여기에 쓰인 내용은 가장 이해하기 쉽고 완전한 정리라고 자부하지 않습니다. 이 글은 오히려 고속 푸리에 변환의 서문으로서 필요한 것이며, 제가 이 글을 여기에 올린 것은 단지 복소수를 포함한 FFT에 관한 예전 정리가 있었기 때문입니다. 이 페이지를 다시 작성하고 싶은 분이 있다면 주저하지 말고 그렇게 하십시오.

#정의

복소수는 $(x, y)$ 꼴의 두 실수로 이루어진 쌍이며, 여기서 $x$는 실수부, $y$는 허수부입니다. 복소수는 평면 위에서 좌표가 $(x, y)$인 점을 향하는 벡터로 나타내면 편리합니다. 복소수를 정의하는 또 하나의 널리 쓰이는 방법은 복소수 $(x, y)$를 $x + i \cdot y$ 꼴로 쓰는 것이며, 여기서 $i$를 허수 단위라고 합니다. 허수 단위의 특징은 $i \cdot i = -1$이라는 점입니다

#연산

#대수적 의미

복소수의 두 번째 정의로부터 복소수에 대한 모든 산술 연산을 쉽게 유도할 수 있습니다.

$(x_1 + i \cdot y_1) + (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 + x_2) + i \cdot (y_1 + y_2)$

$(x_1 + i \cdot y_1) - (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 - x_2) + i \cdot (y_1 - y_2)$

$(x_1 + i \cdot y_1) \cdot (x_2 + i \cdot y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2) + i \cdot (x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

수 $\overline{z}$를 $z$의 켤레복소수라고 하며, 그 식은 $x - i \cdot y$입니다. $(x + i \cdot y) \cdot (x - i \cdot y) = x^2 + y^2$임을 쉽게 알 수 있습니다. 그러면 이로부터 나눗셈 공식을 유도할 수 있습니다.

#기하학적 의미

첫 번째 정의로 돌아가서 복소수 연산이 기하학적으로 무엇을 의미하는지 살펴봅시다.

$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2,\:y_1 + y_2)$

$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2,\:y_1 - y_2)$

그러면 두 복소수의 합과 차는 각각에 대응하는 벡터들의 합과 차에 대응합니다.

$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2,\:x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

벡터의 $x$ 좌표는 벡터의 길이에 벡터 각도의 코사인을 곱한 것이고, 벡터의 $y$ 좌표는 벡터의 길이에 벡터 각도의 사인을 곱한 것임을 알 수 있습니다. 즉, $x = L \cdot \cos \alpha$, $y = L \cdot \sin \alpha$입니다. 그러면 $x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2 = L_1 \cdot L_2 \cdot (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 - \sin \alpha_2 \cdot \sin \alpha_2) = L_1 \cdot L_2 \cdot \cos(\alpha_1 + \alpha_2)$입니다(배각 공식에 의해). 마찬가지로 $x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1 = L_1 \cdot L_2 \cdot \cos(\alpha_1 + \alpha_2)$입니다. 따라서 두 복소수를 곱하면 그 결과를 벡터 형태로 나타냈을 때 길이는 각 인수에 대응하는 두 벡터의 곱과 같고, 이 벡터의 각도는 각 인수에 대응하는 각도의 합과 같습니다.

나눗셈에 대해서도 같은 방식으로 유도할 수 있으며, 이는 독자의 연습 문제로 남겨 두겠습니다.

#응용

복소수는 다양한 용도로 활용됩니다. 기하학에서는 수를 벡터로 대체하는 데 복소수를 사용할 수 있습니다. 외적과 내적이 수의 실수부와 허수부라는 것은 쉽게 알 수 있습니다.

또한 복소수는 고속 푸리에 변환에도 사용됩니다.

#복소수

정의. 복소수는 $a + bi$ 꼴의 수입니다. 여기서 $a$와 $b$는 일반적인 실수이고, $i$는 이른바 허수 단위로, $i^2 = -1$이라는 등식을 만족하는 수입니다.

복소수는 음수의 제곱근을 다루기 위해 대수학에 도입되었습니다. $i$는 어떤 의미에서 $\sqrt{-1}$과 같습니다. 음수와 마찬가지로, 복소수는 현실 세계에는 말하자면 “존재하지 않으며” 오직 수학자들의 의식 속에만 존재합니다.

복소수는 실수와 거의 같은 방식으로 다룰 수 있습니다. 오히려 더 편리합니다. 모든 제곱근을 항상 구할 수 있고, 다항식의 모든 근을 항상 찾을 수 있습니다.

#복소평면

복소수는 평면 위에 벡터 $(a, b)$의 형태로 나타내고, 이를 통해 온갖 기하 계산을 하면 편리합니다.

복소수의 절댓값은 실수 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ 입니다. 기하학적으로 이는 벡터 $(a, b)$의 길이입니다.

복소수의 편각은 $\tan \phi = \frac{b}{a}$를 만족하는 실수 $\phi \in (-\pi, \pi]$입니다. 기하학적으로 이는 $(a, 0)$과 $(a, b)$ 사이의 각의 크기입니다. 영, 즉 벡터 $(0, 0)$에 대해서는 편각이 정의되지 않습니다.

따라서 복소수는 극좌표로 나타낼 수 있습니다:

이러한 표현이 편리한 이유는 다음과 같습니다. 두 복소수를 곱하려면 두 수의 절댓값을 곱하고 편각을 더하면 됩니다.

연습 문제. 이를 증명하십시오.

#오일러 공식

오일러 수 $e$를 다음과 같은 성질을 가진 수로 정의합시다:

그저 $\cos \phi + i \sin \phi$라는 식에 대해 이러한 표기법을 도입하겠습니다. 왜 그런지는 생각하지 않으셔도 됩니다.

기하학적으로, 이러한 점들은 모두 단위원 위에 있습니다:

이러한 표기법은 $e^{i\phi}$를 일반적인 지수 함수처럼 다룰 수 있기 때문에 편리합니다. 예를 들어, 단위원 위에 있고 편각이 각각 $a$와 $b$인 두 수를 곱하고 싶다고 합시다. 그러면 이를 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

연습 문제. 이를 확인해 보십시오: 괄호를 전개하고 약간의 대수 계산을 해 보십시오.

#단위근

복소수에는 그 밖에도 훌륭한 성질이 많지만, 알고리즘에 실제로 필요한 것은 다음 성질 하나뿐입니다.

명제. 임의의 자연수 $n$에 대하여 정확히 $n$개의 복소수 ‘1의 거듭제곱근’, 즉 다음을 만족하는 수 $w_k$가 존재합니다:

여기서 $\tau$는 $2 \pi$, 즉 “한 바퀴 전체"를 나타냅니다. 이는 꽤 새로운 표기법입니다.

복소평면에서 이 수들은 단위원 위에 서로 같은 간격으로 놓입니다:

첫 번째 근 $w_1$(정확히는 두 번째 근입니다. 1을 0번째 근으로 보기 때문입니다)을 1의 $n$제곱 원시근이라고 부릅니다. 이 근을 0제곱, 1제곱, 2제곱, … 하면 필요한 1의 거듭제곱근들의 수열이 만들어지며, 이 수열은 $n$번째 원소에서 순환합니다:

앞으로 $w_1$을 간단히 $w$로 표기하겠습니다.

연습 문제. 다른 근이 존재할 수 없음을 증명하십시오.