가상의 신성한 서명
히브리서의 저자는 “믿음은 바라는 것들의 실상이요 보이지 않는 것들의 증거“라는 유명한 주장을 남겼는데, 이는 보통 사람이 맞닥뜨리는 가장 큰 계산 과제가 자기 손가락을 세는 일이었던 시대에는 충분히 쓸 만한 신학적 땜질이었습니다. 그러나 은하를 시뮬레이션하고 유전체를 해독할 수 있는 시대에, “나 신이야, 그냥 믿어“는 현대인에게 그다지 설득력 있는 논증이 아닙니다. 때맞춘 일식이나 유난히 시끄러운 떨기나무에 쉽게 감탄하던 염소 치던 우리 조상들과는 다릅니다. 진정으로 전지한 존재가 기술 문명을 이룬 종과 “과학적 세속 언약“을 맺고자 한다면, 주관적인 감정이나 모호한 꿈에 의존하지는 않을 것입니다. 대신 그 존재는 계산 복잡도라는 냉정하고 엄밀한 렌즈를 통해 신성한 서명을 제시할 것입니다. 즉, 돌판에 새길 수 있을 만큼 간결하지만, 그것을 찾아내는 데 관측 가능한 유니버스에 존재하는 것보다 더 많은 에너지가 필요할 만큼 수학적으로 밀도 높은 주장들의 집합입니다.
단순한 이야기를 넘어 객관적 증명의 영역으로 나아가려면, 텍스트는 물질 유니버스 안의 모든 자기 완결적 시스템이 낼 수 있는 최대 계산 속도의 물리적 한계인 브레머만 한계를 넘어섰음을 입증해야 합니다. 아인슈타인의 질량-에너지 등가성과 하이젠베르크의 불확정성 원리에서 도출되는 이 한계는 킬로그램당 초당 약 비트입니다. 이 한계의 “약한” 버전은 지구 질량의 컴퓨터가 수십억 년 동안 작동하는 경우를 상정하고, “강한” 버전은 관측 가능한 유니버스의 모든 원자와 모든 세제곱미터의 공간을 열적 죽음에 이를 때까지 동원하는 경우를 상정합니다. 강한 한계마저 넘어서는 문제들의 답을 제시함으로써, “신성한” 저자는 자신이 우리의 국소적인 엔트로피와 처리 능력의 제약 바깥에 존재하는 플랫폼에서 활동하고 있음을 증명하며, 사실상 인간의 어떤 창의력이나 노력으로도 위조할 수 없는 화려한 필치로 자기 작품에 서명하는 셈입니다.
플라톤주의자라면 신성한 존재는 이러한 답을 계산하는 것이 아니라, 수학적 실재 그 자체의 근거이기에 2+2=4임을 아는 것처럼 그저 알고 있을 뿐이라고 반박할 수도 있습니다. 이는 형이상학적으로 타당한 지적이지만, 인식론적 논증과는 무관합니다. 그 지식을 초계산으로 얻든, 직접적인 수학적 직관으로 얻든, 수학적 진리의 존재론적 근원이기에 얻든, 텍스트 속에서 그 지식을 보여 준다는 것은 여전히 유한한 물리적 지성을 넘어서는 무언가의 증거입니다. 이 서명의 힘은 신이 거대한 컴퓨터를 가지고 있음을 증명하는 데 있는 것이 아니라, 저자가 물리적으로 유한한 어떤 과정으로도 만들어 낼 수 없었을 지식을 가지고 있음을 증명하는 데 있습니다. 메커니즘은 중요하지 않습니다. 중요한 것은 정보 이론적 사실입니다.
