우주를 만들기에 충분한 수

2024년 2월 1일 · 태그: mathematics, physics · 원문 · 한국어 번역(원문에서 변경됨)

재미 삼아 다음 질문을 생각해 보십시오. 우주를 만드는 데 쓰이는 수는 무엇입니까? 확실히 알지는 못하지만, 현재 우리가 이해하는 물리학을 소수의 기본 상수만으로 구성할 수 있다는 것은 알고 있습니다. 어떤 상수는 정확히 알고, 어떤 상수는 근삿값만 압니다. 어떤 상수는 보편적이고, 어떤 상수는 경험적으로 결정됩니다. 수학 상수부터 시작합시다.

D는 공간 차원의 수입니다. 공간에는 세 개의 차원이 있으며, 흔히 길이, 너비, 높이라고 부릅니다. 이 차원들은 서로 수직이며, 공간 속 물체의 위치와 운동을 이해하는 틀을 제공합니다. 차원이 더 있을 수도 있지만, 지금은 세 개로 한정하겠습니다.

$$D=3$$

우주에는 시간의 연속체에 해당하는 시간 차원도 하나 있습니다. 시공간에서 시간 차원은 시간 좌표라고 불리는 하나의 수로 나타내며, 이 수는 시간 속에서 물체의 위치를 나타냅니다.

$$T=1$$

파이(π)는 원의 지름에 대한 둘레의 비로 정의되는 무차원 수학 상수입니다.

$$\pi \approx 3.141592653589793238$$

e는 지수적 성장과 감쇠를 연구할 때 나타나는 무차원 수학 상수입니다. 이 상수는 미적분학에서 자연스럽게 나타납니다.

$$e\approx 2.71828182845904523536$$

이제 물리 상수를 살펴보겠습니다. 물리의 완전한 표준 모델에는 25개의 기본 무차원 상수가 필요합니다. 현재로서는 이 상수들의 수치를 어떤 포괄적인 이론으로도 설명하지 못하며, 오직 실험 측정으로만 결정합니다. 이 상수들은 다음과 같습니다:

• 미세 구조 상수
• 강한 결합 상수
• 쿼크가 서로 다른 형태 사이에서 어떻게 진동하는지를 기술하는 카비보-고바야시-마스카와 행렬의 네 매개변수
• 중성미자가 서로 다른 형태 사이에서 어떻게 진동하는지를 기술하는 폰테코르보-마키-나카가와-사카타 행렬의 네 매개변수
• 플랑크 질량으로 표현할 수 있는 기본 입자의 질량 15개
  • 쿼크 여섯 개
  • 렙톤 여섯 개
  • 힉스 보손
  • W 보손
  • Z 보손

물리의 표준 모델에서 사용되는 모든 물리 상수를 정리한 NIST의 표가 있습니다.

미세 구조 상수($\alpha$로 표기)는 전자기 복사와 물질 사이의 상호작용을 연구하는 데 사용되는 기본 물리 상수입니다. 미세 구조 상수의 값은 무차원량입니다.

$$\alpha =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{\hslash c}$$

$$\alpha \approx \frac{1}{137}$$

$$\alpha =0.0072973525693$$

플랑크 상수는 문자 h로 나타내며, 그 값은 $6.63\cdot 10^{-34}J\cdot s$입니다. 이 상수를 이용하면 입자의 진동수가 주어졌을 때 그 입자와 관련된 에너지의 양을 계산할 수 있습니다. 이 관계를 나타내는 방정식은 E = hf라는 공식으로 주어지며, 여기서 E는 입자의 에너지, f는 진동수, h는 플랑크 상수입니다.

$$h=6.62607015\times 10^{-34}Js$$

$$\hslash =\frac{h}{2\pi }$$

플랑크 질량은 콤프턴 파장이 플랑크 길이와 같은 입자의 질량으로 정의됩니다. 입자의 콤프턴 파장은 그 입자의 크기를 나타내는 척도이며, 플랑크 길이는 우리 우주에서 측정할 수 있는 가장 작은 길이입니다. 따라서 플랑크 질량은 현재 우리의 이해에 따르면 우리 우주에 존재할 수 있는 가장 작은 질량을 나타내는 척도입니다.

