13.2 산포의 척도

표준편차

모든 데이터 집합의 중요한 특성 중 하나는 데이터의 변동입니다. 어떤 데이터 집합에서는 데이터 값이 평균 가까이에 모여 있고, 다른 데이터 집합에서는 데이터 값이 더 넓게 퍼져 있습니다. 예를 들어, 투자자는 주식 A의 연간 수익률인 1%, 2%, -1%, 0%, 3%를 살펴보고, 이를 주식 B의 연간 수익률인 -9%, 2%, 15%, -5%, 0%와 비교할 수 있습니다.

주식 B가 주식 A보다 연간 수익률의 변동성이 더 크다는 점에 주목하십시오. 투자자는 특정 투자 목표에 맞는 최선의 투자 결정을 내리기 위해 이러한 변동을 정량화하고자 할 수 있습니다.

변동, 즉 산포를 나타내는 가장 일반적인 척도는 표준편차입니다. 데이터 집합의 표준편차는 데이터 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 척도입니다. 표준편차는

• 데이터 집합의 전체 변동량에 대한 수치적 척도를 제공하며,
• 특정 데이터 값이 평균에 가까운지 또는 먼지를 판단하는 데 사용할 수 있습니다.

표준편차는 데이터 집합의 전체 변동에 대한 척도를 제공합니다. 표준편차는 항상 양수이거나 0입니다. 데이터 값이 모두 평균 가까이에 모여 있어 변동이나 산포가 거의 없을 때 표준편차는 작습니다. 데이터 값이 평균으로부터 더 많이 퍼져 있어 변동이 클 때 표준편차는 더 커집니다.

서로 다른 두 주식, 주식 A와 주식 B의 변동성을 연구한다고 가정해 봅시다. 두 주식의 평균 주가는 모두 5달러입니다. 주식 A의 주가 표준편차는 2인 반면, 주식 B의 표준편차는 4입니다. 주식 B의 표준편차가 더 크므로, 주식 B의 주가가 주식 A의 주가보다 변동이 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

표준편차를 계산하는 공식에는 두 가지가 있습니다. 어느 공식을 사용할지는 데이터가 표본을 나타내는지 모집단을 나타내는지에 따라 달라집니다. 표기 s는 표본 표준편차를 나타내는 데 사용되고, 표기 $\sigma$는 모집단 표준편차를 나타내는 데 사용됩니다. 아래에 제시된 공식에서 x̄는 표본 평균, $\mu$는 모집단 평균, n은 표본 크기, N은 모집단 크기입니다.

표본 표준편차 공식:

모집단 표준편차 공식:

분산

분산 또한 데이터 값의 퍼짐 정도를 나타내는 척도입니다. 데이터 집합의 분산은 각 데이터 값이 평균과 얼마나 차이가 나는지를 측정합니다. 개별 데이터 값이 평균과 많이 차이 날수록 분산은 커집니다. 표준편차와 분산은 모두 비슷한 정보를 제공합니다.

금융 분야에서 분산은 투자의 변동성을 판단하는 데 사용될 수 있으며, 따라서 금융 의사결정을 내리는 데 도움을 줄 수 있습니다. 예를 들어, 좀 더 신중한 투자자는 변동성이 낮은 투자를 선택할 수 있습니다.

표준편차와 마찬가지로, 분산을 계산하는 데 사용하는 공식 역시 데이터가 표본에서 수집되었는지 모집단에서 수집되었는지에 따라 달라집니다. 표본분산은 $s^2$ 기호로 나타내고, 모분산은 σ² 기호로 나타냅니다.

표본분산 공식:

모분산 공식:

