13.4 통계 분포

이 절을 마치면 다음을 할 수 있습니다.

도수분포를 작성하고 해석합니다.
정규분포를 사용하여 확률을 적용하고 평가합니다.
지수분포를 사용하여 확률을 적용하고 평가합니다.

도수분포

도수분포는 데이터 집합을 정리하고 요약하는 방법을 제공합니다. 예를 들어, 데이터 집합 분포의 퍼짐, 중심, 모양에 관심이 있을 수 있습니다. 데이터 집합에 데이터 값이 많으면 패턴을 파악하고 데이터의 중요한 특성에 대한 결론을 내리기 어려울 수 있습니다. 도수분포를 사용하면 데이터를 요약된 방식으로 정리하고 표로 나타낼 수 있으며, 데이터 집합의 해석을 돕는 그래프도 만들 수 있습니다.

기본적인 도수분포를 만들려면 열이 세 개인 표를 작성하십시오. 첫 번째 열에는 데이터의 구간을 표시하고, 두 번째 열에는 데이터 값의 도수, 즉 각 구간에 속하는 데이터 값의 개수를 표시합니다. 각 행의 상대도수를 나타내는 세 번째 열을 추가할 수 있으며, 상대도수는 해당 행의 도수를 표에 있는 모든 도수의 합으로 나누어 계산합니다.

생각해 보기수요와 공급 그래프 그리기

한 증권사의 재무 컨설턴트가 고객 20명의 포트폴리오 가치를 표 13.5와 같이 기록하였으며, 포트폴리오 가치는 천 달러 단위로 표시되어 있습니다.

표 13.5 증권사 고객 20명의 포트폴리오 가치
천 달러
278 318 422 577 618 735 798 864 903 944 1,052 1,099 1,132 1,180 1,279 1,365 1,471 1,572 1,787 1,905

포트폴리오 가치에 대해 다음 구간을 사용하여 도수분포표를 작성하십시오.

0–299

300–599

600–899

900–1,199

1,200–1,499

1,500–1,799

1,800–2,099

풀이

풀이:

첫 번째 열에 포트폴리오 가치의 구간이 나열된 표를 작성하십시오. 이 예에서는 행이 일곱 개이고 계급 폭이 300인 도수분포표를 작성하기로 하였습니다. 계급 폭은 한 구간의 시작점에서 다음 행에 있는 다음 구간의 시작점까지의 거리입니다. 예를 들어, 두 번째 행의 구간은 300에서 시작하고, 세 번째 행의 구간은 600에서 시작하는 식입니다.

두 번째 열에는 각 행의 도수, 즉 해당 구간에 속하는 데이터 값의 개수를 기록하십시오. 예를 들어, 첫 번째 행에서는 0과 299 사이에 속하는 데이터 값의 개수를 세십시오. 이 구간에 속하는 데이터 값은 하나(278)뿐이므로 해당 도수는 1입니다. 두 번째 행의 경우 300과 599 사이에 속하는 데이터 값이 3개(318, 422, 577) 있습니다. 따라서 두 번째 행의 도수는 3입니다.

상대도수라고 하는 세 번째 열에는 각 행의 도수를 도수의 합계인 20으로 나눈 값을 기록합니다. 예를 들어 첫 번째 행의 상대도수는 1을 20으로 나눈 값인 0.05가 됩니다. 두 번째 행의 상대도수는 3을 20으로 나눈 값인 0.15가 됩니다. 이렇게 만든 도수분포표는 표 13.6에 나와 있습니다.

표 13.6 한 증권회사 고객 20명의 포트폴리오 가치 도수분포($000s)
포트폴리오 가치 구간($000s)	도수	상대도수
0–299	1	0.05
300–599	3	0.15
600–899	4	0.20
900–1,199	6	0.30
1,200–1,499	3	0.15
1,500–1,799	2	0.10
1,800–2,099	1	0.05

도수분포표에서 $900,000에서 $1,199,000 사이 행의 도수가 가장 높으므로, 대부분의 고객이 이 구간의 포트폴리오 가치를 보유하고 있음을 알 수 있습니다. 포트폴리오 가치가 $299,000 미만이거나 $1,800,000 초과인 고객은 매우 적습니다. 해당 행들의 도수가 매우 낮기 때문입니다. 가장 높은 도수가 표의 가운데 행에 해당하고 이 가운데 구간에서 위아래로 구간이 멀어질수록 도수가 감소하므로, 도수분포표는 이 분포가 종 모양 분포임을 보여 줍니다.

다음은 (정수 데이터에 대한) 도수분포표를 만드는 방법을 요약한 것입니다. 도수분포표의 계급 수는 표의 행 수와 같다는 점에 유의하십시오.

다음 공식을 사용하여 계급 폭을 계산하십시오. ClassWidth=Max - MinNumberofClasses
- 참고: 정수 데이터의 경우 계급 폭을 다음 정수로 올림하십시오.
계급 수와 같은 수의 행으로 표를 만드십시오. 하한 계급 한계, 상한 계급 한계, 도수, 상대도수 열을 만드십시오.
첫 번째 행의 하한 계급 한계는 데이터 집합의 최솟값이나 그 밖의 적절한 값으로 정하십시오.
두 번째 행의 하한 계급 한계는 첫 번째 행의 하한 계급 한계에 계급 폭을 더해 계산하십시오. 새로 구한 하한 계급 한계마다 계급 폭을 더해 다음 행들의 하한 계급 한계를 차례로 계산하십시오.
각 행의 상한 계급 한계는 다음 행의 하한 계급 한계보다 1만큼 작습니다. 각 상한 계급 한계에 계급 폭을 더해 다음 행의 상한 계급 한계를 구할 수도 있습니다.
각 행에서 하한 계급 한계와 상한 계급 한계 사이에 드는 데이터 값의 개수를 세어 그 행의 도수를 기록하십시오.
각 행의 도수를 전체 데이터 값의 개수로 나누어 그 행의 상대도수를 계산하십시오.