$$1.22089\times 10^{19}GeV/c^2$$

CKM 행렬이라고도 불리는 카비보-고바야시-마스카와 행렬은 입자 물리학에서 양성자와 중성자를 구성하는 여섯 가지 쿼크의 혼합을 기술하는 데 사용되는 유니터리 행렬입니다. CKM 행렬은 업 쿼크, 다운 쿼크, 맵시 쿼크, 기묘 쿼크, 꼭대기 쿼크, 바닥 쿼크라는 여섯 가지 쿼크의 혼합을 기술합니다. 이 여섯 가지 쿼크는 같은 기본 입자의 서로 다른 형태, 즉 “맛깔“로 여겨지며, 다른 입자와 상호작용하면서 이 서로 다른 맛깔 사이를 진동하거나 “전환“할 수 있습니다.

$$\left[\begin{array}{ccc}{V}_{ud}& V_{us}& V_{ub}\\ V_{cd}& V_{cs}& V_{cb}\\ V_{td}& V_{ts}& V_{tb}\end{array}\right]$$

PMNS 행렬이라고도 불리는 폰테코르보-마키-나카가와-사카타 행렬은 입자 물리학에서 세 세대 중성미자의 혼합을 기술하는 데 사용되는 유니터리 행렬입니다.

PMNS 행렬은 전자 중성미자, 뮤온 중성미자, 타우 중성미자라는 세 세대 중성미자의 혼합을 기술합니다. 이 세 세대의 중성미자는 같은 기본 입자의 서로 다른 형태, 즉 “맛깔“로 여겨지며, 공간을 전파하면서 이 서로 다른 맛깔 사이를 진동하거나 “전환“할 수 있습니다.

PMNS 행렬은 세 개의 행과 세 개의 열로 이루어진 3x3 행렬이며, 세 세대 중성미자의 혼합을 기술하는 여섯 개의 실수 매개변수를 포함합니다. 이 여섯 개의 매개변수는 세 개의 혼합각과 세 개의 CP 위반 위상이며, 이들은 입자 물리학의 CP 위반 현상과 관련되어 있습니다.

$$\left[\begin{array}{ccc}{U}_{e1}& U_{e2}& U_{e3}\\ U_{\mu 1}& U_{\mu 2}& U_{\mu 3}\\ U_{\tau 1}& U_{\tau 2}& U_{\tau 3}\end{array}\right]$$

업 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$1.4\times 10^{-22}–2.7\times 10^{-22}$$

다운 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$3.4\times 10^{-22}–4.8\times 10^{-22}$$

맵시 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$0.78\times 10^{-22}–1.30\times 10^{-22}$$

전하를 띤 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$1.4\times 10^{-22}–2.7\times 10^{-22}$$

기묘 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$8.27\times 10^{-21}$$

꼭대기 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$173.07GeV/c^2$$

바닥 쿼크의 질량은 다음과 같습니다:

$$3.43\times 10^{-19}$$

전자의 질량은 다음과 같습니다:

$$4.18546\times 10^{-23}$$

전자 중성미자의 질량은 다음과 같습니다:

$$9.00978\times 10^{-30}$$

뮤온의 질량은 다음과 같습니다:

$$8.65418\times 10^{-21}$$

뮤온 중성미자의 질량은 다음과 같습니다:

$$<1.6\times 10^{-28}$$

타우의 질량은 다음과 같습니다:

$$1.45535\times 10^{-19}$$

타우 중성미자의 질량은 다음과 같습니다:

$$1.6\times 10^{-28}$$

W 보손의 질량은 다음과 같습니다:

$$80.385GeV/c^2$$

Z 보손의 질량은 다음과 같습니다:

$$91.1876GeV/c^2$$

힉스 보손의 질량은 다음과 같습니다:

$$125.35GeV$$

힉스 장의 기댓값은 공간의 주어진 영역에서 힉스 장의 평균값을 나타내는 척도입니다. 이는 장의 가능한 모든 배위에 대한 힉스 장의 가중 평균으로 정의되며, 여기서 가중치는 각 배위의 확률에 의해 결정됩니다.