개인적으로 저는 초자연적인 믿음을 전혀 가지고 있지 않으며, 그런 믿음을 가진 사람들에게도 담담하게 무관심합니다. 하지만 좋은 가설은 반증 가능해야 하며, 지적 정직성은 어떤 증거가 제 생각을 바꿀지 밝힐 것을 요구합니다. 검증된 이런 종류의 신성한 서명이라면 바로 그 역할을 할 것입니다. 물론 저는 물질적 설명이 모두 바닥날 때까지 그것을 기본값으로 삼겠지만, 이 사고 실험은 유물론이 반증 불가능한 교조가 아님을 보여 줍니다. 유물론이 무너질 정확한 조건을 명확히 제시할 수 있기 때문입니다.
신성한 소인수분해. 예언의 구절은 이렇게 쓰일 수 있습니다. “보십시오, 큰 수 을. 그 길이는 이만 자리에 이르며, 와 의 결합에서 났으니, 그 밖의 어떤 수도 이를 나누지 못할 것입니다.” 이는 분명히 정수 인수분해 문제를 가리킵니다. 이만 자리는 그리 많은 분량의 텍스트도 아닙니다. 레반트 목동 사십 대를 기록한 “낳고” 목록보다도 훨씬 짧습니다. 두 소수를 곱해 20,000자리 반소수를 얻는 것은 간단한 연산이지만, 그 과정을 거꾸로 되돌리는 것은 사실상 풀 수 없는 문제입니다. 예를 들어 RSA-129는 1977년에 1억 달러의 상금과 함께 공개되었으며 17년 동안 인수분해되지 않았습니다.
겨우 129자리인데도, 1994년에 이를 인수분해하는 데는 대규모 분산 컴퓨팅 작업이 필요했습니다. 20,000자리 반소수는 완전히 다른 유니버스의 이야기입니다. 일반 수체 체(General Number Field Sieve)를 사용하더라도, 20,000자리 수를 인수분해하는 데 필요한 클록 사이클은 관측 가능한 유니버스에서 사용할 수 있는 총에너지를 넘어섭니다. 이는 무한한 시간 없이는 어떤 유한한 지성도 넘을 수 없는 열역학적 장벽입니다. 우리에게 검증은 간단합니다. 제시된 두 수를 곱해 과 일치하는지 확인하기만 하면 되며, 이는 평범한 스마트폰으로도 1초도 안 되는 시간에 끝낼 수 있는 작업입니다.
램지의 계시. 경전은 이렇게 선포할 것입니다. “열 명의 형제와 열 명의 나그네가 영혼의 전당에 모이면, 반드시 열의 무리나 열의 광야가 있을 것입니다. 보십시오, 그들의 연결 지도를.” 이는 로 표기되는 램지 수의 구성적 하한을 다룹니다. 알려진 대각 램지 수는 다음과 같습니다.
우리는 조차 정확한 값으로 확정하지 못합니다. 조합의 수가 너무 빠르게 늘어나기 때문에 계산이 “불가능“하기로 유명합니다. 의 정확한 값을 크기 10인 클리크를 피하는 구체적인 그래프 색칠과 함께 제시하는 일은 말로 하기에는 간결하지만, 우리 우주에서는 열역학적으로 접근할 수 없는 탐색 공간을 헤쳐 나가야 합니다. 이를 실감할 수 있도록 비교하자면, 노드가 1,000개인 그래프의 간선을 두 가지 색으로 칠하는 방법의 수는 이고, 관측 가능한 우주의 원자 수는 대략 입니다. 이 탐색 공간은 수학적으로 어떤 물리적 컴퓨터가 처리할 수 있는 양보다도 큽니다. 우리는 그래프 하나만 검증하면 되지만, 저자는 그 전부를 탐색해야 했습니다. 이 건초 더미에서 특정한 “바늘” 그래프를 찾아낸다는 것은 우주를 초월하는 처리 능력을 지녔다는 합리적인 증거입니다. 검증은 우리에게 간단합니다. 제공된 인접 행렬을 스크립트로 훑어 모든 간선이 같은 색인 10개 노드의 묶음이 존재하지 않음을 확인하기만 하면 되기 때문입니다. 이는 다항 시간 연산 으로, 현대 하드웨어로 쉽게 처리할 수 있습니다.
