14.1 상관분석

학습 목표

이 절을 마치면 다음을 할 수 있습니다.

상관계수를 계산합니다.
상관계수를 해석합니다.
상관계수의 유의성을 검정합니다.

상관계수 계산하기

상관분석에서는 이변량 데이터 간의 관계를 연구합니다. 이변량 데이터란 두 변수에 대해 수집된 데이터로, 데이터 값들이 서로 짝을 이루고 있는 데이터를 말합니다.

상관관계는 두 수치형 변수 사이의 연관성을 나타내는 척도입니다. 예를 들어, 채권 가격과 이자율 사이에 상관이 있는지, 또는 자동차의 연식과 자동차의 가치 사이에 상관이 있는지 알고 싶을 수 있습니다. 두 수치형 양 사이의 상관관계를 조사하려면, 먼저 (x, y) 순서쌍을 그래프로 나타내는 산점도를 작성합니다. 독립 양, 즉 설명 양은 x 변수로 표시하고, 종속 양, 즉 반응 양은 y 변수로 표시합니다.

예를 들어, 나이키 주식의 가격이 S&P 500(스탠더드 앤드 푸어스 500 주식시장 지수)의 값과 상관되어 있는지 알고 싶을 수 있습니다. 이를 조사하기 위해 일정 기간 동안 나이키 주식 가격과 S&P 500 지수 값에 대한 월별 데이터를 수집한 뒤, 산점도를 작성하여 살펴볼 수 있습니다. 산점도, 즉 산포도는 두 변수 사이의 관계를 보여 주기 위한 그래프 표현입니다. 산점도는 한 변수를 가로축에, 다른 변수를 세로축에 나타내도록 구성합니다. 각 데이터 값 쌍은 하나의 (x, y) 점으로 간주되며, 여러 점들을 도표 위에 나타냅니다. 그런 다음 산점도를 육안으로 검토하여 산점도에 나타나는 패턴이나 추세를 찾아냅니다. 표 14.1는 1년 동안 나이키 주식 가격과 S&P 500 지수 값 사이의 관계를 보여 줍니다.

선형 상관관계를 평가하려면, 산점도에서 데이터 점들의 그래프상 추세를 살펴보아 직선 패턴이 존재하는지 판단합니다. 선형 패턴이 존재한다면, 그 상관관계는 양의 상관관계 또는 음의 상관관계를 나타낼 수 있습니다. 양의 상관관계는 독립변수가 증가할 때 종속변수도 함께 증가하는 경향이 있거나, 독립변수가 감소할 때 종속변수도 감소하는 경향이 있음을 나타냅니다(두 양이 같은 방향으로 움직입니다). 음의 상관관계는 독립변수가 증가할 때 종속변수가 감소하거나, 독립변수가 감소할 때 종속변수가 증가함을 나타냅니다(두 양이 반대 방향으로 움직입니다). 두 양 사이에 아무런 관계나 연관성이 없어 한 양이 변해도 다른 양에 영향을 주지 않는다면, 두 변수 사이에 상관관계가 없다고 결론 내립니다.

표 14.1 1년 동안의 나이키 주식 가격($)과 S&P 500 지수 값 (출처: Yahoo! Finance)
날짜	S&P 500	나이키 주식 가격
4/1/2020	2,912.43	87.18
5/1/2020	3,044.31	98.58
6/1/2020	3,100.29	98.05
7/1/2020	3,271.12	97.61
8/1/2020	3,500.31	111.89
9/1/2020	3,363.00	125.54
10/1/2020	3,269.96	120.08
11/1/2020	3,621.63	134.70
12/1/2020	3,756.07	141.47
1/1/2021	3,714.24	133.59
2/1/2021	3,811.15	134.78
3/1/2021	3,943.34	140.45
3/12/2021	3,943.34	140.45

나이키 주식 대 S&P 500 예제의 산점도(그림 14.2 참조)를 보면, S&P 500 값이 증가함에 따라 나이키 주식의 가격도 증가하는 경향이 있다는 점에서 이 추세가 양의 상관을 반영한다는 것을 알 수 있습니다.

12개월 동안 나이키 주식 가격과 S&P 500 지수 값 사이의 양의 상관을 보여 주는 산점도입니다. 나이키 주식 가격이 주당 약 $87에서 $140로 오르는 동안 S&P 500 지수는 약 2,900에서 4,000으로 상승합니다. — 그림 14.2 나이키 주식 가격($)과 S&P 500 지수 값의 산점도 (데이터 출처: Yahoo! Finance)

산점도를 살펴볼 때 그래프를 눈으로만 보고 상관관계를 평가하기는 어려울 수 있습니다. 수치로 된 상관계수(기호 r로 나타냄)를 계산하면 두 양 사이의 상관관계를 더 정확하게 평가할 수 있습니다.

