13.1 중심 경향 척도

산술평균

데이터 집합의 평균은 위치를 기술하는 한 가지 방법입니다. 데이터 집합의 중심을 나타내는 척도로 가장 널리 쓰이는 것은 평균, 중앙값, 최빈값입니다. 산술평균은 평균을 나타내는 가장 일반적인 척도입니다. 기하평균은 뒤에서 다루겠습니다.

mean과 average라는 단어는 흔히 서로 바꾸어 사용된다는 점에 유의하십시오. 한 단어를 다른 단어 대신 쓰는 것은 흔한 관행입니다. 전문 용어는 산술평균이며, 엄밀히 말해 average는 중심 위치만을 가리킵니다. 수학자들은 공식적으로 산술평균을 분포의 1차 적률이라고 부릅니다. 그러나 통계 전문가가 아닌 사람들 사이에서는 실제로 average가 산술평균의 동의어로 널리 받아들여집니다.

50개 주식 포트폴리오의 산술평균 값을 계산하려면 50개 포트폴리오의 달러 가치를 모두 더한 다음 그 합을 50으로 나누십시오. 수 집합의 산술평균을 계산하려면 수들을 모두 더한 다음 데이터 값의 개수로 나누십시오.

통계 분석에서는 표본 데이터와 모집단 데이터라는 두 가지 유형의 데이터 집합을 접하게 됩니다. 모집단 데이터는 관심 대상이 되는 모든 결과 또는 측정값을 나타냅니다. 표본 데이터는 관심 모집단의 부분집합, 즉 일부에서 수집한 결과 또는 측정값을 나타냅니다.

표기 $\overline{x}$는 표본 평균을 나타내는 데 사용되며, 이때 산술평균은 표본에서 얻은 데이터를 바탕으로 계산합니다. 표기 $\sum x$는 데이터 값의 합을 나타내는 데 사용되고, $n$는 표본에 포함된 데이터 값의 개수, 즉 표본 크기를 나타내는 데 사용됩니다.

표본 평균은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

금융 전문가들은 재무부 단기채권(T-bill)의 가치를 판단할 때 경매 금액의 평균에 의존하는 경우가 많습니다. 표 13.1는 2020년 12월에 실시된 경매 중 일부 표본의 재무부 단기채권 경매 금액을 보여 줍니다.

경매에서 재무부 단기채권에 지급된 금액(단위: 십억 달러)의 산술평균을 계산하려면 다음 공식을 사용합니다.

중앙값

데이터 집합의 중앙값을 구하려면 데이터를 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 순서대로 정렬한 다음, 정렬된 데이터 집합에서 가운데 값을 찾습니다. 예를 들어 50개 포트폴리오의 중앙값을 구하려면 데이터를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 수를 찾습니다. 25명이 보유한 포트폴리오 가치는 중앙값보다 작고, 나머지 25명이 보유한 포트폴리오 가치는 중앙값보다 클 것입니다. 데이터 집합에 극단값이나 이상값이 있을 때는 일반적으로 중앙값이 평균을 더 잘 나타내는 척도입니다.

이상값 또는 극단값이란 데이터 집합의 다른 데이터 값과 현저히 다른 데이터 값을 말합니다. 중앙값은 이상값의 수치에 영향을 받지 않으므로, 이상값이 있을 때는 중앙값을 사용하는 것이 바람직합니다.

표 13.1의 데이터 집합을 정렬하면 다음과 같습니다.

이 정렬된 데이터 집합의 가운데 값은 세 번째 데이터 값인 39.7입니다. 따라서 중앙값은 397억 달러입니다.

$\frac{n + 1}{2}$ 식을 사용하면 중앙값의 위치를 빠르게 찾을 수 있습니다. 변수 n은 표본에 있는 데이터 값의 총개수를 나타냅니다. n이 홀수이면 중앙값은 데이터 값을 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 정렬했을 때 가운데에 있는 값입니다. n이 짝수이면 중앙값은 정렬된 데이터 값 중 가운데에 있는 두 값을 더한 뒤 2로 나눈 값과 같습니다. 표 13.1의 예에서는 데이터 값이 다섯 개이므로 n = 5입니다. 중앙값의 위치를 확인하려면 $\frac{n + 1}{2}$를 계산합니다. 이는 $\frac{5 + 1}{2}$, 즉 3입니다. 이는 중앙값이 세 번째 데이터 위치에 있다는 뜻이며, 이 위치의 값은 39.7입니다.

