값 $x_1, x_2, \ldots$을 가지는 확률 변수 $X$의 기댓값은 다음과 같이 정의됩니다.
$ E[X] = \sum_{x \in S} p_S(x) \cdot x $
우리에게 가장 중요한 성질은 기댓값이 선형이라는 것입니다:
$$ \\begin{align\*} E\[X+Y\] & = \\sum_{x, y} (x+y) p(x, y) \\\\ & = \\sum_{x, y} x p(x, y) + \\sum_{x, y} y p(x, y) \\\\ & = \\sum_x x p(x) \\sum_y p(y) + \\sum_y y p(y) \\sum_x p(x) \\\\ & = \\sum_x x p(x) + \\sum_y y p(y) \\\\ & = E\[X\] + E\[Y\] \\end{align\*} $$주목하십시오. $X$와 $Y$가 어떤 것인지는 전혀 중요하지 않습니다. 어쩌면 이들은 매우 복잡한 방식으로 연관되어 있을 수도 있지만, 그것은 중요하지 않습니다. 나중에 보겠지만, 이 성질은 매우 복잡한 것들의 기댓값을 계산하는 일을 크게 단순화합니다.
또한, 특히 이것에 상수를 곱할 수도 있습니다.