14.3 최적 적합 선형 모형

학습 목표

이 절을 마치면 다음을 할 수 있습니다.

기술 도구를 사용하여 선형 회귀 모형의 기울기와 y절편을 계산합니다.
기울기와 y절편을 해석하고 적용합니다.

기술 도구를 사용하여 선형 회귀 모형의 기울기와 y절편 계산하기

상관관계가 유의하다고 판단되면 최적 적합 선형 회귀 모형을 구축합니다. 회귀분석의 목표는 다음 회귀방정식의 계수 a와 b를 구하는 것입니다.

\hat{y} = a + b x

기울기(b)와 y절편(a)은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

\begin{array}{rcl} b & = & \frac{n \sum x y - (\sum x) (\sum y)}{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \\ a & = & \frac{\sum y}{n} - b \frac{\sum x}{n} \end{array}

이 공식들은 특히 데이터 쌍의 수가 많을 때 상당히 번거로울 수 있으므로, 흔히 기술 도구(Excel, 계산기, R 통계 소프트웨어 등)를 사용합니다.

Excel 사용하기: 선형 모형의 기울기와 y절편을 계산하려면 먼저 Excel의 두 열에 (x, y) 데이터를 입력하십시오. 그런 다음 Excel 명령어 =SLOPE와 =INTERCEPT를 사용하여 각각 기울기와 절편을 계산할 수 있습니다.

다음 데이터 집합을 예로 사용하겠습니다. 이 데이터는 한 Fortune 500 기업의 12개월간 월별 광고비 지출액과 월별 매출액입니다(데이터는 표 14.4에 나와 있습니다).

표 14.4 Fortune 500 기업의 광고비 대비 매출액(단위: 천 달러)
월	광고 지출액	매출액
1월	49	12,210
2월	145	17,590
3월	57	13,215
4월	153	19,200
5월	92	14,600
6월	83	14,100
7월	117	17,100
8월	142	18,400
9월	69	14,100
10월	106	15,500
11월	109	16,300
12월	121	17,020

회귀 모형의 기울기를 계산하려면 다음 Excel 명령어를 사용하십시오.

=SLOPE(y-data range, x-data range)

이 Excel 명령은 y 데이터 범위가 먼저, x 데이터 범위가 그다음에 입력되어야 한다는 점에 유의해야 합니다. 수익은 광고비 지출액에 따라 달라지므로 수익을 y 변수로, 광고비 지출액을 x 변수로 간주합니다. y 데이터는 셀 C2부터 C13까지에, x 데이터는 셀 B2부터 B13까지에 들어 있다는 점에 주목하십시오. 따라서 기울기를 구하는 Excel 명령은 다음과 같이 입력합니다.

=SLOPE(C2:C13, B2:B13)

같은 방식으로, 회귀 모형의 y 절편을 계산하는 Excel 명령은 다음과 같습니다.

=INTERCEPT(y-data range, x-data range)

위 표에 제시된 데이터 집합의 경우 Excel 명령은 다음과 같습니다.

=INTERCEPT(C2:C13, B2:B13)

결과는 그림 14.6에 나와 있으며, 여기서

\begin{array}{rcl} slope b & = & 61.8 \\ intercept a & = & 9,376.7 \end{array}

1월부터 12월까지의 월별 광고비 지출액과 수익 값에 대해 기울기와 절편을 계산하는 Excel 명령을 보여 주는 스프레드시트 스크린숏입니다. 계산된 기울기는 61.8이고 계산된 절편은 9,376.7입니다. — 그림 14.6 Excel에서 기울기와 y 절편을 계산한 포춘 500대 기업의 광고비 대비 수익(단위: 천 달러)

이를 바탕으로 회귀방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

여기서 x는 광고비 지출액(단위: 천 달러)을, y는 수익(단위: 천 달러)을 나타냅니다.