앞서 언급했듯이 데이터 집합에 이상값이 있으면 평균이 데이터 집합의 중심을 대표하지 못할 수 있으며, 이때는 중앙값이 중심을 더 잘 나타내는 척도가 됩니다. 다음 Think It Through 예제에서 이 점을 살펴봅니다.

최빈값

중심을 나타내는 또 다른 척도는 최빈값입니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 여러 값의 빈도가 같고 그 빈도가 가장 높다면 데이터 집합에 최빈값이 둘 이상 있을 수 있습니다. 최빈값이 두 개인 데이터 집합을 쌍봉형이라고 합니다. 예를 들어, 어느 기술주 주식의 주간 종가(달러 기준)가 20주 연속으로 다음과 같이 기록되었다고 가정해 봅시다.

최빈값을 찾으려면 가장 자주 나타나는 값을 찾으십시오. 여기서는 72입니다. 이 값은 다섯 번 나타납니다. 따라서 이 데이터 집합의 최빈값은 72입니다. 지난 20주 동안 이 주식의 종가로 가장 자주 나타난 값이 $72.00였다는 사실은 유용한 정보입니다.

기하평균

산술평균, 중앙값, 최빈값은 모두 데이터 집합의 중심, 즉 평균을 나타내는 척도입니다. 이 척도들은 모두 각자의 방식으로 데이터 안의 공통 지점, 즉 “보통”인 값을 측정하려고 합니다. 산술평균은 모든 점에서 선형 거리가 같은 값을 찾아 이를 구합니다. 모든 데이터 값을 더해 하나로 합친 다음, 각 데이터 점에 똑같은 양으로 다시 나누어 준다고 생각할 수 있습니다.

기하평균은 값들의 합이 아니라 곱을 다시 나눕니다. 기하평균은 개별 값을 모두 곱한 다음, 전체 곱이 그대로 유지되도록 그 곱을 같은 크기의 몫으로 다시 나누어 계산합니다. 이는 기하평균 x̃(x 틸드라고 읽음)의 공식에서 확인할 수 있습니다.

기하평균은 경제학과 금융에서 시장이나 투자 등의 성장을 다룰 때 쓰입니다. 금융에서 쓰는 예로, 어떤 투자의 연간 성장률이 주어졌을 때 5년 동안의 성장률을 하나의 백분율로 나타내면 얼마인지 알고 싶다고 가정합시다.

5년 동안 양도성 예금증서(CD) 투자의 연간 수익률은 다음과 같습니다.
3.21%, 2.79%, 1.88%, 1.42%, 1.17%. 이 연속된 5개의 연간 수익률과 같은 효과를 내는 단일 성장률을 백분율로 구하십시오. 이 5개 수익률의 기하평균이 답입니다. 이 값들(모두 양수여야 합니다)의 기하평균을 계산하려면, 먼저¹ 각 이자율을 소수로 나타낸 값에 1을 더한 다음 그 수익률들을 모두 곱하고, 그 곱의 n제곱근을 구합니다. 1.0321, 1.0279, 1.0188, 1.0142, 1.0117로 나타낼 수 있는 연간 수익률들과 같은 효과를 내는 전체 수익률을 계산하려고 합니다.

기하평균을 기준으로 할 때, 이 기간과 같은 효과를 내는 연간 수익률은 2.09%입니다.

가중평균

가중평균은 각 데이터 값에 그에 상응하는 가중치가 부여된 데이터 집합의 중심, 즉 평균을 나타내는 척도입니다. 가중평균이 재무 분야에서 흔히 활용되는 예로는, 어떤 주식을 서로 다른 시점에 서로 다른 주가로 매수했을 때 그 주식의 주당 평균 가격을 구하는 경우가 있습니다.

가중평균을 계산하려면 첫 번째 열에는 데이터 값을, 두 번째 열에는 가중치를 적은 표를 만드십시오. 그런 다음 각 행마다 데이터 값에 가중치를 곱한 값을 적는 세 번째 열을 만드십시오. 그러면 가중평균은 세 번째 열에 있는 결과의 합을 가중치의 합으로 나누어 계산합니다.