정규분포

연속분포인 정규 확률밀도함수는 모든 분포 중에서 가장 중요한 분포입니다. 정규분포는 평균에서 위아래로 계급이 멀어질수록 데이터 값의 도수가 감소할 때 적용할 수 있습니다. 정규분포는 일정 기간 동안의 뮤추얼 펀드 평균 수익률, 포트폴리오 가치 등 금융 산업의 여러 사례에 적용할 수 있습니다. 정규분포에는 두 개의 모수, 즉 수치적 기술 척도가 있습니다. 바로 평균 $μ$ 와 표준편차 $σ$ 입니다. 변수 x는 측정 대상인 양을 나타내며, 그 데이터 값은 정규분포를 따릅니다.

그림 13.3의 곡선은 평균 $μ$ 을 지나는 수직선을 기준으로 대칭입니다. 그래프가 $μ$ 을 기준으로 대칭이므로 평균은 중앙값과 같고, 중앙값은 최빈값과 같습니다. 표기법에서 알 수 있듯이, 정규분포는 오직 평균과 표준편차에 의해서만 결정됩니다. 곡선 아래의 면적은 반드시 1이어야 하므로, 표준편차 $σ$ 가 변하면 정규곡선의 모양이 변합니다. 곡선은 $σ$ 에 따라 더 두껍고 넓어지거나 더 가늘고 높아집니다. $μ$ 가 변하면 그래프가 왼쪽이나 오른쪽으로 이동합니다. 이는 정규확률분포가 무수히 많이 존재한다는 것을 의미합니다.

정규분포와 관련된 확률을 구하려면 정규곡선 아래의 특정 면적을 구하며, 이에 대해서는 금융 맥락에서 정규분포 적용하기에서 더 자세히 다룹니다. 예를 들어, 어느 금융 컨설팅 회사에서 직원 급여의 평균이 $60,000이고 표준편차가 $7,500이라고 가정해 봅시다. 이 상황을 나타내는 정규곡선을 그릴 수 있으며, 이때 평균 $60,000은 가로축 위에 표시되어 곡선의 꼭대기에 대응합니다. 그런 다음 직원이 $75,000보다 많이 벌 확률을 구하려면, 데이터 값 $75,000의 오른쪽에 있는 정규곡선 아래의 면적을 계산하면 됩니다.

Excel은 지정된 값의 왼쪽에 있는 정규곡선 아래의 면적을 구하기 위해 다음 명령을 사용합니다.

=NORM.DIST(XVALUE, MEAN, STANDARD_DEV, TRUE)

예를 들어, 앞에서 언급한 금융 컨설팅 회사에서 직원 급여의 평균은 $60,000이고 표준편차는 $7,500입니다. Excel을 사용하여 임의의 직원의 급여가 $55,000 미만일 확률을 구하려면 다음 명령을 사용하면 됩니다.

=NORM.DIST(55000, 60000, 7500, TRUE)

Result: 0.25249

따라서 임의의 직원의 급여가 $55,000 미만일 확률은 약 25%입니다.

지수분포

지수분포는 흔히 어떤 특정한 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간과 관련이 있습니다. 예를 들어 금융 전문가는 회사 채권자에 대한 지급이 채무불이행에 이르기까지 걸리는 시간을 모형화하고자 할 수 있습니다.

지수분포는 큰 값은 적고 작은 값은 많은 분포입니다. 예를 들어, 마케팅 연구에 따르면 고객이 매장에서 지출하는 금액은 지수분포를 따르는 것으로 나타났습니다. 적은 금액을 지출하는 사람은 많고, 많은 금액을 지출하는 사람은 적습니다.

지수분포는 제품 신뢰성, 즉 제품이 지속되는 기간을 계산하는 데 흔히 사용됩니다. 지수분포의 확률변수는 연속적이며 흔히 시간의 경과를 측정하지만, 다른 응용 분야에서도 사용될 수 있습니다. 전형적인 질문으로는 "어떤 사건이 x₁시간과 x₂시간 사이에 발생할 확률은 얼마인가?" 또는 "그 사건을 수행하는 데 x₁시간보다 오래 걸릴 확률은 얼마인가?" 등이 있습니다. 이러한 예에서 확률변수 x는 사건 사이의 시간 또는 어떤 행동(예: 고객 응대)을 완료하는 데 걸리는 시간의 경과와 같습니다. 확률밀도함수는 다음과 같이 주어집니다.

f (x) = \frac{1}{μ} e^{- \frac{1}{μ} x}

여기서 $μ$ 는 확률변수 값의 과거 평균(예: 과거 평균 대기 시간)입니다. 이 확률밀도함수의 평균과 표준편차는 $\frac{1}{μ}$ 입니다.

지수분포와 관련된 확률을 구하려면 지수분포 곡선 아래의 특정 면적을 구합니다. 다음 공식을 사용하여 특정 값의 왼쪽에 있는 지수곡선 아래의 면적을 계산할 수 있습니다.

F (x) = 1 - e^{- \frac{1}{μ} x}