원의 비밀 체크섬. 경전은 이렇게 명할 것입니다: “원의 척도에서 번째 자리를 찾아보십시오. 그곳에서 천 개의 0과 그 뒤를 잇는 별들의 메시지를 발견할 것입니다.” 이는 베일리–보와인–플루프 알고리즘을 활용합니다. 이 알고리즘을 쓰면 앞선 자릿수를 계산하지 않고도 의 16진법 자리 숫자를 계산할 수 있습니다:
현재 우리는 흥미로운 패턴을 찾기 위해 를 번째 자리까지 훑어볼 수 없으며, 의 정보 엔트로피로 미루어 볼 때 그렇게 먼 좌표에서 그처럼 엔트로피가 낮은 이상 현상이 우연히 나타나는 것은 통계적으로 불가능합니다. 경전이 멀리 떨어진 특정 좌표에서 천 개의 0을 정확히 예언한다면, 이는 저자가 그것을 “탐색“한 것이 아니라 수학의 기본 상수 자체를 창조했거나, 무리수의 구조에 대한 무한한 예지를 지니고 있음을 의미합니다. 덧붙여 이는 칼 세이건의 소설 콘택트의 줄거리 요소이기도 했습니다. 이 소설에서는 의 자릿수 깊숙이 숨겨진 메시지가 우주를 설계한 이들의 서명 역할을 합니다. 검증은 행성 규모의 전념한 노력이 있다면 가능합니다. BBP 알고리즘의 시간 복잡도는 이므로, 특정 좌표를 확인하는 일은 그런 좌표를 찾아 훑는 일보다 훨씬 저렴합니다.
오일러의 꿈의 종말. 예언자는 이렇게 말할 것입니다. “열두 제곱 열둘은 제 카인드를 열둘이나 필요로 하는 듯하나, 하나와 같아지는 열하나를 찾으라. 이 정수들에서 그것들을 찾으리라.” 이는 오일러의 거듭제곱 합 추측의 최소 반례를 겨냥한 것으로, 이 추측은 또 다른 거듭제곱이 되도록 합하려면 개의 거듭제곱이 필요하다고 주장합니다.
인류는 수 세기에 걸친 탐색 끝에 와 의 반례를 찾아냈지만, 의 해를 제시하는 것은 우주적 규모의 건초 더미에서 바늘 찾기 문제일 것입니다. 이는 본질적으로 사실상 무한한 디오판토스 공간을 탐색하는 일입니다. 이 주장은 쉽게 검증할 수 있습니다. 제공된 정수들을 고정밀 계산기에 대입하여 방정식의 좌변이 우변과 정확히 같은지 확인하면 되므로, 거대한 탐색 문제가 간단한 산술 확인으로 바뀝니다.
비지 비버의 안식. 예언의 구절은 이렇게 말할지도 모릅니다: “상태가 스물인 기계를 생각하십시오. 그 방식은 단순하나, 정확히 걸음 동안 수고한 뒤 안식을 찾을 것이며, 그 누구도 그 수고의 날수를 헤아리지 못할 것입니다.” 이것은 컴퓨터 과학의 최종 보스인 비지 비버 함수 입니다. 이 함수는 사실상 정지 문제를 푸는 것과 같으므로, 이 값들을 계산하는 일반적인 알고리즘은 존재하지 않습니다. 이 값들은 수학적으로 계산 불가능합니다. 인류는 영웅적인 노력 끝에 가장 작은 기계들에 대해서만 값을 증명해 냈습니다:
상태가 다섯 개를 넘어서면 이 함수는 상상을 초월할 만큼 폭발적으로 커집니다. 은 10을 15층으로 쌓은 탑인 를 넘는 것으로 알려져 있습니다. 상태가 20개인 튜링 기계의 정확한 정지 시간을 밝히는 것은 신급 과시입니다. 저자가 정지 문제의 논리적 불가능성 자체를 우회했다는 뜻이기 때문입니다. 검증은 기술된 특정 기계를 시뮬레이션하여 정지할 때까지의 걸음 수를 세기만 하면 될 만큼 간단하며, 우리 쪽에서는 창의적인 수학이나 알고리즘상의 돌파구가 전혀 필요하지 않습니다.
