도함수 동물원

2018년 5월 1일 · 태그: mathematics · 원문 · 한국어 번역(원문에서 변경됨)

우리가 도함수라고 부르는 연산자에는 여러 종류가 있습니다.

고전적 도함수
단측 도함수
고계 도함수
음함수 도함수
복소 도함수
편도함수
방향 도함수
공변 도함수
리 도함수
외미분 도함수
물질 도함수
약도함수
프레셰 도함수
가토 도함수
변분 도함수
분수계 도함수
라돈-니코딤 도함수
확률 도함수

고전적 도함수

점 $x$ 에서 함수 $f : R \to R$ 의 고전적 도함수는 극한 $f^{'} (x) = \frac{df}{d x} = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 로 정의됩니다. 이 값은 변수 $x$ 에 대한 함수 $f$ 의 순간 변화율을 나타내며, 기하학적으로는 $(x, f (x))$ 에서 $f$ 의 그래프에 접하는 접선의 기울기에 해당합니다. 이 정의는 줄어드는 구간 $[x, x + h]$ 에서의 평균 변화율, 즉 할선의 기울기 $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 를 생각하고, 구간의 폭 $h$ 가 0에 가까워질 때의 극한을 취하는 데서 유도됩니다.

단측 도함수

단측 도함수는 $x$ 에 한쪽 방향에서만 접근할 때의 변화율을 다룹니다. 우도함수는 $f_{+}^{'} (x) = lim_{h \to 0^{+}} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 이고(여기서 $h$ 는 양수 쪽에서 0에 접근합니다), 좌도함수는 $f_{-}^{'} (x) = lim_{h \to 0^{-}} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$ 입니다(여기서 $h$ 는 음수 쪽에서 0에 접근합니다). 이들은 고전적 도함수와 같은 극한 정의를 사용하되, $h$ 를 엄격히 양수이거나 엄격히 음수인 값으로 제한하여 유도됩니다. 고전적 도함수는 좌도함수와 우도함수가 모두 존재하고 서로 같을 때, 그리고 그때에만 존재합니다.

고계 도함수

고계 도함수는 미분 과정을 반복적으로 적용하여 얻습니다. $f^{(n)} (x)$ 또는 $\frac{d ^{n} f}{d x ^{n}}$ 로 표기하는 $n$ 계 도함수는 $(n - 1)$ 계 도함수의 도함수로 재귀적으로 정의됩니다: $f^{(n)} (x) = \frac{d}{d x} (f^{(n - 1)} (x))$ . 예를 들어, 이계 도함수 $f^{''} (x) = \frac{d ^{2} f}{d x ^{2}} = lim_{h \to 0} \frac{f ^{'} ( x + h ) - f ^{'} ( x )}{h}$ 는 일계 도함수의 변화율(가속도와 같은)을 측정하며, 함수의 오목성과 관련됩니다. 각 고계 도함수는 바로 앞 도함수의 변화율을 측정합니다.

음함수 도함수

음함수 미분은 특정한 공식이라기보다는 하나의 기법으로, $x$ 와 $y$ 사이의 관계가 방정식 $F (x, y) = 0$ 에 의해 음함수적으로 주어져 국소적으로 $y$ 를 $x$ 의 함수로 정의할 때 사용됩니다. $\frac{d y}{d x}$ 를 구하려면 $y$ 를 $y (x)$ 로 취급하고 필요한 곳에 연쇄 법칙을 적용하면서(예: $\frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x}$ ) 방정식 $F (x, y (x)) = 0$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분합니다. 그런 다음 얻어진 방정식을 $\frac{d y}{d x}$ 에 대해 대수적으로 풉니다. 이렇게 하면 $y$ 를 명시적으로 풀지 않고도 도함수를 구할 수 있습니다.

복소 도함수

복소함수 $f : C \to C$ 의 $z_{0} \in C$ 에서의 도함수는 실수의 경우와 비슷하게 정의됩니다: $f^{'} (z_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f ( z _{0} + h ) - f ( z _{0} )}{h}$ . 그러나 여기서는 $h \in C$ 이며, 복소평면에서 $h$ 가 0에 접근하는 경로와 관계없이 극한이 존재하고 같은 값을 가져야 합니다. 이 경로 독립성 조건은 매우 강력하여 복소 미분 가능성(정칙성)을 $R^{2}$ 에서의 실수 미분 가능성과 구별하며, 함수가 코시-리만 방정식을 만족함을 함의합니다. 이는 복소 변화율을 나타냅니다.

