적분 동물원

2018년 5월 2일 · 태그: mathematics · 원문 · 한국어 번역(원문에서 변경됨)

도함수 동물원과 마찬가지로, 우리가 “적분“이라고 부르는 구성은 매우 다양합니다. 그중 가장 흥미로운 것들을 소개합니다.

1. 고전적 적분
2. 선적분
3. 면적분
4. 경로 적분(복소 선적분)
5. 스틸티어스 적분
6. 르베그 적분
7. 분수 적분
8. 경로 적분
9. 보흐너 적분
10. 이토 적분
11. 아다마르 적분
12. 다르부 적분
13. 위너 적분

고전적 적분

함수 $f(x)$의 부정적분, 즉 역도함수는 도함수가 $f(x)$인 함수 $F(x)$들의 족을 나타냅니다. 이는 $\int f(x)dx=F(x)+C$로 표기하며, 여기서 $F^{\prime }(x)=f(x)$이고 $C$는 임의의 적분 상수로, 상수의 도함수가 0이라는 사실을 반영합니다. 이 개념은 미분의 역연산으로 등장하며, 미적분학의 기본 정리를 통해 정적분과 근본적으로 연결됩니다.

선적분

선적분은 정적분을 2차원 또는 3차원 공간의 곡선 $C$를 따라 적분하는 것으로 일반화합니다. 주요한 유형은 두 가지입니다. 스칼라장 $f$에 대해, 호의 길이에 관한 선적분은 곡선을 따른 “질량” 또는 총합을 측정합니다: ${\int }_{C}fds={\int }_a^{b}f(\mathbf{r}(t))|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|dt$. 벡터장 $\mathbf{F}$에 대해, 선적분은 곡선을 따라 장이 한 일을 측정합니다: ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$. 두 경우 모두 $t\in [a,b]$에 대해 곡선 $C$를 $\mathbf{r}(t)$로 매개화하고, 적분을 매개변수 $t$에 관한 일반적인 정적분으로 변환하여 계산합니다.

면적분

면적분은 선적분이 정적분을 곡선으로 확장하는 것과 유사하게, 적분을 3차원 공간의 곡면 $S$로 확장합니다. 스칼라장 $g$에 대해, 면적분 ${\iint }_{S}gdS={\iint }_{D}g(\mathbf{r}(u,v))|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dA$는 곡면 위의 총합 또는 “질량“을 계산합니다. 벡터장 $\mathbf{F}$에 대해, 면적분(흔히 플럭스라고 부릅니다)은 곡면을 통과하는 벡터장의 알짜 흐름을 측정합니다: ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot ({\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v)dA$. 이들은 $uv$-평면의 영역 $D$ 위에서 곡면 $S$를 $\mathbf{r}(u,v)$로 매개화하고 $D$ 위의 이중적분을 계산하여 구합니다.

경로 적분(복소 선적분)

경로 적분(contour integral)은 본질적으로 복소평면에서 수행하는 선적분입니다. 복소함수 $f(z)$와 $t\in [a,b]$에 대해 $\gamma (t)$로 매개화된 곡선(경로) $C$에 대하여, 적분은 ${\oint }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt$로 정의됩니다. 여기서 복소수 곱셈 $f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)$에 주목하십시오. 이는 실수 벡터장의 선적분에서 사용하는 내적과는 다릅니다. 경로 적분은 복소해석학의 근간으로, 코시 적분 정리, 코시 적분 공식, 유수 정리의 기초를 이룹니다. 이 정리들은 적분을 계산하고 복소함수를 분석하는 강력한 도구입니다.

스틸체스 적분

${\int }_a^{b}f(x)d\alpha (x)$로 표기하는 리만-스틸체스 적분은 함수 $f$를 단순히 $x$에 대해서($\alpha (x)=x$인 경우에 해당) 적분하는 대신 다른 함수 $\alpha$(적분자라고 부릅니다)에 대해 적분함으로써 리만 적분을 일반화합니다. 이 적분은 $\sum f(c_i)[\alpha (x_i)-\alpha (x_{i-1})]$와 같은 합의 극한으로 정의됩니다. 이를 통해 구간의 각 부분에 $\alpha$의 변화량으로 결정되는 서로 다른 “가중치” 또는 “측도“를 부여할 수 있습니다. 이 적분은 확률과 통계에서 누적 분포 함수에 대한 기댓값을 계산할 때($\alpha$가 CDF인 경우) 특히 유용하며, 물리학과 함수해석학에도 응용됩니다. 르베그-스틸체스 적분은 이를 측도론적으로 더 강력하게 일반화한 것입니다.