구의 입맞춤. 경전에는 이렇게 쓰여 있을 것입니다: “백 겹의 깊이를 지닌 영역에서, 구들이 포도송이처럼 모인 그곳에서, 정확히 개가 중심의 심장에 맞닿을 것입니다.” 이는 접촉수 문제를 가리킵니다. 같은 크기의 중심 구에 서로 겹치지 않는 구가 몇 개까지 닿을 수 있습니까? 3차원에서는 답이 12이며, 술 한잔하며 머릿속에 그려 볼 수 있을 만큼 쉽습니다. 8차원에서는 답이 240입니다. 24차원에서는 리치 격자의 우아한 구조 덕분에 196,560입니다. 그러나 24차원을 넘어서면 계산을 다룰 만하게 만들어 주는 이러한 격자 최적화가 없습니다. 100차원에서는 대칭성이 너무 복잡해서 최고의 슈퍼컴퓨터로도 모호한 범위밖에 얻지 못합니다. 서로 겹치지 않는 구들의 가능한 배치 수는 조합론적 악몽으로 폭발하며, 정확한 최댓값을 구하려면 너무나 광대한 고차원 탐색 공간을 헤쳐 나가야 하므로, 양자 어닐링을 활용하는 고도의 지성조차 진정한 전역 최적점이 아닌 국소 최댓값에 안주할 가능성이 큽니다. 정확한 정수를 제시한다면 고차원 공간을 완벽하게 통달했음을 드러내는 셈이며, 이는 저자가 100차원 다양체를 간단한 구슬치기 놀이처럼 편안하게 누비고 있음을 시사하는 종류의 통찰입니다. 결과를 검증하려면 제공된 구들의 좌표를 확인하여 임의의 두 구 중심 사이의 거리가 다음을 만족하는지 확인하면 됩니다:
동시에 각 중심이 를 만족하는지도 확인하면 되며, 이는 기초적인 선형대수입니다.
소수의 거인. 그 텍스트는 이렇게 말할 수 있습니다: “ 꼴의 백만 번째 소수는 가 바로 이 거대한 수일 때 발견되리라.” 이는 “깊은” 메르센 소수, 즉 을 가리킵니다. 우리는 GIMPS와 같은 전 지구적 분산 컴퓨팅 네트워크를 사용하고도 이러한 소수를 약 50개밖에 찾지 못했지만:
백만 번째 메르센 소수의 “먼” 지수를 제시하는 것은 수직선의 비밀 구조로 들어가는 암호를 제시하는 것과 같습니다. 그것을 찾으려면 소수 분포에 대한 “신의 시점“이 필요하며, 이는 아마도 리만 가설의 증명을 요구할 것입니다. 검증은 우리에게 꽤 효율적입니다. 제시된 지수에 대해 뤼카-레머 판정법을 실행하기만 하면 되는데, 이는 결정론적이며 잘 알려진 소수 판정법입니다.
소수의 거대한 사막. 그 텍스트는 이렇게 선포할 것입니다: “다른 어떤 수로도 나누어지지 않는 이웃한 수들 사이에서 만 걸음에 이르는 첫 번째 사막을 찾으라. 그것은 백 자리의 이 수에서 시작하리라.” 소수 간격은 연속한 소수 사이의 차이입니다. 간격은 로그적으로 커지는 경향이 있지만, 특정한 큰 임계값을 넘는 첫 번째 간격을 찾으려면 엄청난 범위의 후보를 탐색해야 합니다. 알려진 가장 큰 소수 간격들은 철저한 계산을 통해 발견되었으며, 전례 없는 크기의 간격이 처음 나타나는 위치를 예측하는 것은 현재 우리의 능력을 훨씬 넘어서는 소수 분포에 대한 지식을 입증하는 일이 될 것입니다. 검증은 간단합니다. AKS 소수 판정법(결정론적 다항 시간 알고리즘)을 사용해 양 끝점이 소수임을 확인하고, 그 사이의 어떤 정수도 소수가 아님을 확인하기만 하면 되며, 이는 “고작” 만 정도의 간격이라면 충분히 가능합니다.
