끈 진폭에서 얻는 파이

2024년 9월 1일 · 태그: mathematics · 원문 · 한국어 번역(원문에서 변경됨)

Arnab Priya Saha와 Aninda Sinha의 논문에서 가져왔습니다. $\pi$에 대한 새로운 급수와 그 수렴성입니다.

$$\pi =4+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}\left(\frac{1}{n+\lambda }-\frac{4}{2n+1}\right){\left(\frac{(2n+1{)}^2}{4(n+\lambda )}-n\right)}_{n-1}$$

여기서 $(a{)}_{n-1}$는 포흐하머 기호입니다.

$$(a{)}_{n-1}=\frac{\Gamma (a+n-1)}{\Gamma (a)}$$

$\lambda$는 수렴을 최적화하기 위한 자유 매개변수입니다. $\lambda$가 무한대로 가면 이 급수는 고전적인 마다바 급수가 됩니다. $\lambda$가 10에서 100 사이이면 이 급수는 30개 항만으로 소수점 이하 열 자리까지 수렴합니다. 이는 소수점 이하 열 자리까지 수렴하는 데 50억 개의 항이 필요한 고전적인 마다바 급수보다 훨씬 효율적입니다.

이는 Python으로 다음과 같이 구현할 수 있습니다:

import mpmath as mp

def mp_calculate_pi(lambda_val, iters):
    mp.dps = 100
    pi = mp.mpf(4)
    n = 1
    prev_pi = 0
    factorial = mp.mpf(n)

    for i in range(iters):
        term1 = 1.0 / factorial
        term2 = 1.0 / (n + lambda_val) - 4 / (2 * n + 1)
        term3 = ((2 * n + 1) ** 2) / (4 * (n + lambda_val)) - n

        pochhammer = 1
        for i in range(n - 1):
            pochhammer *= term3 + i

        prev_pi = pi
        pi += term1 * term2 * pochhammer

        # print to 30 decimal places using mpmath
        approx = mp.nstr(pi, 100)

        # Compare to mp.pi to calcualte the delta
        delta = abs(pi - mp.pi)

        # numbers of digits that pi approximate is correct to
        accuracy = round(abs(mp.log(abs(pi - mp.pi), 10)))

        # Print a line with the current iteration, pi, delta
        print(f'{n} {approx} {delta} {accuracy}')

        n += 1
        factorial = factorial * n

    return pi, n - 1

lambda_val = 42
pi, n = mp_calculate_pi(lambda_val, 30)