1900년대 초 통계학자 칼 피어슨(Karl Pearson)이 개발한 상관계수는 독립변수 x와 종속변수 y 사이의 상관관계의 강도와 방향을 나타내는 척도입니다.

r의 공식은 아래와 같습니다. 그러나 상관계수를 계산할 때는 일반적으로 Excel이나 통계 분석 프로그램 R과 같은 기술을 사용합니다.

r = \frac{n \sum xy - (\sum x) (\sum y)}{\sqrt{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \sqrt{n \sum y^{2} - {(\sum y)}^{2}}}

여기서 n은 데이터 쌍의 개수를 나타내며, 기호 $\sum x$ 는 x값들을 합산한다는 뜻입니다.

표 14.2는 상관계수 r을 계산하는 단계별 절차를 보여 줍니다.

표 14.2 상관계수 계산 단계
단계	기호 표현
1. x값들의 합을 계산하십시오.	$\sum x$
2. y값들의 합을 계산하십시오.	$\sum y$
3. 각 x값에 대응하는 y값을 곱한 다음, 이러한 xy 곱들의 합을 계산하십시오.	$\sum x y$
4. 각 x값을 제곱한 다음, 제곱한 값들의 합을 계산하십시오.	$\sum x^{2}$
5. 각 y값을 제곱한 다음, 제곱한 값들의 합을 계산하십시오.	$\sum y^{2}$
6. n, 즉 데이터 쌍의 개수를 구하십시오.	n
7. 이 결과들을 상관계수 공식에 대입하십시오.	$r = \frac{n \sum xy - (\sum x) (\sum y)}{\sqrt{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \sqrt{n \sum y^{2} - {(\sum y)}^{2}}}$

r은 표본 데이터를 사용하여 계산하므로, r은 두 모집단 변수 사이의 상관관계의 강도를 측정하는 데 사용되는 표본 통계량으로 간주된다는 점에 유의하십시오. 표본 데이터란 전체 모집단의 부분집합에 기반한 데이터를 말합니다.

이 계산은 복잡하기 때문에 상관계수를 계산할 때는 일반적으로 Excel이나 기타 소프트웨어를 사용합니다.

상관계수를 계산하는 Excel 명령은 다음 형식을 사용합니다.

=CORREL(A1:A10, B1:B10)

여기서 A1:A10은 x값이 들어 있는 셀이고 B1:B10은 y값이 들어 있는 셀입니다.

상관계수 해석하기

r의 값을 계산하면, 이 측정값은 상관관계에 대해 두 가지 지표를 제공합니다.

r의 값에 따른 상관관계의 강도
r의 부호에 따른 상관관계의 방향

r의 값은 다음과 같은 정보를 알려 줍니다.

r의 값은 항상 $- 1$ 과 $+ 1$ 사이에 있습니다: $- 1 \leq r \leq 1$ .
상관계수 r의 크기는 두 변수 사이의 선형 관계의 강도를 나타냅니다. r의 값이 $- 1$ 이나 $+ 1$ 에 가까울수록 선형 관계가 더 강함을 나타냅니다.
$r = 0$ 이면 두 변수 사이에 선형 관계가 없습니다(선형 상관관계가 없음).
$r = 1$ 이면 완전한 양의 상관관계가 있습니다.
$r = - 1,$ 이면 완전한 음의 상관관계가 있습니다. 이 두 경우 모두 원래의 데이터 점이 모두 한 직선 위에 놓입니다.

r의 부호는 다음과 같은 정보를 알려 줍니다.

r의 값이 양수라는 것은 x가 증가하면 y도 증가하는 경향이 있고, x가 감소하면 y도 감소하는 경향이 있다는 뜻입니다(양의 상관관계).
r의 값이 음수라는 것은 x가 증가하면 y는 감소하는 경향이 있고, x가 감소하면 y 는 증가하는 경향이 있다는 뜻입니다(음의 상관관계).

나이키 주식과 S&P 500 예제(표 14.1 참조)에서 상관계수의 값을 구하는 데 사용하는 Excel 명령은 다음과 같습니다.

=CORREL(B2:B14,C2:C14)

이 예제에서 Excel이 계산한 $r$ 의 값은 $r = 0.928$ 입니다.

이 값은 1에 가까운 양수이므로, 이 기간 동안 나이키 주식과 S&P 500 지수 값 사이의 관계는 강한 양의 상관관계를 나타낸다고 결론지을 수 있습니다.

상관계수 r은 재무용 계산기의 통계 기능을 사용하여 구할 수도 있습니다.

