#몬티 홀 역설

#문제

여러분은 세 개의 문 중 하나를 골라야 하는 게임에 참가하고 있습니다. 문 하나 뒤에는 자동차가 숨겨져 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 여러분이 문 하나(예를 들어 1번)를 고르면, 자동차가 어디에 있는지 알고 있는 진행자가 남은 문 중 염소가 있는 문 하나(예를 들어 3번)를 엽니다. 그런 다음 진행자는 여러분에게 선택을 바꾸어 2번 문을 고르라고 제안합니다. 진행자의 제안을 받아들여 선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률이 높아집니까?

#직관

문이 두 개 있고 그중 하나 뒤에 염소가 있으므로 확률은 $\frac{1}{2} \Rightarrow $ 어느 쪽을 골라도 차이가 없습니다.

#풀이

사건 $A_{i}$는 자동차가 $i$번째 문 뒤에 있는 사건이고, 사건 $B$는 진행자가 3번째 문을 연 사건이라고 합시다. $P(A_{i}$ = 1 자동차가 처음부터 (우리가 선택한) 1번째 문 뒤에 있었다면, 진행자는 남은 문 중 아무 문이나 무작위로 엽니다. 즉, $P(B|A_{1}) = 1$입니다. 나머지 2가지 경우의 조건부 확률은 $P(B|A_{2}) = 1$과 $P(B|A_{3}) = 0$입니다. 이제 베이즈 공식과 전확률 공식을 $B : P(A_{2}|B) = \frac{P(B|A_{2})𝑃(A_{2})}{P(B|A_{1})P(A_{1}) + P(B|A_{2})P(A_{2}) + P(B|A_{3})P(A_{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$에 대해 적용합시다.

따라서 선택을 바꾸는 것이 더 유리합니다.