7.2 화폐의 시간가치(TVM) 기초

단일 기간 시나리오

다음 예부터 시작합시다. 여러분의 친구가 연 4%의 이자를 지급하는 은행 계좌에 돈을 넣을지 고민하고 있으며, 특히 이 계좌에 $1,000를 예금하면 1년 후에 얼마를 갖게 될지 알고 싶어 합니다. 친구는 여러분이 재무학을 공부하고 있다는 것을 알고 여러분에게 도움을 청합니다. 미래가치(FV)라는 TVM 원리를 사용하면, 여러분은 친구에게 답이 $1,040라고 알려 줄 수 있습니다. 1년 후 계좌에 추가로 생기는 $40는 그 기간 동안 벌어들인 이자에서 비롯됩니다. 원래 예금액(원금이라고도 합니다)인 $1,000에 연 이자율 4%를 한 기간(이 경우 1년) 동안 곱하면 이 금액을 비교적 쉽게 계산할 수 있습니다.

이자 수익 $40를 최초 원금 $1,000에 더하면, 연말에 은행 계좌의 총 가치는 $1,040가 됩니다. 따라서 4%의 수익률을 적용할 때, 오늘부터 1년 후의 $1,040는 오늘의 $1,000와 같습니다. 그러므로 TVM 개념에 근거하여, $1,040는 이자율 4%에서 오늘부터 1년 후 $1,000의 미래가치를 나타낸다고 말할 수 있습니다. 이자율과 TVM 의사결정에서 이자율이 갖는 중요성은 이 장의 뒷부분에서 더 자세히 다룰 것입니다. 지금은 이자율을 자금의 원래 대여자가 벌어들이거나 같은 자금의 차입자에게 부과되는(또는 둘 다인) 원금 대비 비율로 생각할 수 있습니다. 다음은 단일 기간 시나리오의 몇 가지 예입니다.

어떤 사람이 연 5%를 지급하는 계좌에 $300를 예금하면, 1년 후에 갖게 되는 금액은 다음과 같습니다.

어떤 회사의 주당순이익이 $2.50이고 다음 해에 10% 증가한다면, 2년 차의 주당순이익은 다음과 같습니다.

어떤 소매점이 현재 $50에 판매되고 있는 품목의 가격을 다음 해에 3% 인상하기로 결정한다면, 다음 해의 새 가격은 다음과 같습니다.

복리의 효과

친구가 일시금을 받기 위해 1년을 더 기다릴 의향이 있다면 어떻게 되겠습니까? 2년이 지난 후 친구의 계좌에 있을 미래 달러 가치는 얼마가 되겠습니까? 앞의 예로 돌아가서, 친구가 두 번째 해 동안 원금($1,000)과 발생한 이자($40)를 계좌에 그대로 두어 계좌 잔액 전체를 1년 더 재투자한다고 가정합시다. 제시된 이자율 4%는 2년의 저축 기간 전체에 대한 것이 아니라 계좌에서 매년 발생하는 이자를 반영합니다. 따라서 저축 두 번째 해 동안에는 $1,000의 예금과 첫해에 발생한 $40의 이자 모두에 4%의 이자가 붙습니다.

추가된 $1.60은 첫해 이자에 대한 이자이며, 이자의 복리 효과를 반영합니다. 복리란 이전 기간에 발생한 이자 소득을 바탕으로 이후 기간에 발생하는 이자 소득을 가리키는 용어입니다. 간단히 말해, 복리는 이자에 대해 발생하는 이자를 의미합니다. 여기서는 첫해에 발생한 $40.00의 이자에 대해 두 번째 해에 발생한 $1.60의 이자를 가리킵니다. 따라서 2년이 끝나는 시점에 계좌의 총 가치는 $1,081.60이 됩니다. 이는 원래 원금 $1,000에 첫해에 발생한 이자 소득 $40.00과 두 번째 해에 발생한 이자 소득 $41.60을 더한 금액입니다.

2년이 끝나는 시점에 친구의 계좌에 있을 금액인 $1,081.60은 매년 4%의 이자가 붙는 계좌에 오늘 예치한 원래 금액 $1,000의 미래가치라고 합니다.

첫해에는 단리가 적용되고, 두 번째 해에는 복리, 즉 '이자에 대한 이자'가 적용됩니다. 이는 다음과 같은 방법으로 계산합니다.

따라서 연 4%의 이자율로 2년 후 계좌에 있을 총금액은 $\begin{array}{rcl}\$\mathrm{1,000} + \$40.00 + \$41.60 & =& \$\mathrm{1,081.60}\end{array}$입니다.

이자가 발생하는 계좌에 있는 돈의 미래가치를 구하려면, 돈이 계좌에 남아 있는 매년마다 원금에 1 더하기 이자율을 곱합니다. 이로부터 미래가치 공식을 도출할 수 있습니다.

이 공식에서 $(1+r)$을 곱하는 횟수는 전적으로 돈이 은행 계좌에 남아 이자를 얻는 연수에 따라 달라지며, 이 돈은 선택한 저축 기간이 끝날 때 계좌에서 최종 일시금으로 지급되어 인출됩니다. 공식의 1은 원금, 즉 최초 예금 $1,000을 나타내며, 이 금액은 미리 정한 저축 기간이 끝나 계좌를 해지하고 모든 돈을 인출할 때 최종 일시금 총액에 포함됩니다.

위 식은 화폐의 시간가치 표기법을 사용하여 다음과 같이 더 간결한 수학적 형태로 쓸 수 있습니다.

이러한 입력값을 사용하면 다음 공식을 얻습니다.

이 방정식을 사용하면 몇 년이 지난 후든 저축 계좌의 가치를 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 연 4% 이자율에서 최초 예치일로부터 3년, 10년, 50년이 지난 시점을 고려한다고 가정해 봅시다.

이 저축 계좌는 어떻게 50년 후에 이렇게 크게 불어날 수 있었을까요? 이 질문에 대한 답은 복리 이자의 효과에 있습니다. 매년 이전 연도에 발생한 이자도 최초 예치금과 함께 이자를 낳습니다. 이는 계좌의 총 달러 가치 증가를 가속하는 효과를 가져옵니다.

이것이 복리의 중요한 효과입니다. 이자가 발생하는 계좌에 돈을 오래 둘수록 돈은 점점 더 큰 폭으로 불어납니다. 사실상 시간이 지남에 따른 복리는 돈의 증가를 가속합니다.

어떤 금액의 FV를 구하려면 항상 다음 정보를 알아야 합니다. (1) 원금, 즉 최초 예치금 또는 현재가치(PV), (2) 보통 연 단위로 r로 표시하는 이자율, (3) 돈이 계좌에 머무를 기간의 수(n)입니다. 이자율은 흔히 성장률, 즉 저축이나 투자의 연간 증가율이라고도 합니다. 이자율을 기간 수만큼 거듭제곱하면 ${(1+r)}^n$ 공식은 흔히 미래가치 이자요소(FVIF)라고 부르는 수를 산출합니다. 이 과정의 결과로 n(시간, 즉 기간 수)이 증가하면 미래가치 이자요소도 증가합니다. 또한 r(이자율)이 증가하면 FVIF도 증가합니다. 이러한 이유로 미래가치 계산은 사용하는 이자율과 고려하는 전체 기간, 구체적으로는 기간 수에 의해 직접 결정됩니다.