1단계는 계산기에 데이터를 입력하는 것입니다(7 키 위에 있는 [DATA] 기능을 사용합니다).
2단계는 계산기가 제공하는 통계 결과에 접근하여(8 키 위에 있는 [STAT] 기능을 사용합니다) 상관계수 결과까지 스크롤하는 것입니다.

앞서 제시한 나이키 주식 가격과 S&P 500 지수 값의 데이터 집합에 대한 상관 데이터를 계산하려면 표 14.3의 단계를 따르십시오.

표 14.3 나이키 주식 가격과 S&P 500 지수 값 사이의 관계를 구하기 위한 계산기 단계¹
단계	설명	입력	표시
1	`[DATA]` 입력 모드로 들어가십시오	`2ND` `[DATA]`	X01	0.00
2	이전 데이터를 모두 지웁니다	`2ND` `[CLR WORK]`	X01	0.00
3	첫 번째 x값 2912.43을 입력하십시오	2912.43 `ENTER`	X01 =	2,912.43
4	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	Y01 =	1.00
5	첫 번째 y값 87.18을 입력하십시오	87.18 `ENTER`	Y01 =	87.18
6	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	X02	0.00
7	두 번째 x값 3044.31을 입력하십시오	3044.31 `ENTER`	X02 =	3,044.31
8	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	Y02 =	1.00
9	두 번째 y값 98.58을 입력하십시오	98.58 `ENTER`	Y02 =	98.58
10	다음 데이터 입력 항목으로 이동합니다	↓	X03	0.00
11	나머지 데이터 값을 계속 입력합니다
12	`[STAT]` 모드로 들어가십시오	`2ND` `[STAT]`
13	LIN이 나타날 때까지 `[SET]`을 누르십시오	`2ND` `[SET]`	LIN
14	1^번째 통계 결과로 이동하십시오	↓	$n =$	13.00
15	다음 통계 결과로 이동합니다	↓	$\bar{x} =$	3,480.86
16	r 값이 표시될 때까지 계속 아래로 스크롤하십시오	↓	$r =$	0.93

계산기 화면에 표시된 통계 결과를 보면 상관계수 r은 0.93이며, 이는 이 기간 동안 나이키 주식과 S&P 500 값 사이의 관계가 강한 양의 상관을 나타낸다는 것을 의미합니다.

참고: 강한 상관관계가 있다고 해서 x가 y를 유발하거나 y가 x를 유발한다는 의미는 아닙니다. 상관관계가 인과관계를 의미하지는 않는다는 점을 반드시 기억해야 합니다.

상관계수의 유의성 검정하기

상관계수 r은 x와 y 사이의 선형 관계의 강도와 방향을 알려 줍니다. 표본 데이터는 표본의 상관계수인 r을 계산하는 데 사용됩니다. 모집단 전체(즉, 관심 대상인 모든 측정값)에 대한 데이터가 있다면 모집단 상관계수를 구할 수 있으며, 이는 그리스 문자 ρ("로"라고 읽습니다)로 표기합니다. 그러나 우리에게는 표본 데이터만 있으므로 모집단 상관계수를 계산할 수 없습니다. 표본 상관계수 r은 알려지지 않은 모집단 상관계수에 대한 추정치입니다.

ρ = 모집단 상관계수(알려지지 않음)
r = 표본 상관계수(알려져 있음, 표본 데이터로 계산함)

상관분석에서 중요한 단계는 상관관계가 유의한지를 판단하는 것입니다. 이는 x의 값을 바탕으로 y 를 의미 있게 예측할 수 있을 만큼 상관관계가 강한지를 묻는 것입니다. 상관관계의 유의성을 검정하는 한 가지 방법은 가설검정을 활용하는 것입니다. 가설검정을 통해 모집단 상관계수 ρ의 값이 0에 가까운지, 아니면 0과 유의하게 다른지를 판단할 수 있습니다. 이 판단은 표본 상관계수 r과 표본 크기 n을 바탕으로 내립니다.

검정 결과 상관계수가 0과 유의하게 다르다는 결론이 나오면, 상관계수가 유의하다고 말합니다.

결론: 상관계수가 0과 유의하게 다르므로 x 변수와 y 변수 사이에 유의한 선형 관계가 있다고 결론 내릴 충분한 증거가 있습니다.
결론의 의미: x 변수와 y 변수 사이에 유의한 선형 관계가 있습니다. 검정 결과 상관계수가 0과 유의하게 다르지 않다는(0에 가깝다는) 결론이 나오면, 상관계수가 유의하지 않다고 말합니다.

상관관계가 유의한지 검정하기 위해 가설검정을 수행할 수 있습니다. 가설검정은 표본 데이터를 사용하여 모수의 값에 관한 주장을 검정하는 통계적 방법입니다. 이 경우 가설검정은 모집단 상관계수 ρ가 0과 같다는 주장을 검정하는 데 사용됩니다.