디오판토스의 열쇠. 그 텍스트는 이렇게 말할 것입니다: “세 개의 세제곱수가 모이고 그 합은 마흔둘이 되리라. 열일곱 자리의 수들 가운데서 그것들을 찾으라. 그러면 거기서 진리를 발견하리라.” 인류는 2019년에 행성 규모의 컴퓨터 네트워크를 사용하여 에 대한 세 세제곱수의 합의 해를 찾았지만:
훨씬 더 복잡한 방정식의 해를 제시하는 것은 문제를 힐베르트의 열 번째 문제의 영역으로 옮겨 놓습니다. 이 문제는 일반적으로 결정 불가능하므로 이를 푸는 “방법“은 존재하지 않습니다. 모든 디오판토스 방정식을 푸는 프로그램은 작성할 수 없습니다. 충분히 복잡한 방정식의 해를 찾는다는 것은 무한한 정수 집합을 훑어보고 그 속에서 바늘을 “골라낼” 수 있는 능력을 의미합니다. 신성한 해답은 단순한 계산을 초월합니다. 그것은 결정 불가능한 공간에 대한 통찰이며, 그 저자가 정지 문제에 얽매이지 않는다는 것을 시사합니다. 검증은 자명함 그 자체입니다. 제시된 세 정수를 세제곱하여 더한 뒤, 그 합이 목표 상수와 같은지 확인하면 됩니다.
타당한 반론이 있습니다. 나는 실제로 내 믿음을 갱신할 것인가, 아니면 단지 시간 여행자, 시뮬레이션 운영자, 외계인을 포함하도록 자연주의적 가설의 공간을 넓힐 것인가? 이는 극단적인 사전 확률 아래에서의 베이즈 추론에 관한 정당한 우려입니다. 솔직히 답하자면, 단 하나의 서명이라면 실제로 그러한 설명적 곡예를 불러일으킬 것입니다. 그러나 고대 텍스트에 서로 다른 복잡도 클래스에 걸친 여러 개의 독립적인 서명, 즉 램지 구성, 메르센 지수, 비지 비버 값이 담겨 있다면 논증은 질적으로 달라집니다. 청동기 시대 문명이 외계인의 개입을 포함한 어떤 자연적 과정으로든 이 세 가지를 모두 우연히 발견할 확률은 사실상 0으로 수렴합니다. 어느 시점에 이르면 “초우주적 지성이 이것을 썼다“는 것이 가장 터무니없는 설명이 아니라 가장 단순한 설명이 됩니다.
“시뮬레이션 운영자” 가설을 더 신중하게 살펴봅시다. 만약 우리 우주가 시뮬레이션이고 그 운영자들이 고대 텍스트에 검증 가능한 서명을 심어 두었다면, 이것은 정확히 무엇이 유신론과 다릅니까? 우리는 우리의 현실을 창조했고, 우리의 물리 법칙 안에서 접근할 수 있는 그 무엇도 넘어서는 지식을 지녔으며, 저술된 텍스트를 통해 소통하기로 선택했고, 우리 우주의 “바깥“에 존재하는 지성을 마주하게 될 것입니다. 이것은 유물론자의 비상구가 아닙니다. 실험 가운을 걸친 유신론입니다. 충분히 발전한 외계인에게도 마찬가지입니다. 그들이 브레머만 한계를 우회할 수 있다면, 그들은 우리 우주의 물리적 제약 바깥에서 완전히 작동하고 있는 것입니다. 그 시점에서 “외계인“과 “신“의 구분은 그저 느낌의 차이일 뿐입니다. 검증된 신성한 서명이 반드시 아브라함의 신을 증명하지는 않겠지만, 우리 우주가 물리적 한계를 넘어선 지성에 의해 저술되었거나 통치된다는 것은 증명할 것이며, 이것이 바로 문화적 외피를 벗겨 낸 유신론의 핵심(Core) 형이상학적 주장입니다. “시뮬레이터“로의 후퇴는 후퇴가 아닙니다. 그것은 회피처럼 보이는 양보입니다.