게이지 이론에서 U(1) 결합 상수는 전하를 띤 입자와 전자기장 사이의 상호작용 세기를 나타내는 매개변수입니다. 이는 전하를 띤 입자가 전자기장의 영향을 얼마나 강하게 받는지를 나타내는 척도이며, 입자의 전하 및 전자기장의 세기와 관련이 있습니다.

SU(2) 결합 상수는 입자와 SU(2) 게이지장 사이의 상호작용 세기를 나타내는 척도입니다. 이는 입자 물리 표준 모델의 기본 상수이며, 약한 핵력과 관련이 있습니다. SU(2) 결합 상수는 기호 ${\alpha }_W$로 나타내며, 약력의 결합 상수와 전자기력의 결합 상수의 비로 정의됩니다.

강한 결합 상수는 쿼크와 글루온 사이의 상호작용 세기를 나타내는 척도입니다. 이 역시 표준 모형의 기본 상수이며, 강한 핵력과 관련이 있습니다. 강한 결합 상수는 기호 ${\alpha }_S$로 나타내며, 강력의 결합 상수와 전자기력의 결합 상수의 비로 정의됩니다.

바인베르크 각은 기호 ${\theta }_W$로 나타내며, 특정 기준틀에서 약력과 전자기력 사이의 각도로 정의됩니다. 바인베르크 각의 값은 고정되어 있지 않지만, 일반적으로 약 0.23으로 측정됩니다. 이 값은 전자기력에 대한 약력의 상대적 세기를 결정하고, 이것이 다시 원자 및 아원자 규모에서 입자의 거동에 영향을 미치므로 중요합니다.

$${\theta }_W=0.22290$$

진공 에너지라고도 하는 우주 상수는 우주론 연구에 사용되는 우주의 기본 상수입니다. 이는 기호 $\Lambda$로 나타내며, 빈 공간의 에너지 밀도로 정의됩니다. 우주 상수는 우주의 팽창과 관련이 있으며, 시간에 따른 우주의 진화를 연구하는 데 결정적인 역할을 합니다. 우주 상수는 우주 팽창의 가속을 일으키는 원인으로 여겨집니다.

$$\Lambda =1.05\times 10^{-52}{m}^{-2}$$

빛의 속도는 물리학 연구에 사용되는 우주의 기본 상수입니다. 이는 기호 $c$로 나타내며, 빛이 진공에서 이동하는 속도로 정의됩니다. 빛의 속도는 일정한 값이며, 공간과 시간의 성질과 관련이 있습니다.

$$c=299792458m/s$$

진공의 투자율은 물리학 연구에 사용되는 우주의 기본 상수입니다. 이는 기호 ${\mu }_0$로 나타내며, 진공의 투자율로 정의됩니다. 진공의 투자율은 공간과 시간의 성질과 관련이 있습니다.

$${\mu }_0=4\pi \alpha \hslash /(e^{2}c)$$

기본 전하는 양성자 하나가 띠는 전하, 또는 같은 의미로 전자 하나가 띠는 음전하의 크기입니다.

$$e=1.60217663\times 10^{-19}\text{coulombs}$$

쿨롱 상수는 물리학 연구에 사용되는 우주의 기본 상수입니다. 이는 기호 $k_e$로 나타내며, 전하를 띤 두 입자 사이의 전기력과 두 입자 전하의 곱의 비로 정의됩니다. 쿨롱 상수는 공간과 시간의 성질과 관련이 있습니다.

$$k_e=1/(4\pi {ϵ}_0)$$

입자 전하는 우주에 존재하는 입자들이 띠는 전하입니다.