가설검정을 수행할 때는 다음 가설을 사용하십시오.

귀무가설: $H_{0} : ρ = 0$
대립가설: $H_{a} : ρ \neq 0$

가설을 말로 나타내면 다음과 같습니다.

귀무가설 $H_{0}$ : 모집단 상관계수는 0과 유의하게 다르지 않습니다. 모집단에서 x와 y 사이에 유의한 선형 관계(상관관계)가 없습니다.
대립가설 $H_{a}$ : 모집단 상관계수는 0과 유의하게 다릅니다. 모집단에서 x와 y 사이에 유의한 선형 관계(상관관계)가 있습니다.

상관관계를 빠르고 간단하게 검정하는 방법으로 표본 크기와 상관관계 사이의 관계를 이용하는 방법이 있습니다. $|r| \geq \frac{2}{\sqrt{n}},$ 이면, 두 변수 사이의 상관관계가 선형 관계가 존재함을 보여 주며 약 0.05 유의수준에서 통계적으로 유의하다는 뜻입니다. 공식에서 알 수 있듯이, 표본 크기와 선형 관계가 유의하기 위해 필요한 상관관계 사이에는 반비례 관계가 있습니다. 관측값이 10개뿐이면 유의성에 필요한 상관관계는 0.6325이고, 관측값이 30개이면 유의성에 필요한 상관관계는 0.3651로 줄어들며, 관측값이 100개이면 필요한 수준은 0.2000에 불과합니다.

참고:

r이 유의하고 산점도가 선형 추세를 보이면, 관측된 x 값의 범위 내에 있는 x 값에 대해 y 의 값을 예측하는 데 회귀선을 사용할 수 있습니다.
r이 유의하지 않거나 산점도가 선형 추세를 보이지 않으면, 회귀선을 예측에 사용해서는 안 됩니다.
r이 유의하고 산점도가 선형 추세를 보이더라도, 데이터에서 관측된 x 값의 범위 밖에서 예측하는 데에는 회귀선이 적절하거나 신뢰할 만하지 않을 수 있습니다.

생각해 보기상관관계의 유의성 판단

어느 기업의 최고재무책임자(CFO)가 10년 동안의 주식 가격과 실업률 사이의 상관을 조사하여 상관계수가 -0.68임을 알아냈다고 가정합시다. 이 데이터 집합에는 10개의 (x, y) 데이터 점이 있습니다. CFO는 유의수준 0.05를 기준으로 주식 가격과 실업률 사이의 관계에 대한 상관이 유의하다고 결론 내려야 합니까?

풀이

풀이:

유의수준 0.05를 사용할 때 $|r| \geq \frac{2}{\sqrt{n}},$ 이면, 이는 두 변수 사이의 상관관계가 대략 0.05 유의수준에서 통계적으로 유의한 선형 관계를 나타낸다는 것을 의미합니다. 이 예에서는 $n = 10$ 일 때 $| - 0.68 |$ 가 $\frac{2}{\sqrt{n}}$ 이상인지 확인합니다. $\frac{2}{\sqrt{10}}$ 는 약 0.632이므로, r의 절댓값 $- 0.68$ 가 $\frac{2}{\sqrt{n}}$ 보다 크다는 것을 나타내며, 따라서 상관관계는 유의한 것으로 간주됩니다.

상관관계는 데이터를 시각화하는 데에는 도움이 될 수 있지만, 두 변수 사이의 관계를 설명하는 데 사용하는 것은 적절하지 않습니다. 상관계수만큼 잘못 사용되는 통계량은 아마 없을 것입니다. 건강 상태와 거주지에서 눈 색깔에 이르는 온갖 요인 사이의 상관관계를 인용하면 인과관계를 암시하는 효과가 생깁니다. 이는 상관계수로는 결코 입증할 수 없습니다. 물론 상관계수 자체에는 이러한 잘못된 해석에 대한 책임이 없습니다. 분석가가 그러한 주장을 하려 한다면, 인과관계를 검정하도록 설계된 통계량을 사용하고 그 결과만을 보고하는 것이 분석가의 의무입니다. 문제는 이처럼 더 엄격한 검정을 통과하기가 어렵다는 점이며, 그래서 게으르거나 비양심적인 연구자들은 정당한 방법으로 자신의 주장을 입증할 수 없을 때 상관관계에 의존하게 됩니다.

각주

이 예제에서 사용하는 재무용 계산기는 Texas Instruments BA II Plus ^TM Professional 모델이지만, 이러한 유형의 계산에는 다른 재무용 계산기를 사용해도 됩니다. ↩