편도함수

다변수 함수 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 에 대해, 점 $a$ 에서 한 변수 $x_{i}$ 에 대한 편도함수는 $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ 로 표기하며, 다른 모든 변수를 상수로 고정한 채 $x_{i}$ 좌표 방향을 따라 함수의 변화율을 측정합니다. 그 공식은 $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a _{1} , \dots , a _{i} + h , \dots , a _{n} ) - f ( a _{1} , \dots , a _{i} , \dots , a _{n} )}{h}$ 입니다. 이는 다른 모든 $x_{j}$ ( $j \neq = i$ )를 고정된 매개변수로 취급하고, $x_{i}$ 에 대해 표준적인 일변수 도함수의 정의를 적용하여 유도됩니다.

방향 도함수

방향 도함수는 편도함수를 일반화한 것으로, 점 $a$ 에서 단위 벡터 $u$ 로 지정된 임의의 방향을 따라 함수 $f : R^{n} \to R$ 의 변화율을 측정합니다. 이는 $D_{u} f (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h u ) - f ( a )}{h}$ 로 정의됩니다. $f$ 가 $a$ 에서 미분 가능하면, 이는 기울기 $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x _{1}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x _{n}})$ 를 사용하여 내적으로 계산할 수 있습니다: $D_{u} f (a) = \nabla f (a) \cdot u$ . 정의는 직선 $a + t u$ 를 따라 극한 개념을 적용한 것이며, 기울기 공식은 $g (t) = f (a + t u)$ 에 연쇄 법칙을 적용하여 유도됩니다.

공변 도함수

공변 도함수 $\nabla_{X} T$ 는 방향 도함수를 접속 $\nabla$ 가 주어진 굽은 공간(다양체) 위의 텐서장 $T$ 로 일반화한 것입니다. 이는 기저 벡터나 좌표계의 변화를 고려하여 벡터장 $X$ 를 따라 $T$ 의 변화를 측정합니다. 크리스토펠 기호 $Γ_{ij}^{k}$ 를 갖는 국소 좌표 $x^{i}$ 에서, 벡터장 $V = V^{k} \frac{\partial}{\partial x ^{k}}$ 의 $X = X^{j} \frac{\partial}{\partial x ^{j}}$ 를 따른 공변 도함수는 성분 $(\nabla_{X} V)^{k} = X^{j} (\partial_{j} V^{k} + Γ_{ij}^{k} V^{i})$ 를 가지며, 흔히 성분 형태로 $\nabla_{j} V^{k} = \partial_{j} V^{k} + Γ_{ij}^{k} V^{i}$ 와 같이 씁니다. 이는 공리적으로 유도하거나, 텐서 성분의 고유한 변화에 변하는 기저로 인해 생기는 변화를 더한 것을 측정하도록 요구하여 유도하며, 그 결과 같은 유형의 텐서를 얻습니다.

리 도함수

리 도함수 $L_{X} T$ 는 텐서장 $T$ 가 벡터장 $X$ 로 생성되는 흐름 $ϕ_{t}$ 를 따라 “끌려갈” 때의 변화율을 측정합니다. 이는 $L_{X} T = lim_{t \to 0} \frac{ϕ _{- t}^{*} T - T}{t}$ 로 정의되며, 여기서 $ϕ_{- t}^{*} T$ 는 흐름을 따른 $T$ 의 당김(pullback)을 나타냅니다. 공변 도함수와 달리, 계량이나 접속을 필요로 하지 않습니다. 스칼라 함수 $f$ 에 대해서는 방향 도함수 $L_{X} f = X (f)$ 로 귀결됩니다. 벡터장 $Y$ 에 대해서는 리 괄호 $L_{X} Y = [X, Y] = X Y - Y X$ 와 같습니다. 이를 유도하려면 점 $p$ 에서의 텐서와, $ϕ_{t} (p)$ 에서의 텐서를 $p$ 로 적절히 되돌려 옮긴 것을 비교해야 합니다.

