$A_{i}$ - 행렬의 $i$번째 행, $A^{i}$ - 행렬의 $i$번째 열

#덧셈

$A = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1}

\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}

b_{0 \ 0}& b_{0 \ 1}\\ b_{1 \ 0}& b_{1 \ 1}

\end{pmatrix}$, $A + B = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0} + b_{0 \ 0}& a_{0 \ 1} + b_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0} + b_{1 \ 0}& a_{1 \ 1} + b_{1 \ 1}

\end{pmatrix}$

#스칼라 곱셈

$A = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1}

\end{pmatrix}, A \cdot c = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0} \cdot c& a_{0 \ 1} \cdot c\\ a_{1 \ 0} \cdot c& a_{1 \ 1} \cdot c

\end{pmatrix}$

#전치

간단히 행렬을 뒤집어 봅시다. 좀 더 형식적으로 말하면 다음과 같습니다:

행렬 $A_{N, M}$이 주어졌을 때,

$A^T_{j \ i} = A_{i \ j} \ \ \forall i \lt N, j \lt M$

$A = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0}& a_{0 \ 1}\\ a_{1 \ 0}& a_{1 \ 1}

\end{pmatrix}, A^T = \begin{pmatrix}

a_{0 \ 0}& a_{1 \ 0}\\ a_{0 \ 1}& a_{1 \ 1}

\end{pmatrix}$

#행렬 곱셈

두 행렬이 주어집니다:

$A \in Mat_{n \times m}, B \in Mat_{m \times k}$

그러면 다음과 같습니다 :

$(A \cdot B){i \ j} = A{(i)} \cdot B^{(j)} = \sum \limits_{k = 1}^n (a_{i \ k} + b_{k \ j})$, 즉 쉽게 말하면 $(A \cdot B){i j} = $ $A{i}$와 $B^{j}$의 곱의 합입니다.

$A = \begin{pmatrix}

2& -3& 1\\ 5& 4& 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -7& 5\\ 2& -1\\ 4& 3

\end{pmatrix}, A \cdot B = \begin{pmatrix}

2 \cdot (-7) + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 4& 2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 3\\ 5 \cdot (-7) + 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 4& 5 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

-16& 16\\ -35& 15

\end{pmatrix}$

곱셈을 제외한 모든 연산은 행렬의 크기($O(N \cdot M)$)만큼의 시간에 동작하는 반면, 행렬 $A \in Mat_{N \ M}, B \in Mat_{M \ K}$에 대한 곱셈은 $O(N \cdot M \cdot K)$에 동작한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.