정적“이라는 것은 중력장이 시간에 따라 변하지 않는다는 뜻이고, “약하다“는 것은 시공간을 작은 섭동이 있는 거의 평탄한 공간으로 다룰 수 있다는 뜻입니다. 이 때문에 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$$

여기서 $|h_{\mu \nu }|\ll 1$은 평탄한 시공간으로부터의 작은 편차를 나타냅니다. 셋째, $v\ll c$인 비상대론적 물질을 가정합니다. 이는 에너지-운동량 텐서가 크게 단순해져 에너지 밀도 항이 지배적이 된다는 것을 의미합니다:

$$T_{00}\approx \rho c^2$$

반면 다른 성분들은 무시할 수 있을 만큼 작아집니다. 이 근사는 지구상의 대부분의 일상적인 상황에서, 그리고 태양계 내 대부분의 천체물리학적 상황에서도 유효합니다. 이러한 가정하에서 약한 장 극한에서는 리치 텐서의 00 성분을 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

$$R_{00}\approx \frac{1}{c^2}{\nabla }^2\Phi$$

여기서 $\Phi$는 중력 퍼텐셜입니다. 리치 스칼라는 다음과 같이 됩니다.

$$R\approx \frac{2}{c^2}{\nabla }^2\Phi$$

비상대론적 물질의 경우 스트레스-에너지 텐서의 지배적인 성분은 $T_{00}\approx \rho c^2$이며, 여기서 $\rho$는 질량 밀도입니다. 이를 아인슈타인 장 방정식의 00 성분에 대입하면 다음과 같습니다.

$$R_{00}-\frac{1}{2}R{g}_{00}=\kappa T_{00}$$

그러면 다음을 얻습니다.

$$\frac{1}{c^2}{\nabla }^2\Phi -\frac{1}{c^2}{\nabla }^2\Phi =\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2$$

이를 정리하면 뉴턴 중력에 대한 푸아송 방정식이 됩니다.

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

원점에 놓인 점질량 $M$에 대해 $\rho =M\delta (\mathbf{r})$일 때, 구면 좌표계에서 푸아송 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

$$\Phi (r)=-\frac{GM}{r}$$

그러면 중력장은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{g}=-\nabla \Phi =-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$$

이것이 뉴턴의 중력 법칙입니다. 아인슈타인의 장 방정식은 약한 장, 느린 운동 극한에서 뉴턴의 중력 법칙으로 환원됩니다.