표본의 표준편차와 분산을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

1. 먼저, 데이터 값을 모두 더한 뒤 그 합을 데이터 값의 개수로 나누어 데이터 집합의 평균 $\overline{x}$을 구하십시오.
2. 열이 세 개인 표를 만들고, 첫 번째 열에 데이터 집합의 데이터 값을 나열하십시오.
3. 각 행마다 데이터 값 $(x-\overline{x})$에서 평균을 빼고, 그 차이를 두 번째 열에 기입하십시오. 이 열의 값은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있다는 점에 유의하십시오. 이 열에 있는 값의 합은 0이 됩니다.
4. 세 번째 열에는 각 행마다 두 번째 열의 값을 제곱한 값을 기입하십시오. 따라서 이 세 번째 열에는 각 행의 (데이터 값 – 평균)²이 들어가게 됩니다. 이 값은 ${\left(x - \overline{x}\right)}^2$로 나타낼 수 있습니다. 세 번째 열의 값은 제곱한 값이므로 항상 양수라는 점에 유의하십시오.
5. 세 번째 열의 값을 모두 더하십시오. 이 합은 $\sum {\left(x-\overline{x}\right)}^2$로 나타낼 수 있습니다.
6. 이 합을 (n – 1)로 나누십시오. 여기서 n은 데이터 점의 개수입니다. 이는 $\frac{\sum {\left(x - \overline{x}\right)}^2}{n - 1}$로 나타낼 수 있습니다.
7. 이 결과를 표본분산이라고 하며, s²로 표기합니다. 따라서 표본분산 공식은 $s^2=\frac{\sum {\left(x - \overline{x}\right)}^2}{n - 1}$입니다.
8. 이제 표본분산의 제곱근을 구하십시오. 이 값이 표본 표준편차이며, s라고 합니다. 따라서 표본 표준편차의 공식은 $s=\sqrt{\frac{\sum (x\mathit{ }-\mathit{ }\overline{\mathit{x}}{)}^2}{n\mathit{ }- 1}}$입니다.
9. 반올림 규칙: 표본 분산과 표본 표준편차는 일반적으로 데이터 값 자체보다 소수점 아래 한 자리를 더 두어 반올림합니다.

위 예제에서 보듯이 분산과 표준편차를 계산하는 것은 번거로운 과정입니다. 재무용 계산기를 사용하면 평균과 표준편차 같은 통계 측정값을 빠르고 효율적으로 계산할 수 있습니다.

계산기로 통계 계산을 수행하려면 다음 두 단계가 필요합니다.

1. 7 키 위에 있는 [DATA] 기능을 사용하여 계산기에 데이터를 입력하십시오.
2. 8 키 위에 있는 [STAT] 기능을 사용하여 계산기가 제공하는 통계 결과를 확인하십시오.

재무용 계산기로 평균과 표준편차를 계산하려면 표 13.4의 단계를 따르십시오. 여기서는 위 Think It Through 예제의 나이 데이터 집합을 다시 사용합니다: 40, 36, 44, 51, 54, 55, 39, 47, 44, 50.

통계 결과에서 평균은 46으로, 표본 표준편차는 6.50으로 표시됩니다.

Excel은 내장 함수 =AVERAGE(평균)와 =STDEV.S(표본 표준편차)를 사용하여 비슷한 분석을 제공합니다. Excel에서 이러한 통계 결과를 계산하려면 데이터 값을 한 열에 입력하십시오. 데이터 값이 A2 셀부터 A11 셀까지 입력되어 있다고 가정합시다. 아무 셀에나 Excel 명령 =AVERAGE(A2:A11)을 입력하고 Enter 키를 누르십시오. Excel이 이 셀에 산술평균을 계산합니다. 그런 다음, 다른 아무 셀에 Excel 명령 =STDEV.S(A2:A11)을 입력하고 Enter 키를 누르십시오. Excel이 이 셀에 표본 표준편차를 계산합니다. 그림 13.2은 10개 나이의 평균과 표준편차를 보여 줍니다.

표준편차와 분산의 관계

위에 제시한 분산과 표준편차 공식에서 분산은 표준편차의 제곱이고, 표준편차는 분산의 제곱근이라는 점에 주목하십시오.

이 값 중 하나를 계산하면 다른 값을 바로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 데이터 집합의 표준편차가 12.5라는 것을 알고 있다면, 이 표준편차를 제곱하여 분산을 계산할 수 있습니다. 그러면 분산은 12.5², 즉 156.25입니다.

같은 방식으로, 분산의 값을 알고 있다면 분산의 제곱근을 계산하여 표준편차를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 데이터 집합의 분산이 31.36으로 알려져 있다면, 표준편차는 31.36의 제곱근인 5.6으로 계산할 수 있습니다.

분산을 사용할 때의 단점 중 하나는 분산이 데이터 집합의 단위와 다른 제곱 단위로 측정된다는 것입니다. 예를 들어, 데이터 집합이 연 단위로 측정한 나이로 구성되어 있다면 분산은 연의 제곱 단위로 측정되므로 혼란스러울 수 있습니다. 표준편차는 원래 데이터 집합과 같은 단위로 측정되므로, 데이터 집합의 산포를 측정할 때 분산보다 표준편차가 더 흔히 사용됩니다.