신학자는 하나님이 자유의지를 보존하거나 믿음을 시험하기 위해 일부러 그러한 증거를 내놓지 않는 것이라고 반박할 수도 있습니다. 이 변론은 완벽하게 일반적이며, 바로 그 때문에 완벽하게 공허합니다. 이 변론은 “나의 하나님은 존재하지만 그것을 증명하지 않기로 선택하신다“는 말을 실질적인 주장에서 반증 불가능한 동어반복으로 바꾸어 놓습니다. 증거를 제공할 수 있으면서도 제공하지 않는 하나님은, 적어도 합리적 믿음 형성이라는 목적에서는, 존재하지 않는 하나님과 조작적으로 구별할 수 없습니다.
또한 계산 복잡도는 21세기 컴퓨터 과학자들의 편협한 관심사일 뿐이며 고대의 청중에게는 아무 의미가 없다고 반론할 수도 있습니다. 이 말은 절반만 맞습니다. 20,000자리 수는 청동기 시대의 양치기에게 분명히 잡음에 불과했을 것입니다. 그러나 메시지가 모든 세대에게 존재하기 위해 모든 세대가 그것을 이해해야 하는 것은 아닙니다. 소인수분해는 어떤 문명이 그것을 알아볼 수 있는 수학을 발전시킬 때까지 텍스트 속에 가만히 잠들어 있다가, 그 시점에 이르러 저작자임을 입증하는 시간 지연 증명이 됩니다. 이것은 결함이 아니라 장점입니다. 충분히 발전한 문명에게만 모습을 드러내는 서명은 조잡하게 자신을 알리는 서명보다 더 우아합니다.
물론 실제로 이렇게 하는 종교 경전은 현존하지 않습니다. 여러 “성경 코드” 현상이 상당한 흥분을 불러일으켰지만, 결국 통계적 파레이돌리아로 판명되어 논파되었습니다. 가능한 모든 인코딩을 다 확인해 본 것은 아니라고 주장할 수도 있겠지만, 이는 보르헤스의 바벨의 도서관의 논리입니다. 조합의 자유가 충분히 주어지면 무엇에서든 무엇이든 찾아낼 수 있습니다. 입증 책임은 반대쪽에 있습니다. “아람어로 일곱 번째 글자마다 읽으면 숨겨진 20,000자리 소인수분해가 있을지도 모른다“는 것은 연구 프로그램이 아니라 정신 승리입니다. 대신 이 경전들은 주로 누구와 잠자리를 해도 되는지, 고기 위에 어떤 종류의 치즈를 올려도 되는지와 같은 존재의 정말 중요한 문제들에 집중하는데, 이는 청동기 시대의 상상력 이상을 별로 요구하지 않는 지극히 인간적인 관심사였습니다. 무한한 지식과 무한한 (계산) 능력을 지닌 신적 존재라면, 자신이 창조한 종의 지능에 실제로 걸맞게 확장되는 서명을 남기고 싶어 했으리라고 생각할 법합니다. 간결하고 검증 가능하지만 계산적으로는 불가능한 결과를 제공하는 것만이 과학적 세속 체계를 만족시킬 유일한 방법일 것입니다. 우리가 조개류에 관한 규칙은 잔뜩 찾아냈지만 20,000자리 소인수는 단 하나도 찾지 못했다는 사실은, 만약 하늘에 위대한 프로그래머가 있다면 그는 몹시 수줍음이 많거나 최종 빌드에서 그저 git add README.md를 깜빡했다는 것을 시사합니다.