르베그 적분

르베그 적분은 측도론에 기반을 둔, 리만 적분보다 더 일반적이고 강력한 적분의 구성입니다. 르베그 적분은 (리만 적분처럼) 정의역 $[a,b]$를 분할하는 대신, 본질적으로 함수 $f$의 치역을 분할하고, 정의역에서 $f$가 치역 분할의 각 부분에 속하는 값을 취하는 집합들의 크기를 (측도 $\mu$, 일반적으로 르베그 측도를 사용하여) 잽니다. 음이 아닌 가측 함수 $f$에 대해서는 ${\int }_{E}fd\mu =\sup {\int }_{E}sd\mu \mid 0\le s\le f,s\text{ is a simple function}$로 정의하며, $f=f^{+}-f^{-}$를 통해 일반 함수로 확장합니다. 르베그 적분은 (불연속성이 매우 심한 함수를 포함하여) 더 넓은 범위의 함수를 적분할 수 있고, (지배 수렴 정리와 단조 수렴 정리 같은) 더 우수한 수렴 정리를 갖추고 있어 현대 해석학과 확률론의 표준이 되었습니다.

분수 적분

분수 적분은 반복 적분의 개념을 정수가 아닌 차수 $\alpha >0$으로 일반화합니다. 가장 흔한 형태는 리만-리우빌 분수 적분으로, ${}_a{I}_t^{\alpha }f(t)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{\int }_a^t(t-\tau {)}^{\alpha -1}f(\tau )d\tau$로 정의되며, 여기서 $\Gamma$는 감마 함수입니다. 이 공식은 $n$중 적분에 대한 코시 공식을 일반화하는 것에서 그 동기를 찾을 수 있습니다. 분수 적분은 (어떤 의미에서) 분수 미분의 역연산자 역할을 하며, 분수 미적분학 연구에서 분수 미분과 함께 등장합니다. 분수 미적분학은 기억 효과나 비국소적 거동을 보이는 시스템을 모델링하는 데 사용됩니다.

경로 적분

경로 적분, 특히 양자역학과 양자장론에서 사용하는 파인만 경로 적분은 시스템이 초기 상태와 최종 상태 사이에서 취할 수 있는 모든 가능한 궤적(경로)에 대해 합산(또는 “적분”)하여 양자 진폭이나 통계역학의 분배 함수를 계산하는 개념입니다. 도식적으로는 $\int \mathcal{D}[x(t)]e^{iS[x(t)]/\hslash }$ 또는 $\int \mathcal{D}[\varphi ]e^{-S[\varphi ]}$와 같은 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 $S$는 작용 범함수이고 $\mathcal{D}[x(t)]$는 경로 공간 위의 “측도“를 나타냅니다. 경로 적분은 리만이나 르베그의 의미에서 수학적으로 엄밀한 표준 적분이 아닙니다. 그 정의는 일반적으로 이산화(시간 분할)와 극한을 취하는 방법, 또는 다른 특수한 형식론에 의존합니다.

보흐너 적분

보흐너 적분은 르베그 적분을 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 위에서 정의되고 바나흐 공간 $B$(완비 노름 벡터 공간)에 값을 갖는 함수 $f:X\to B$로 확장합니다. 르베그 적분의 구성과 마찬가지로, 보흐너 적분은 ($B$에서 유한 개의 값을 취하는) 단순 함수의 극한을 사용하여 정의됩니다. 그 결과로 얻는 적분 ${\int }_{X}fd\mu$는 바나흐 공간 $B$의 원소입니다. 보흐너 적분은 함수해석학, 벡터 측도론, 그리고 바나흐 공간에 값을 갖는 편미분방정식 연구에서 핵심적인 도구입니다.

