어떤 알려진 구간 밖의 값을 예측하는 수학적 모델을 구성하는 것을 외삽이라고 합니다. 예를 들어, 알려진 이전 값들로부터 다음 값을 예측하는 것이 이에 해당합니다.
반면 보간은 알려진 값들 사이의 중간 값을 근사적으로 구하는 것을 말합니다.
더 좁은 의미에서, 대수학의 맥락에서는 주어진 점들의 집합 $(x_i, y_i)$을 지나는 다항식을 찾는 것을 보간이라고 합니다.
#라그랑주 보간 다항식
정리. 서로 다른 점들의 집합 $x_0, x_1, \dots, x_{n}$이 주어졌다고 합시다. 차수가 $n$인 다항식은 이 점들에서의 값에 의해 유일하게 결정됩니다.
참고: 이 다항식의 계수는 점의 개수와 같은 수만큼 있습니다.
증명은 구성적입니다. 이 점들에서 주어진 값 $y_0, y_1, \ldots, y_n$을 갖는 다항식을 명시적으로 구성할 수 있습니다.
$$ y(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}y_i\prod\limits_{j\neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} $$이 다항식을 라그랑주 보간 다항식이라고 합니다.
정확성. 점 $x_i$에서 값이 실제로 $y$와 같아지는지 확인해 봅시다:
$i$번째 항의 경우 $x$ 대신 $x_i$를 대입하면 내부의 곱은 1이 됩니다. 이 경우 단순히 1을 $(n-1)$개 곱하게 되기 때문입니다. 이 1에 $y_i$가 곱해져 합에 더해집니다.
나머지 모든 항에서는 곱이 0이 됩니다. 인수 중 하나가 $(x_i - x_i)$와 같아지기 때문입니다.
유일성. 조건을 만족하는 $n$차 다항식 $A(x)$와 $B(x)$가 두 개 있다고 가정합시다. 두 다항식의 차를 생각해 봅시다. 점 $x_i$에서 그 결과로 얻은 다항식 $A(x) - B(x)$의 값은 0이 됩니다. 그렇다면 점 $x_i$는 이 다항식의 근이어야 하며, 따라서 그 차는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
$$ A(x) - B(x) = \alpha \prod_{i=0}^n (x-x_i) $$여기서 $\alpha$는 어떤 수입니다. 여기서 모순이 생깁니다. 이 곱을 전개하면 $n+1$차 다항식이 되는데, 이는 두 $n$차 다항식의 차로 얻을 수 없습니다.
#실전에서의 보간법
참고. 실제로는 보간을 가우스 소거법으로 풉니다. 보간은 선형 방정식 $aX = y$를 푸는 문제로 환원할 수 있으며, 여기서 $X$는 다음과 같은 형태의 행렬입니다:
$$ \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \ldots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^n \\ \end{pmatrix} $$중요한 사실은 $n$차 다항식을 다음과 같이 유일하게 정의할 수 있다는 것입니다
- $(n+1)$개의 계수로,
- 최소 $(n + 1)$개의 점에서의 값으로,
- $n$개의 근(복소수이거나 중복될 수도 있습니다)과 계수 $\alpha$로 나타낼 수 있습니다: