9.1 현금흐름의 시점

학습 목표

이 절을 마치면 다음을 할 수 있습니다.

금액이 서로 다른 여러 번의 지급 또는 수취: 혼합 흐름

지금쯤이면 여러분은 단일 금액과 연금의 화폐의 시간가치에 익숙하며, 이를 개인적 목적뿐 아니라 사업적 목적을 위해서도 어떻게 관리하고 통제해야 하는지 알고 있습니다. 지급 흐름 도중 어느 시점에서든 지급 금액이 바뀌면 연금을 푸는 기법을 수정해야 합니다. 앞 장들에서 살펴본 간편법은 사용할 수 없습니다. 다행히 재무계산기나 온라인 계산기, Microsoft Excel 같은 도구를 사용하면 방법이 상당히 간단해질 수 있습니다.

현금흐름을 분석하고 이해하는 능력은 필수적입니다. 개인적인 관점에서, 지금부터 7년 후 첫 주택을 구입할 때 낼 계약금을 마련하기 위해 내년부터 매년 $2,000를 투자할 기회가 있다고 가정해 봅시다. 3년째에는 $10,000를 상속받아 그 전액을 이 목표에 투입합니다. 5년째에는 $3,000의 큰 보너스를 받아 이것 역시 진행 중인 투자에 넣습니다.

정기적인 지급 흐름이 중간에 끊겼는데, 이는 물론 여러분에게 좋은 소식입니다. 그러나 미래로 복리 계산을 하든 현재가치로 할인을 하든, 시간과 관련된 가치를 구하는 계산에는 새로운 복잡성이 더해집니다. 분석가들은 이러한 일련의 지급을 혼합 흐름이라고 부릅니다. 내년 첫날에 첫 번째 지급을 하고 이후 매년 첫날에 계속 지급하며, 투자에서 항상 7%의 이자를 얻는다면, 7년이 끝날 때 원금과 벌어들인 이자를 합하여 얼마의 현금이 쌓이겠습니까?

이는 미래가치 문제이지만, 지급 흐름이 혼합되어 있으므로 연금 공식이나 접근법, 그리고 그것들이 제공하는 간편법을 사용할 수 없습니다. 앞 장들에서 언급했듯이, 화폐의 시간가치와 관련된 문제를 풀 때는 시간선이나 표, 또는 둘 다가 도움이 됩니다. 위에서 설명한 현금흐름은 표 9.1에 나와 있습니다. 모든 돈은 매년 초에 투자 계좌에 예치된다고 가정한다는 점을 기억하십시오. 누적 현금흐름에는 아직 이자가 반영되어 있지 않습니다.

표 9.1
연도01234567
투자 현금$0.00$2,000$2,000$2,000$12,000$2,000$5,000$2,000
누적 현금흐름$2,000$4,000$6,000$18,000$20,000$25,000$27,000

7년이 끝날 때까지 여러분은 이자를 고려하기 전 기준으로 자기 돈 $27,000를 투자하게 됩니다.

이 자금들은 서로 다른 시점에 투자되었으며, 시간이 흐름에 따라 시간과 이자율은 누적된 모든 잔액에 대해 여러분에게 유리하게 작용합니다. 따라서 표에서 누적 현금흐름이 나타난 행에 주목하십시오. 연 7% 복리로 수익을 얻는다면, 이 투자 프로그램이 끝날 때 여러분은 얼마의 현금을 모으게 됩니까? 단일 금액의 미래가치 공식은 사용할 수 있지만, 연금의 미래가치 공식은 사용할 수 없습니다. 투자 금액이 변하므로, 각 투자 금액의 미래가치를 계산한 다음 이를 모두 더해 결과를 구해야 합니다.

단일 금액의 미래가치를 구하는 공식은 FV = PV × ( 1 + i ) n 임을 상기하십시오. 여기서 FV는 우리가 구하고자 하는 미래가치이고, PV는 각 기간의 시작 시점에 투자된 가치이며, i는 이자율이고, n은 복리가 적용될 남은 기간 수입니다.

위의 현금흐름이 담긴 표를 다시 살펴봅시다. 표 9.2에는 각 투자가 7%로 몇 기간(이 경우에는 몇 년) 동안 복리로 불어나는지를 보여 주는 행이 포함되어 있습니다.

표 9.2
연도01234567
투자 현금$0.00$2,000$2,000$2,000$12,000$2,000$5,000$2,000
누적 현금흐름$2,000$4,000$6,000$18,000$20,000$25,000$27,000
복리 적용 연수7654321

1년 차 초에 예치한 $2,000은 7년 내내 7%의 이자를 얻습니다. 2년 차 초에 두 번째 투자를 하면, 이제 여러분은 $4,000을 지출한 셈이 됩니다. 그러나 첫 번째 $2,000 투자에서 발생한 이자로 $ 2,000 × 0.07 = $ 140 를 벌게 되므로, 여러분은 2년 차를 $4,000이 아니라 $4,140으로 시작하게 됩니다.

모든 것을 하나로 묶는 일정표로 문제를 복잡하게 만들기 전에, 단일 금액의 미래가치를 구하는 원래 공식을 사용하여 1년 차와 2년 차에 집중해 봅시다. 1년 차 투자는 7년 후에 얼마의 가치가 됩니까?

FV 1 = $ 2,000 × ( 1 + 0.07 ) 7 ≈ $ 3,211.56

1년 차 투자와 그 복리 효과는 따로 계산했으므로, 이 시점에서는 2년 차 투자를 별도로 다루어야 합니다. 이제 2년 차 투자가 미래에 얼마의 가치가 될지 알아야 하는데, 이 투자는 6년 동안만 복리로 불어납니다. 그 가치는 얼마가 됩니까?

FV 2 = $ 2,000 × ( 1 + 0.07 ) 6 ≈ $ 3,001.46

표에 나온 대로 4년 차 초에 $12,000을, 6년 차 초에 $5,000을 투자한다는 점을 기억하면서, 나머지 다섯 개의 투자 금액 각각에 대해 같은 연산을 수행할 수 있습니다. 나머지 다섯 개의 계산은 다음과 같습니다.

FV3 = $2,000 × (1+0.07)5≈$2,805.10FV4 = $12,000 × (1+0.07)4≈$15,729.55FV5 = $2,000 × (1+0.07)3≈$2,450.09FV6 = $5,000 × (1+0.07)2≈$5,724.50FV7 = $2,000 × (1+0.07)1≈$2,140.00

n을 나타내는 지수가 해마다 감소하여, 각 투자 금액이 7년간의 현금흐름이 끝날 때까지 복리로 불어나는 연수가 줄어드는 것을 반영한다는 점에 주목하십시오. 명확하게 하기 위해, 이 금액들을 각각 표 9.3의 한 행에 넣어 봅시다.

표 9.3
연도01234567
투자 현금$0.00$2,000$2,000$2,000$12,000$2,000$5,000$2,000
누적 현금흐름$2,000$4,000$6,000$18,000$20,000$25,000$27,000
복리 적용 연수7654321
7년 차 말의 복리 적용 가치$3,211.56$3,001.46$2,805.10$15,729.55$2,450.09$5,724.50$2,140.00

원래 질문의 답, 즉 7년 기간이 끝날 때 일곱 건의 서로 다른 투자가 갖는 가치는 각 개별 투자를 남은 기간 동안 복리로 계산한 값의 합계입니다. 맨 아래 행의 복리 계산 값을 더하면 답인 $35,062.26을 얻습니다. 여기에는 투자한 $27,000과 복리로 얻은 이자 $8,062.26이 포함됩니다.

화폐의 시간가치, 혼합 현금흐름의 복리 또는 할인 가치와 그 분석을 다루는 이 절들 전반에서 예제를 단순화하기 위해 가치 평가 시점을 기간의 말 또는 초로 두고 있다는 점에 유의해야 합니다. 실제로 기업은 검토 중인 자산이 제공하는 수익 흐름에 어느 정도의 규칙성을 반영하기 위해 기간 중에 이루어지는 가치 평가를 고려할 수 있습니다. 그러나 이것은 본질적으로 불확실한 예측 기법이므로, 기간별 분석을 계속하겠습니다.

위의 예제를 다른 각도에서 다시 살펴봅시다. 아직 Excel 사용법을 살펴보지 않았다는 점을 염두에 둘 때, 우리의 풀이를 다른 방식으로 볼 수 있을까요? 위의 문제는 각 연간 투자액을 미래 시점으로 복리 계산한 다음, 각 계산 결과를 더하여 지급 흐름의 총미래가치를 구합니다.

그러나 문제를 나누어 보면, 이 문제를 매년 $10,000씩 지급하는 5년 연금에 더해 4년 차와 5년 차의 추가 지급액으로 보는 방법도 있습니다. 먼저 연금의 미래가치를 구한 다음, 추가 금액(4년 차와 5년 차에 각각 $5,000)에 대해 별도의 계산을 두 번 수행할 수 있을까요? 네, 할 수 있습니다.

요약해 봅시다.

이렇게 해도 반드시 같은 결과가 나와야 합니다. 기초연금의 미래가치 공식은 다음과 같습니다.

FVa = PYMT × (1 + i)n-1i × (1+i)

이 문제는 위 요약의 세 단계로 풀 수 있습니다.

1단계:

FVa = $10,000 × (1 + 0.04)5-10.04 × (1+0.04)
FVa = $10,000×5.416323×1.04≈$56,329.76

2단계:

FVYear 4 = $5,000 × (1+0.04)2=$5,408.00

3단계:

FVYear 5 =$5,000 × (1+0.04)1=$5,200.00

세 단계 각각의 결과를 합하면 다음과 같습니다.

56,329.76+5,408.00+5,200.00=$66,937.76

결과가 맞습니다. 이 문제를 각각 따로 복리 계산한 뒤 합산할 수 있는 다섯 개의 개별 기간으로 보든, 하나 이상의 연금 문제 및/또는 단일 지급액 문제의 조합으로 보든, 시간과 이자, 그리고 지급 흐름을 꼼꼼히 따진다면 우리는 항상 같은 답에 도달합니다.

혼합 현금흐름의 현재가치

지금까지 미래가치의 계산을 살펴보았으니, 이제 현재가치를 살펴보겠습니다. 개인적인 예부터 시작하겠습니다. 여러분이 주(州) 복권에 당첨되어 뜻밖의 현금을 얻었다고 합시다. 여러분은 그 자금의 일부를 떼어 확정 수익 투자에 넣어 두고, 지금부터 1년 후부터 매년 $17,000씩 인출하여 이후 2년 동안 계속 인출하고자 합니다. 4년 차 말에는 $17,500를 인출하고자 하며, 5년 차 말에는 마지막으로 $18,000를 인출하고 계좌를 해지할 것입니다. 마지막 $18,000를 인출하면 자금은 완전히 소진됩니다. 여러분은 항상 연 6%의 수익을 얻습니다. 이를 달성하려면 뜻밖에 얻은 현금 중 얼마를 오늘 따로 떼어 두어야 하겠습니까?

미래가치를 다룬 앞의 문제들과는 반대 방향으로 생각한다는 점을 염두에 두고 문제를 나누어 봅시다. 이 경우에는 미래가치를 시간상 과거로 되돌려 그 현재가치를 구합니다. 이 과정을 복리 계산이 아니라 할인이라고 부른다는 것을 기억하실 것입니다.

어떤 방식으로 풀든 질문은 동일합니다. 이를 달성하려면 오늘 얼마를 투자해야 합니까(현재가치)? 그리고 투자된 잔액에 대해서는 항상 연 복리 6%의 수익을 얻는다는 점을 기억하십시오.

우리는 앞 장에서와 마찬가지로, 알려진 미래가치 "목표"가 주어졌을 때 그 목표를 달성하기 위해 오늘 얼마가 필요한지 알아내고자 현재가치를 계산합니다. 먼저 앞 장의 관련 공식을 복습하면서 이를 나누어 봅시다.

정상연금의 현재가치:

PVa   =   PYMT   ×   1 - 1 ( 1   +   i ) n i

단일 금액의 현재가치:

PV = FV × 1(1 + i)n

여기서 PVa는 연금의 현재가치, PYMT는 일정한 흐름(연금) 중 한 번의 지급액, i는 이자율(별도 언급이 없으면 연이율), n은 기간 수, PV는 단일 금액의 현재가치, FV는 단일 금액의 미래가치입니다.

여러분은 목표를 달성하기 위해 오늘 얼마를 따로 떼어 두어야 하는지 알고 싶어 합니다. 또한 이 목표를 달성하기 위해 각 기간에 얼마를 따로 떼어 두어야 하는지도 알아낼 수 있습니다. 따라서 이 문제는 단계적으로 다룰 수 있습니다. 가능한 풀이 방법을 살펴봅시다.

먼저 이를 각 연도의 현금흐름으로 나누어 보겠습니다. 표 9.5은 여러분이 예상하는 미래 현금흐름의 시점을 보여 줍니다.