이토 적분

이토 적분은 확률 미적분학의 기본 개념으로, 확률 과정, 대표적으로 브라운 운동(또는 위너 과정) $W_t$에 대한 적분을 정의합니다. 적절한(비예측적 또는 적합된) 확률 과정 $H_t$에 대해, 이토 적분 ${\int }_0^T{H}_{t}d{W}_t$는 다음과 같은 합의 극한으로 정의됩니다: ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=0}^{n-1}{H}_{t_i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})$. 핵심적인 특징은 피적분 함수 $H_{t_i}$를 시간 구간 $[t_i,t_{i+1}]$의 시작점에서 평가한다는 것입니다. 그 결과는 확률 변수이며, 이토 적분은 고전적인 미적분학의 규칙을 따르지 않습니다. 예를 들어, 연쇄 법칙은 이토의 보조정리로 대체됩니다. 이토 적분은 특히 금융과 물리학에서 무작위 잡음에 의해 구동되는 시스템을 모델링하는 데 필수적입니다.

아다마르 적분

아다마르 유한 부분 적분(또는 아다마르 정칙화)은 강한 특이점 때문에 통상적인 의미에서 발산하는 특정 유형의 이상 적분에 유한한 값을 부여하는 방법입니다. 예를 들어, $f$가 매끄럽고 $x_0\in (a,b)$인 적분 ${\int }_a^b\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^k}dx$에 대해, 아다마르 유한 부분은 $x_0$ 주변에서의 $f$의 테일러 전개로부터 얻은 발산 항들을 빼는 과정을 포함합니다. 이는 극한, 해석적 연속, 또는 분포 이론의 틀 안에서 형식적으로 정의됩니다. 이는 물리학과 응용수학, 특히 경계 요소법과 양자장론에서 나타나는 발산 적분을 정칙화하는 방법을 제공합니다.

다르부 적분

다르부 적분은 상합(upper sum)과 하합(lower sum)을 사용하여 리만 적분을 엄밀하게 정의하는 방법입니다. 구간 $[a,b]$에서 정의된 유계 함수 $f$에 대해, $[a,b]$를 소구간들로 분할하고 상합 $U(f,P)={\sum }_{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1})$와 하합 $L(f,P)={\sum }_{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$를 정의합니다. 여기서 $M_i$와 $m_i$는 각 소구간에서 $f$의 상한과 하한입니다. 상다르부 적분은 $\overline{{\int }_a^b}f(x)dx=\inf U(f,P):P\text{ is a partition of }[a,b]$로 정의되고, 하다르부 적분은 $\underline{{\int }_a^b}f(x)dx=\sup L(f,P):P\text{ is a partition of }[a,b]$로 정의됩니다. 이 상적분과 하적분이 같으면 함수가 다르부 적분 가능하다고 하며, 이때 그 공통값이 다르부 적분입니다. 이 접근 방식은 리만 적분의 정의와 동등한 대안을 제공하며, 근사 과정과 극한 과정을 명확하게 분리하여 특정 이론적 성질을 더 투명하게 드러낸다는 장점이 있습니다.

위너 적분

위너 적분은 일반적으로 위너 측도에 대한 적분을 가리키며, 위너 측도는 연속 경로들의 공간(흔히 0에서 시작하며, $C_0[0,T]$로 표기)에서 정의된 확률 측도입니다. 이 개념은 브라운 운동의 수학적 이론에서 중심적인 역할을 합니다. 이는 위너 과정 $W$의 범함수 $F$의 기댓값을 계산하는 것을 의미할 수 있으며, $E[F(W)]={\int }_{C_0[0,T]}F(\omega )dP(\omega )$로 표기합니다. 여기서 $P$는 위너 측도입니다. 이 용어는 때때로 비형식적으로, 위너 과정의 표본 경로에 대해 적분하는 이토 적분이나 스트라토노비치 적분 같은 확률 적분, 또는 측도가 유클리드 시간에서 위너 측도와 형식적으로 관련된 (파인만적 의미의) 경로 적분까지 포괄하기도 합니다.