재무용 계산기 사용하기

재무용 계산기에 (x, y) 데이터를 입력하면 선형 회귀 모형의 기울기와 y 절편을 구할 수 있습니다.

앞서 제시한 광고비 지출액과 수익 데이터 집합의 기울기와 y 절편을 계산하려면 표 14.5의 단계를 따르십시오.

표 14.5 기울기와 y 절편을 구하는 계산기 단계
단계	설명	입력	표시
1	`[DATA]` 입력 모드로 들어갑니다	`2ND` `[DATA]`	X01	0.00
2	이전 데이터를 모두 지웁니다	`2ND` `[CLR WORK]`	X01	0.00
3	첫 번째 x 값 49를 입력합니다	49 `ENTER`	X01 =	49.00
4	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	Y01 =	1.00
5	첫 번째 y 값 12210을 입력합니다	12210 `ENTER`	Y01 =	12,210.00
6	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	X02	0.00
7	두 번째 x 값 145를 입력합니다	145 `ENTER`	X02 =	145.00
8	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	Y02 =	1.00
9	두 번째 y 값 17590을 입력합니다	17590`ENTER`	Y02 =	17,590.00
10	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	X03	0.00
11	나머지 데이터 값을 계속 입력합니다
12	`[STAT]` 모드로 들어갑니다	`2ND` `[STAT]`
13	LIN이 나타날 때까지 `[SET]`을 누릅니다	`2ND` `[SET]`	LIN
14	1^번째 통계 결과로 이동합니다	↓	$n =$	12.00
15	다음 통계 결과로 이동합니다	↓	$\bar{x} =$	103.58
16	a의 값이 표시될 때까지 계속 아래로 스크롤합니다	↓	$a =$	9,376.70
17	b의 값이 표시될 때까지 계속 아래로 스크롤합니다	↓	$b =$	61.80

계산기 화면에 표시된 통계 결과에서 기울기 b는 61.8이고 y절편 a는 9,367.7입니다.

이를 바탕으로 회귀방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

기울기와 y절편의 해석 및 활용

직선의 기울기 b는 변수들의 변화가 서로 어떻게 관련되어 있는지를 나타냅니다. 직선의 기울기는 데이터가 나타내는 상황의 맥락에서 해석하는 것이 중요합니다. 기울기를 해석하는 문장을 쉬운 말로 쓸 수 있어야 합니다.

기울기의 해석

최적적합선의 기울기는 독립(x)변수가 한 단위 증가할 때마다 종속변수(y)가 평균적으로 얼마나 변하는지를 알려 줍니다.

앞의 예제에서 한 Fortune 500 기업의 12개월간 월별 광고비 지출액과 월별 매출액에 대한 선형 회귀 모형은 다음과 같이 도출되었습니다.

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9, 376.7 + 61.8 x \end{array}

기울기가 61.8로 구해졌으므로, 이 기업은 광고비로 1,000달러를 지출할 때마다 평균적으로 매출이 61,800달러 증가한다는 의미로 이를 해석할 수 있습니다.

회귀방정식의 절편은 x값(독립변수)이 0일 때 그에 대응하는 y값입니다.

절편의 해석

최적적합선의 절편은 x변수가 0인 경우에 기대되는 y의 평균값을 알려 줍니다.

그러나 많은 상황에서 x 변수가 0이 되는 것은 타당하지 않을 수 있으며, 이러한 경우 절편은 문제의 맥락에서 아무런 의미를 갖지 않습니다. 또 다른 예에서는 x 값 0이 수집된 x 데이터의 범위를 벗어나 있습니다. 이러한 경우에는 y절편에 어떠한 해석도 부여해서는 안 됩니다.

앞의 예에서 x 변수에 대해 수집된 데이터의 범위는 월 광고비 지출 49달러에서 153달러까지였습니다. 이 구간에는 x 값 0이 포함되지 않으므로 절편에 대해서는 어떠한 해석도 제시하지 않습니다.