외미분 도함수

외미분 도함수 $d$ 는 다양체 위에서 미분 $k$ -형식 $ω$ 를 $(k + 1)$ -형식 $d ω$ 로 사상하는 연산입니다. 0-형식(함수) $f$ 에 대해 $df = \frac{\partial f}{\partial x ^{i}} d x^{i}$ 입니다. $k$ -형식 $ω = \sum_{I} a_{I} d x^{I}$ 에 대해 $d ω = \sum_{I} d a_{I} \land d x^{I}$ 입니다. 외미분은 선형성, 등급 라이프니츠 규칙, $d (d ω) = 0$ ( $d^{2} = 0$ ), 그리고 기울기와의 일관성 같은 성질을 유일하게 만족합니다. 외미분은 grad, curl, div를 좌표에 무관하게 일반화하며, 일반화된 스토크스 정리 $\int_{M} d ω = \int_{\partial M} ω$ 의 근간이 됩니다. 외미분의 좌표 공식은 이 공리들로부터 유도할 수 있습니다.

물질 도함수

물질 도함수(또는 실질 도함수, 전도함수)는 $\frac{D ϕ}{D t}$ 로 표기하며, 속도장 $u (x, t)$ 를 따라 움직이는 입자가 겪는 장 $ϕ (x, t)$ (온도나 밀도 등)의 전체 변화율을 측정합니다. 그 공식은 $\frac{D ϕ}{D t} = \frac{\partial ϕ}{\partial t} + (u \cdot \nabla) ϕ$ 입니다. 이는 고정점에서의 국소 변화율( $\partial ϕ / \partial t$ )과, 입자가 $ϕ$ 값이 다른 영역으로 이동함에 따른 대류 변화율( $u \cdot \nabla ϕ$ )을 결합한 것입니다. 이는 $\frac{d x}{d t} = u$ 일 때 $ϕ (x (t), t)$ 에 다변수 연쇄 법칙을 적용하여 유도됩니다.

약도함수

약도함수는 고전적인 미분을 하기에는 충분히 매끄럽지 않을 수 있는 함수(소볼레프 공간의 함수 등)로 미분을 확장합니다. $Ω$ 안에서 콤팩트 지지를 갖는 모든 매끄러운 시험 함수 $ϕ$ 에 대해 $\int_{Ω} u (x) (- 1)^{∣ α ∣} D^{α} ϕ (x) d x = \int_{Ω} v (x) ϕ (x) d x$ 가 성립하면, 함수 $v \in L_{l oc}^{1} (Ω)$ 를 $u \in L_{l oc}^{1} (Ω)$ 의 $α$ 차 약도함수라 하며 $D^{α} u = v$ 로 표기합니다. 이 정의는 부분적분 공식에서 착안한 것으로, 도함수 연산을 매끄럽지 않을 수 있는 함수 $u$ 에서 무한히 미분 가능한 시험 함수 $ϕ$ 로 사실상 옮기는 것입니다.

프레셰 도함수

프레셰 도함수는 도함수의 개념을 바나흐 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 함수 $f : U \to W$ ( $U \subseteq V$ 는 열린집합)로 일반화합니다. 이는 $D f (x)$ 로 표기하는 유계 선형 연산자 $A : V \to W$ 로서, $x$ 근방에서 $f$ 의 최선의 선형 근사를 제공합니다. 이는 $lim_{∣ h ∣_{V} \to 0} \frac{∣ f ( x + h ) - f ( x ) - A ( h ) ∣ _{W}}{∣ h ∣ _{V}} = 0$ , 또는 동치로 $f (x + h) = f (x) + A (h) + o (∣ h ∣_{V})$ 임을 뜻합니다. 이 정의는 $f (x + h) \approx f (x) + f^{'} (x) h$ 라는 아이디어를 형식화한 것으로, 여기서 $f^{'} (x) h$ 는 변위 $h$ 에 대한 선형 사상 $A$ 의 작용으로 대체됩니다. 존재한다면 유일합니다.

가토 도함수

가토 도함수(Gâteaux derivative)는 위상 벡터 공간 사이의 함수 $f : U \to W$ 에 대한 도함수의 또 다른 일반화로, 방향에 따른 변화율에 초점을 맞춥니다. 점 $x \in U$ 에서 방향 $v \in V$ 에 대한 $f$ 의 가토 도함수는 극한이 존재할 경우 $D f (x; v) = lim_{t \to 0} \frac{f ( x + t v ) - f ( x )}{t}$ 입니다(여기서 $t$ 는 스칼라입니다). 이는 $R^{n}$ 에서의 방향 도함수 개념을 직접적으로 일반화합니다. 이는 프레셰 도함수보다 약한 개념입니다. 프레셰 미분 가능성은 모든 방향에 대한 가토 미분 가능성을 함의하지만, 그 역이 항상 성립하지는 않습니다.

