13.3 위치 측도

z-점수

z-점수는 z-값이라고도 하며, 데이터 집합 내 항목의 위치를 나타내는 측도입니다. 이는 데이터 값이 평균과 몇 표준편차만큼 차이 나는지를 나타냅니다. 예를 들어, 어느 해에 기술 중심의 여러 뮤추얼 펀드의 수익률을 조사한 결과 평균 수익률이 7.8%이고 표준편차가 2.3%라고 가정합시다. 어떤 뮤추얼 펀드가 자사의 수익률을 12.4%로 공시합니다. 이 12.4%의 수익률을 바탕으로 다른 기술 중심 뮤추얼 펀드와 비교한 이 뮤추얼 펀드의 상대적 위치를 계산할 수 있습니다. 측정값에 대응하는 z-점수는 주어진 측정값을 모집단 전체의 평균 및 표준편차와 관련지어 고려합니다.

z-점수를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

여기서 x는 측정값이고, $\mu$는 평균이며, $\sigma$는 표준편차입니다.

사분위수와 백분위수

어떤 사람이 IQ 검사를 받으면 그 결과 점수가 87번째 백분위수에 해당한다고 보고될 수 있습니다. 이 백분위수는 IQ 검사를 받은 다른 사람들과 비교한 그 사람의 상대적 성적을 나타냅니다. 87번째 백분위수에 해당하는 점수를 받은 사람은 검사를 받은 다른 모든 사람의 87%보다 IQ 점수가 높습니다. 이는 그 사람이 IQ 검사를 받은 전체 인원 중 상위 13%에 속한다는 말과 같습니다.

흔히 쓰이는 위치 측도로는 사분위수와 백분위수가 있습니다. 사분위수는 특별한 백분위수입니다. 제1사분위수 Q₁는 25번째 백분위수와 같고, 제3사분위수 Q₃는 75번째 백분위수와 같습니다. 중앙값 M은 제2사분위수라고도 하고 50번째 백분위수라고도 합니다.

사분위수와 백분위수를 계산하려면 데이터를 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 순서대로 정렬해야 합니다. 사분위수는 정렬된 데이터를 4등분합니다. 백분위수는 정렬된 데이터를 100등분합니다. 시험에서 90번째 백분위수에 해당하는 점수를 받았다고 해서 반드시 그 시험에서 90점을 받았다는 뜻은 아닙니다. 이는 시험 점수의 90%가 여러분의 점수와 같거나 그보다 낮고, 나머지 10%의 점수가 여러분의 점수와 같거나 그보다 높다는 뜻입니다.

백분위수는 값을 비교하는 데 유용합니다. 금융 분야의 예를 들면, 어떤 뮤추얼 펀드는 지난 1년간 해당 펀드의 성과가 동종 그룹 내 전체 뮤추얼 펀드 중 80번째 백분위수에 해당했다고 보고할 수 있습니다. 이는 해당 펀드가 동종 그룹 내 다른 모든 펀드의 80%보다 더 좋은 성과를 냈다는 것을 나타냅니다. 또한 이는 펀드의 20%가 이 특정 펀드보다 더 좋은 성과를 냈다는 것도 나타냅니다.

사분위수는 데이터를 4등분하는 값입니다. 사분위수는 데이터에 포함될 수도 있고 포함되지 않을 수도 있습니다. 사분위수를 구하려면 먼저 중앙값, 즉 제2사분위수를 구합니다. 제1사분위수 Q₁은 데이터 하위 절반의 가운데 값, 즉 중앙값이며, 제3사분위수 Q₃은 데이터 상위 절반의 가운데 값입니다. 예를 들어, 특정 연도의 기술 기반 뮤추얼 펀드 그룹의 수익률을 나타내는 다음의 정렬된 데이터 집합을 살펴보겠습니다.

중앙값, 즉 제2사분위수는 이 데이터 집합의 중간값이며, 그 값은 7.2입니다. 데이터 값의 50%는 중앙값보다 작고, 데이터 값의 50%는 중앙값보다 크다는 점에 유의하십시오. 데이터 값의 하위 절반은 5.4, 6.0, 6.3, 6.8, 7.1입니다. 이 값들은 중앙값보다 작은 데이터 값이라는 점에 유의하십시오. 데이터 값의 상위 절반은 7.4, 7.5, 7.9, 8.2, 8.7이며, 이 값들은 중앙값보다 큰 데이터 값입니다.)

제1사분위수 Q₁을 구하려면 데이터 하위 절반의 가운데 값을 찾습니다. 데이터 집합의 하위 절반의 중간값은 6.3입니다. 데이터 값의 4분의 1, 즉 25%는 이 제1사분위수보다 작고, 데이터 값의 75%는 이 제1사분위수보다 크다는 점에 유의하십시오.

제3사분위수 Q₃을 구하려면 데이터 상위 절반의 가운데 값을 찾습니다. 데이터 집합의 상위 절반의 중간값은 7.9입니다. 데이터 값의 4분의 1, 즉 25%는 이 제3사분위수보다 크고, 데이터 값의 75%는 이 제3사분위수보다 작다는 점에 유의하십시오.

사분위범위(IQR)는 데이터의 가운데 절반, 즉 가운데 50%의 퍼짐 정도를 나타내는 수입니다. 이는 제3사분위수 Q₃와 제1사분위수 Q₁의 차이입니다.

위의 예에서 IQR은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

이상값 탐지

사분위수와 IQR을 사용하면 데이터 집합에서 이상값일 수 있는 값을 표시할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 회사의 직원 대부분이 약 50,000달러를 벌고 그 회사의 CEO가 250만 달러를 번다면, CEO의 급여는 데이터 집합의 다른 모든 급여와 크게 다르므로 이상값 데이터 값으로 간주합니다. 이상값 데이터 값은 다른 데이터 값보다 훨씬 작은 값일 수도 있으므로, 어떤 직원이 $15,000만 번다면 이 직원의 낮은 급여 역시 이상값으로 간주될 수 있습니다.

이상값을 탐지하려면 사분위수와 IQR을 사용하여 이상값의 하한과 상한을 계산하십시오. 그러면 하한보다 작거나 상한보다 큰 데이터 값은 모두 이상값으로 표시됩니다. 이러한 데이터 값은 이상값이 나타난 원인을 파악하기 위해 추가로 조사해야 합니다.

이상값의 하한과 상한을 계산하려면 다음 공식을 사용하십시오.