표 9.5
연도012345
연말 예상 인출액$0.00$17,000$17,000$17,000$17,500$18,000

한 가지 방법은 연말에 발생하는 각 연도의 현금흐름을 단일 금액의 현재가치 공식을 사용하여 오늘 시점으로 할인하는 것입니다:

PV=FV × 1(1 + i)n
PV1=$17,000 × 1(1 + 0.06)1≈$16,037.74

1년 차 인출액은 펀드에서 이자를 얻을 기간이 1년뿐이므로 1년 동안 할인했습니다. 두 번째 금액은 2년 동안 할인합니다:

PV2=$17,000 × 1(1 + 0.06)2≈$15,129.94

이후 3년도 같은 방식으로 각각 3년, 4년, 5년 동안 할인합니다:

PV3 = $17,000 × 1(1 + 0.06)3≈$14,273.53PV4=$17,500 × 1(1 + 0.06)4≈$13,861.64PV5=$18,000 × 1(1 + 0.06)5≈$13,450.65

지수 n에 대한 사고방식이 미래가치를 구할 때와 반대라는 점에 주목하십시오. 이번에는 오늘의 달러 가치를 구하기 위해 각 미래 금액을 더 긴 기간 동안 할인하므로 지수가 기간마다 증가합니다.

위에서 할인한 다섯 개의 현재가치 금액을 모두 더하면 오늘의 가치인 $72,753.49가 도출됩니다. 더 간단히 표현하면, 매년 말에 지정된 현금흐름(3년 동안 $17,000, 그다음 $17,500, 그다음 $18,000)을 인출하려면 $72,753.49로 시작해야 합니다. 기억해야 할 점은 이 펀드를 어떻게 소진하든 펀드에 남아 있는 금액은 항상 연 6%의 이자를 얻는다는 것입니다. 표 9.6를 참조하십시오.

표 9.6
연도012345
연말 인출액$17,000.00$17,000.00$17,000.00$17,500.00$18,000.00
잔액에 대한 이자$4,365.21$3,607.12$2,803.55$1,951.76$1,018.87
잔액$72,753.49$60,118.70$46,725.82$32,529.37$16,981.13$0.00

다른 방법을 시도해 봅시다. 처음 3년 동안 인출하는 현금 금액은 $17,000로 일정하므로 이를 연금으로 볼 수 있습니다. 구체적으로는 $17,000의 3기간 연금과 $17,500 및 $18,000의 단일 지급액 두 개로 볼 수 있습니다. 따라서 $17,000의 연금을 3년(처음 3년) 동안 할인(현재가치로 환산)한 다음, 이를 4년 차 할인 금액 및 5년 차 할인 금액과 합산할 수도 있습니다. 위에서 사용한 PVa 및 PV공식을 사용하여 시도해 볼 수 있습니다. 1단계에서는 처음 3년을 연금(첫 인출이 지금부터 1년 후에야 이루어지므로 정상연금)으로 할인하고, 2단계에서는 4년 차 단일 지급액을 할인하며, 3단계에서는 5년 차 단일 지급액에 대해 같은 작업을 수행합니다. 그런 다음 이들을 합산할 수 있습니다.

1단계: PVa 공식을 사용하여 연금의 현재가치를 구합니다:

PVa=$17,000× 1 - 1(1 + 0.06)30.06
PVa=$17,000 × 1 - 0.8396190.06
PVa=$17,000 × 2.673017≈$45,441.29

2단계: 단일 금액의 현재가치 공식을 사용하여 4년 차 금액을 할인합니다:

PV(Year 4)=$17,500 × 1(1 + 0.06)4≈$13,861.64

3단계: 5년 차 금액에 대해 2단계와 같은 작업을 수행합니다:

PV(Year 5)=$18,000 × 1(1 + 0.06)5≈$13,450.65

이제 세 금액을 모두 오늘의 가치로 할인했으므로 이들을 합산할 수 있습니다:

45,441.20+13,861.64+13,450.65=$72,753.49

현금흐름의 현재가치 계산은 두 가지 설득력 있는 이유로 기업의 자본 투자 분석에서 매우 일반적이며 중요합니다. 첫째, 투자 규모가 상당히 클 가능성이 높고, 둘째, 위험이 대개 더 긴 기간에 걸쳐 있기 때문입니다. 이 장의 저자가 대형 기계를 구입한다면, 그 기계가 창출하는 수익으로 구입을 정당화하기까지는 아마 몇 년이 걸릴 것입니다. 이는 회계사들이 자산의 원가를 시간에 걸쳐 감가상각하도록 요구하는 주된 이유 중 하나입니다. 즉, 해당 자산이 이익과 현금흐름을 창출하는 데 걸리는 시간에 비추어 원가를 평가하기 위해서입니다.