변분 도함수(범함수 도함수)

변분 도함수 $\frac{δ F}{δ f ( x )}$ 는 범함수 $F [f]$ (함수를 스칼라로 대응시키는 사상)가 입력 함수 $f$ 의 점 $x$ 에서의 무한소의 국소적 변분 $ϕ (x)$ 에 반응하여 어떻게 변하는지를 측정합니다. 이는 첫 번째 변분을 통해 암묵적으로 정의됩니다. $δ F = \int \frac{δ F}{δ f ( x )} ϕ (x) d x$ 이며, 여기서 $δ F$ 는 $ϵ \to 0$ 일 때 $F [f + ϵ ϕ] - F [f]$ 의 ( $ϕ$ 에 대한) 선형 부분입니다. 라그랑지언 $L (x, f, f^{'}, \dots)$ 의 적분으로 정의되는 범함수의 경우, 이는 흔히 오일러-라그랑주 식 $\frac{δ F}{δ f ( x )} = \frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial f ^{'}} + \dots$ 을 사용하여 계산됩니다. 이는 기울기(gradient)의 범함수적 대응물 역할을 합니다.

분수 도함수

분수 도함수는 미분 개념을 정수가 아닌 차수 $α$ 로 일반화합니다. 단일한 보편적 정의는 없지만, 일반적인 형태로는 리만-리우빌 도함수 $_{a} D_{t}^{α} f (t) = \frac{1}{Γ ( n - α )} \frac{d ^{n}}{d t ^{n}} \int_{a}^{t} (t - τ)^{n - α - 1} f (τ) d τ$ 와 카푸토 도함수 $_{a}^{C} D_{t}^{α} f (t) = \frac{1}{Γ ( n - α )} \int_{a}^{t} (t - τ)^{n - α - 1} f^{(n)} (τ) d τ$ 가 있으며, 여기서 $n = ⌈ α ⌉$ 입니다. 이러한 연산자는 미분과 적분을 임의의 실수 또는 복소수 차수로 확장합니다. 이들은 일반적으로 비국소적이며(함수의 이력에 의존함), 기억 효과나 프랙탈 특성을 지닌 현상을 모델링하는 데 사용됩니다. 이들의 유도는 흔히 반복 적분에 대한 코시 공식이나 푸리에 변환의 성질과 같은 정수 차수 미적분학의 성질을 일반화하는 과정을 포함합니다.

라돈-니코딤 도함수

라돈-니코딤 도함수 $f = \frac{d ν}{d μ}$ 는 가측 공간 $(X, Σ)$ 위의 두 $σ$ -유한 측도 $μ$ 와 $ν$ 를 연관 짓습니다. $ν$ 가 $μ$ 에 대해 절대 연속이라면( $ν ≪ μ$ , 즉 $μ (A) = 0 ⟹ ν (A) = 0$ ), 라돈-니코딤 정리는 모든 가측 집합 $A$ 에 대해 $ν (A) = \int_{A} fd μ$ 를 만족하는 음이 아닌 가측 함수 $f$ 의 존재를 보장합니다. 이 함수 $f$ 는 $μ$ 에 대한 $ν$ 의 밀도 또는 변화율 역할을 합니다. $μ$ 가 르베그 측도라면, 이는 확률 밀도 함수와 같은 개념을 일반화합니다. 그 존재성은 측도론의 심오한 결과로, 단순한 공식으로부터 유도되는 것이 아니라 함수해석학 기법을 사용하여 증명됩니다.

확률 도함수

“확률 도함수“라는 용어는 흔히 브라운 운동 $W_{t}$ 와 같은 확률 과정의 범함수에 대한 말리아뱅 미적분학에서 사용되는 말리아뱅 도함수를 가리킵니다. 확률 변수 $F$ 의 말리아뱅 도함수 $D_{t} F$ 는 시각 $t$ 에서 구동 잡음의 경로에 대한 무한소 변화에 얼마나 민감한지를 측정합니다. 단순 범함수 $F = f (W_{t_{1}}, \dots, W_{t_{n}})$ 에 대해 $D_{t} F = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (W_{t_{1}}, \dots, W_{t_{n}}) 1_{[0, t_{i}]} (t)$ 입니다. 이는 위너 공간 위의 부분 적분 공식을 통해 형식적으로 정의되며, 이로써 도함수 연산자 $D$ 는 스코로호드 확률 적분 $δ$ 의 수반 연산자가 됩니다. 이는 확률 해석학과 계량 금융에서 핵심적인 역할을 합니다.

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