입자 정지 질량은 우주에 존재하는 입자들의 질량입니다.

뤼드베리 상수는 원자와 분자 구조를 연구하는 데 사용되는 물리 상수입니다. 이 상수는 기호 $R_{\infty }$로 표기하며, 원자 번호가 무한대에 가까워질 때 뤼드베리 공식이 갖는 극한으로 정의됩니다. 뤼드베리 상수는 수소 원자의 에너지 준위와 관련이 있으며, 수소 원자가 방출하는 스펙트럼선의 파장을 계산하는 데 사용됩니다.

$$R_{\infty }=10973731.568508m^{-1}$$

플랑크 질량은 물리학 연구에 사용되는 기본 물리 상수입니다. 이 상수는 기호 $m_P$로 표기하며, 콤프턴 파장이 플랑크 길이와 같은 입자의 질량으로 정의됩니다. 플랑크 길이는 우주에서 측정할 수 있는 가장 작은 길이이며, 공간과 시간의 성질과 관련이 있습니다.

$$m_P=2.176434\times 10^{-8}kg$$

플랑크 시간은 물리학 연구에 사용되는 기본 물리 상수입니다. 이 상수는 기호 $t_P$로 표기하며, 광자가 진공에서 플랑크 길이 하나만큼 이동하는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다. 플랑크 시간은 공간과 시간의 성질과 관련이 있으며, 우주에서 측정할 수 있는 가장 짧은 시간 간격을 계산하는 데 사용됩니다.

$$t_P=5.391247\times 10^{-44}s$$

플랑크 길이는 물리학 연구에 사용되는 기본 물리 상수입니다. 이 상수는 기호 $l_P$로 표기하며, 양자 효과가 두드러지게 나타나는 길이로 정의됩니다. 플랑크 길이는 공간과 시간의 성질과 관련이 있으며, 우주에서 측정할 수 있는 가장 작은 길이를 계산하는 데 사용됩니다.

$$l_P=1.616255\times 10^{-35}m$$

플랑크 온도는 물리학 연구에 사용되는 기본 물리 상수입니다. 이 상수는 기호 $T_P$로 표기하며, 입자의 열에너지가 그 입자의 정지 질량 에너지와 같아지는 온도로 정의됩니다. 플랑크 온도는 공간과 시간의 성질과 관련이 있으며, 우주에서 측정할 수 있는 가장 높은 온도를 계산하는 데 사용됩니다.

$$T_P=1.416784\times 10^{32}K$$

뉴턴 상수는 중력 상수라고도 하며, 뉴턴의 만유인력 법칙에 등장하는 물리 상수입니다. 문자 G로 표기하는 중력 상수는 두 물체 사이의 중력을 나타내는 수식에 등장하는 비례 상수입니다.

$$G=6.67430\cdot 10^{-11}N{m}^2/k{g}^2$$

허블 상수는 우주의 팽창 속도를 나타내는 척도입니다. 허블 상수는 보통 문자 H로 표기하며, 은하가 우리에게서 멀어지는 속도와 그 은하까지의 거리의 비로 정의됩니다. 이 관계는 수식으로 $H=v/d$와 같이 나타내며, 여기서 $v$는 은하의 속도이고 d는 우리로부터 은하까지의 거리입니다.

$$H_0=67.8km/s/\text{megaparsec}$$

이것으로 끝입니다! 이제 우리는 우주를 만들기에 충분한 수를 갖추었습니다(적어도 현재 우리가 이해하는 바로는 그렇습니다). 물리 법칙을 더 완전하게 이해하게 되면 아마 몇 가지가 더 나타날 것이고, 어쩌면 시공간 자체에 대한 이론이 더 근본적인 어떤 이론에서 나올 수도 있습니다. 하지만 지금으로서는 이 30개의 기본 상수가, 말하자면, 모든 것의 바탕을 이룹니다.